Mathematik-Matura Mai 2017 · AHS Teil 1 – Lösungen

AHS
10. Mai 2017
Mathematik
Teil-1-Aufgaben
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung

2
Aufgabe 1
Ganze Zahlen
Lösungserwartung:
a
2
3 · a
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen
Ausdrücke angekreuzt sind.

3
Aufgabe 2
Kapital
Lösungserwartung:
Mithilfe dieses Terms kann der Kapitalzuwachs (die Summe der Zinsen) im Zeitraum von 5 Jahren
berechnet werden.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Interpretation.

4
Aufgabe 3
Futtermittel
Lösungserwartung:
1. Gleichung: a + b = 100
2. Gleichung: 0,14 · a + 0,35 · b = 0,18 · ( a + b )
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe zweier korrekter Gleichungen. Andere korrekte Gleichungssysteme, die
eine Berechnung der nötigen Mengen ermöglichen, sind ebenfalls als richtig zu werten.

5
Aufgabe 4
Quader mit quadratischer Grundfläche
Lösungserwartung:
HB =
( )
5
5
–10
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen des Vektors sind ebenfalls als richtig zu
werten.

6
Aufgabe 5
Parallelität von Geraden
Lösungserwartung:
hy = –2
hz = –4
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe der richtigen Werte von hy und hz .

7
Aufgabe 6
Koordinaten eines Punktes
Lösungserwartung:
Mögliche Berechnung:
tan( φ – 180°) =
2
3
⇒ φ ≈ 213,69°
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „Grad“ nicht angeführt sein muss.
Toleranzintervall: [213°; 214°]
Eine korrekte Angabe der Lösung in einer anderen Einheit ist ebenfalls als richtig zu werten.
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis
aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.

8
Aufgabe 7
Zylindervolumen
Lösungserwartung:
0
0
r
1
P
V ( r
1
)
V ( r )
r
Q
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die korrekte Ergänzung von Q .

9
Aufgabe 8
Krümmungsverhalten einer Polynomfunktion
Lösungserwartung:
(– ∞ ; –2)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich das laut Lösungserwartung richtige
Intervall angekreuzt ist.

10
Aufgabe 9
Räuber-Beute-Modell
Lösungserwartung:
In den beiden Zeitintervallen [4,2 Jahre; 6,8 Jahre] und [15,3 Jahre; 19,6 Jahre] nimmt sowohl die
Räuberpopulation als auch die Beutepopulation ab.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe beider korrekter Zeitintervalle, wobei die Einheit „Jahre“ nicht angegeben sein muss. Andere Schreibweisen der Intervalle (offen oder halboffen) sowie korrekte formale
oder verbale Beschreibungen sind ebenfalls als richtig zu werten.
1. Zeitintervall:
Toleranzintervall für den unteren Wert: [3,9 Jahre; 4,5 Jahre]
Toleranzintervall für den oberen Wert: [6,5 Jahre; 7,1 Jahre]
2. Zeitintervall:
Toleranzintervall für den unteren Wert: [15 Jahre; 15,6 Jahre]
Toleranzintervall für den oberen Wert: [19,3 Jahre; 19,9 Jahre]

11
Aufgabe 10
Lineare Funktionen
Lösungserwartung:
A k = 0, d < 0
B k > 0, d > 0
C k = 0, d > 0
D k < 0, d < 0
E k > 0, d < 0
F k < 0, d > 0
f ( x )
x
0 1 2 –2 –1 –3
0
1
2
–2
–3
–1
f
E
f ( x )
x
0 1 2 –2 –1 –3
0
1
2
–2
–3
–1
f
F
f ( x )
x
0 1 2 –2 –1 –3
0
1
2
–2
–3
–1
f
C
f ( x )
x
0 1 2 –2 –1 –3
0
1
2
–2
–3
–1
f
D
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn jedem der vier Graphen ausschließlich der laut Lösungs erwartung richtige Buchstabe zugeordnet ist.

12
Aufgabe 11
Negative Funktionswerte
Lösungserwartung:
Für alle x ∈ (–2; 3) gilt:
f ( x ) < 0
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösungsmenge. Andere korrekte Schreibweisen der Lösungsmenge
oder eine korrekte verbale oder grafische Beschreibung der Lösungsmenge, aus der klar hervorgeht, dass die Endpunkte –2 und 3 nicht inkludiert sind, sind ebenfalls als richtig zu werten.

