Mathematik-Matura Mai 2017 · AHS Teil 2 – Lösungen

AHS
10. Mai 2017
Mathematik
Teil-2-Aufgaben
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung

2
Aufgabe 1
Quadratische Funktion
a) Lösungserwartung:
f ( x )
x
f
d
x
1
x
2
a < 0, b = 0 und c > 0
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für eine korrekte Veranschaulichung des Wertes d , wobei der Graph von f klar
erkennbar die Form einer achsensymmetrischen und nach unten offenen Parabel haben
muss.
– Ein Punkt für die Angabe der richtigen Bedingungen für die Koeffizienten a , b und c .
b) Lösungserwartung:
Mögliche Vorgehensweise:
g ( x ) = a ∙ x
2
+ b ∙ x
a ∙ x
2
+ b ∙ x = 0 ⇒ ( x
1
= 0), x
2
= –
b
a
mit a > 0 und b < 0
Mögliche Berechnung des gesuchten Flächeninhalts:
∫
0
– b
a
g ( x ) d x
oder:
–
∫
x 2
0
g ( x ) d x
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für eine korrekte Formel, wobei die Bedingungen a > 0 und b < 0 nicht angeführt werden müssen. Äquivalente Formeln sind als richtig zu werten.
– Ein Punkt für ein korrektes bestimmtes Integral. Äquivalente Ausdrücke sind als richtig zu
werten.

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c) Lösungserwartung:
Möglicher Graph von h : h ( x )
x
h
k
h ( k ) = k
2
– 2 ∙ k
2
+ k
2
= 0 ⇒ h ( k ) = 0
h ′ ( x ) = 2 ∙ x – 2 ∙ k
h ′ ( k ) = 2 ∙ k – 2 ∙ k = 0 ⇒ h ′ ( k ) = 0
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt für eine korrekte Skizze eines entsprechenden Graphen von h . Der
Graph von h muss die Form einer nach oben oder unten offenen Parabel haben und an der
gekennzeichneten Stelle von k müssen die Nullstelle und (somit) die Extremstelle der Funktion h klar erkennbar sein, die Symmetrie bezüglich der Geraden x = k muss erkennbar sein.
– Ein Punkt für einen korrekten rechnerischen Nachweis beider Bedingungen.

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Aufgabe 2
Muskelkraft
a) Lösungserwartung:
F (0) ≈ 2 900 N
F (0) gibt den Wert derjenigen Kraft an, die der Muskel bei einer Kontraktionsgeschwindigkeit
von v = 0 aufbringt.
Zwischen F und v wird keine indirekte Proportionalität beschrieben.
Mögliche Begründung:
Eine Verdoppelung der Kontraktionsgeschwindigkeit v führt nicht zu einer Halbierung der
Muskelkraft F .
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die richtige Lösung und eine (sinngemäß) korrekte Deutung, wobei die Einheit
„Newton“ nicht angeführt sein muss.
Toleranzintervall: [2 750 N; 3 000 N]
– Ein Punkt für die Angabe, dass keine indirekte Proportionalität beschrieben wird, und eine
korrekte Begründung.

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b) Lösungserwartung:
F ( v ) in N
P ( v ) in W
P
F
v in m/s
2,5 2,25 2 1,75 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 0 2,75
750
500
250
0
1 000
Bei ungefähr 800 N erreicht der Muskel seine maximale Leistung.
v
1
≈ 0,7 m/s
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „Newton“ nicht angeführt sein
muss.
Toleranzintervall: [650 N; 950 N]
– Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „m/s“ nicht angeführt sein muss.
Toleranzintervall: [0,6 m/s; 0,9 m/s]

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Aufgabe 3
Zerstörung des Tropenwaldes
a) Lösungserwartung:
f
1
( t ) = 800 · 0,979
t
800 · 0,979
t
< 100 ⇒ t > 97,977...
Nach Szenario 1 wird der Tropenwaldbestand nach ca. 98 Jahren auf weniger als 100 Millionen Hektar gesunken sein.
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt für eine korrekte Funktionsgleichung. Äquivalente Funktionsgleichungen sind als richtig zu werten.
– Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „Jahre“ nicht angegeben sein muss.
Toleranzintervall: [93 Jahre; 104 Jahre]
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das
Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.
b) Lösungserwartung:
f
2
( t ) = –17 · t + 800 (bzw. f
2
( t ) = –17 000 000 · t + 800 000 000)
f
2
Tropenwaldbestand in Millionen Hektar
700
600
500
400
300
200
100
0
800
f
1
f
3
60 50 40 30 20 10 70 0
Jahr t nach 1990
Entsprechend diesem Modell
würde der Tropenwald im Laufe des
Jahres 2037 verschwinden.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für eine korrekte Funktionsgleichung.
– Ein Punkt für die Angabe einer korrekten Jahreszahl sowie eines korrekten Graphen, wobei
dieser als Gerade erkennbar sein muss, die durch (0|800) verläuft und deren Schnittpunkt
mit der Zeitachse im Toleranzintervall [45; 50] liegt.
Toleranzintervall für das gesuchte Jahr: [2035; 2040]

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c) Lösungserwartung:
t
1
≈ 15 (also im Jahr 2005)
∫
t 1
0
f
3
′ ( t )d t ≈ –300 (bzw. –300 000 000)
In den 15 Jahren nach 1990 wurden ca. 300 Millionen Hektar Tropenwald gerodet.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die richtige Lösung.
Toleranzintervall: [14; 16] bzw. [2004; 2006]
– Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei auch der Betrag der Lösung als richtig zu werten
ist, sowie für eine (sinngemäß) korrekte Interpretation.
Toleranzintervall: [–350; –250] (bzw. [–350 000 000; –250 000 000])
d) Lösungserwartung:
Eine Übereinstimmung ist am ehesten mit dem Szenario 3 festzustellen, da dieses Modell
ebenso von einer jährlich zunehmenden Abholzungsrate ausgeht.
Das Modell von Meadows sagt für diesen Zeitraum eine deutlich größere Änderung der
Abholzungsrate voraus.
Mögliche Begründung:
Der Betrag der Steigung der Funktion f
3
′ ist im Zeitraum 2000 bis 2012 deutlich größer als
0,2101.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Begründung.
– Ein Punkt für eine richtige Entscheidung und eine korrekte Begründung.

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Aufgabe 4
Buccolam
a) Lösungserwartung:
V ( D ) = 0,2 · D
Zwischen dem Alter (in Jahren) der Patientin/des Patienten und der zu verabreichenden
Midazolam-Dosis besteht kein linearer Zusammenhang.
Mögliche Begründung:
Bei einem linearen Zusammenhang würden z. B. 3-jährige Kinder eine niedrigere Dosis als
4-jährige Kinder erhalten. Laut Tabelle ist dies nicht der Fall.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für eine korrekte Gleichung. Äquivalente Gleichungen sind als richtig zu werten.
– Ein Punkt für eine richtige Entscheidung und eine korrekte Begründung. Andere korrekte
Begründungen (z. B. mithilfe einer Skizze oder mit einem Hinweis auf das Vorliegen einer
unstetigen Funktion) sind ebenfalls als richtig zu werten.
b) Lösungserwartung:
Da bei 22 von 440 Kindern die Nebenwirkung „Übelkeit und Erbrechen“ auftrat, beträgt die
relative Häufigkeit
22
440
= 0,05.
Wegen 0,01 ≤ 0,05 < 0,1 würde sich für die Nebenwirkung „Übelkeit und Erbrechen“ die
Klassifizierung „häufig“ ergeben.
Mögliche Vorgehensweise:
μ = 4,4 σ ≈ 2,09 ⇒ [ μ – σ ; μ + σ ] ≈ [2,31; 6,49]
Die Nebenwirkung „Hautausschlag“ muss demnach bei mindestens drei und darf bei
höchstens sechs Kindern der erwähnten Studie auftreten.
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt für eine korrekte Klassifizierung.
– Ein Punkt für die richtige Lösung.

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c) Lösungserwartung:
n = 440, h = 0,7
0,7 ± 1,96 ·
0,7 · 0,3
440

≈ 0,7 ± 0,04 ⇒ [0,66; 0,74]
Die Werte n
1
< 400 und γ
1
= 0,99 würden zu einem wesentlich breiteren Konfidenzintervall
führen und können daher nicht die Grundlage zur Berechnung gewesen sein.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für ein korrektes Intervall. Andere Schreibweisen des Ergebnisses (als Bruch oder
in Prozent) sind ebenfalls als richtig zu werten.
Toleranzintervall für den unteren Wert: [0,65; 0,66]
Toleranzintervall für den oberen Wert: [0,74; 0,75]
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das
Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.
– Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Begründung.