13
Aufgabe 12
Halbwertszeit von Cobalt-60
Lösungserwartung:
Mögliche Berechnung:
N 0
2
= N 0 · ℯ
–0,13149 · t
⇒ t ≈ 5,27
Die Halbwertszeit von Cobalt-60 beträgt ca. 5,27 Jahre.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „Jahre“ nicht angegeben sein muss.
Toleranzintervall: [5 Jahre; 5,5 Jahre]
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis
aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.

14
Aufgabe 13
Leistungsverbesserung
Lösungserwartung:
erste Person: Person B
zweite Person: Person A
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die korrekte Auswahl.

15
Aufgabe 14
Finanzschulden
Lösungserwartung:
Der Ausdruck beschreibt die durchschnittliche jährliche Zunahme (durchschnittliche jährliche
Änderung) der Finanzschulden Österreichs (in Milliarden Euro im angegebenen Zeitraum).
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Interpretation.

16
Aufgabe 15
Differenzengleichung
Lösungserwartung:
a = 2
b = 1
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe der richtigen Werte von a und b .

17
Aufgabe 16
Tiefe eines Gerinnes
Lösungserwartung:
g ( t ) = 3 · t
2
+ 12 · t + 12
oder:
g ( t ) = f ′ ( t )
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Gleichung. Äquivalente Gleichungen sind als richtig zu werten.

18
Aufgabe 17
Grafisch differenzieren
Lösungserwartung:
f ′
f
f ( x )
x
x
2
x
1
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Darstellung der Ableitungsfunktion f ′ . Der Graph der Funktion f ′ muss
erkennbar die Form einer nach oben offenen Parabel haben und die x -Achse an den beiden Stellen schneiden, bei denen die Funktion f die Extremstellen hat. Der Graph einer entsprechenden
Funktion f ′ , der über das Intervall [ x 1 ; x 2 ] hinaus gezeichnet ist, ist ebenfalls als richtig zu werten.

19
Aufgabe 18
Wassermenge in einem Behälter
Lösungserwartung:
Zum Zeitpunkt t = 6 befindet sich weniger Wasser
im Behälter als zum Zeitpunkt t = 2.
Im Zeitintervall (6; 8) nimmt die Wassermenge im
Behälter zu.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung
richtigen Aussagen angekreuzt sind.

20
Aufgabe 19
Wanderungsbilanz für Österreich
Lösungserwartung:
Aus dem angegebenen Wert für das Jahr 2003 kann man ablesen, dass in diesem Jahr um ca. 40 000 Personen mehr zugewandert als abgewandert sind.
Im Zeitraum 1961 bis 2012 gibt es acht Jahre, in denen die Anzahl der Zuwanderungen geringer als die Anzahl der Abwanderungen war.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen
Aussagen angekreuzt sind.

21
Aufgabe 20
Alarmanlagen
Lösungserwartung:
Mögliche Berechnung:
1 – 0,1
2
= 0,99
Die Wahrscheinlichkeit, dass im Einbruchsfall mindestens eine der beiden Anlagen Alarm auslöst,
liegt bei 0,99.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen des Ergebnisses sind ebenfalls als richtig
zu werten.
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis
aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.

22
Aufgabe 21
Jugendgruppe
Lösungserwartung:
1
wie viele verschiedene Möglichkeiten es gibt, aus den
21 Jugendlichen ein Dreierteam auszuwählen
2
1 330
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn für jede der beiden Lücken ausschließlich der laut
Lösungserwartung richtige Satzteil angekreuzt ist.

23
Aufgabe 22
Aussagen zu einer Zufallsvariablen
Lösungserwartung:
Der Erwartungswert von X ist 20.
P (10 ≤ X ≤ 30) = 1
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung
richtigen Aussagen angekreuzt sind.

24
Aufgabe 23
Grafische Deutung
Lösungserwartung:
P ( X ≥ 64)
oder:
Der Flächeninhalt der dargestellten Fläche beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X mindestens den Wert 64 annimmt.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Deutung, wobei auch die Deutungen P ( X > 64) bzw.
P ( X ≥ 65) oder P (64 ≤ X ≤ b ) mit b ≥ 85 als richtig zu werten sind.

25
Aufgabe 24
Wahlprognose
Lösungserwartung:
Ein anhand der erhobenen Daten ermitteltes 90-%-Konfidenzintervall
hätte eine geringere Intervallbreite.
Unter der Voraussetzung, dass der Anteil der Partei- A -Wähler/innen in
der Stichprobe gleich bleibt, würde eine Vergrößerung der Stichprobe
zu einer Verkleinerung des 95-%-Konfidenzintervalls führen.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung
richtigen Aussagen angekreuzt sind.