Mathematik-Matura Jänner 2017 · HTL Cluster T1 – Lösungen

BHS
12. Jänner 2017
Angewandte Mathematik
Teil A + Teil B (Cluster 1)
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung

2
Korrektur- und Beurteilungsanleitung
zur standardisierten schriftlichen Reife- und Diplomprüfung
in Angewandter Mathematik
(Detaillierte Informationen dazu finden Sie für den BHS-Bereich im Erlass mit der Geschäftszahl
BMBF-17.100/0006-II/2015 des Bundesministeriums für Bildung und Frauen.)
Kompetenzbereiche
Im Beurteilungsmodell für die Angewandte Mathematik wird zwischen zwei Kompetenzbereichen
unterschieden:
n Kompetenzbereich A ( KA ) umfasst die unabhängig
1
erreichbaren Punkte der Komplexitätsstufen 1 und 2 aus dem Kompetenzstufenraster.
n Kompetenzbereich B ( KB ) umfasst die abhängig erreichbaren Punkte und die Punkte der
Komplexitätsstufen 3 und 4 aus dem Kompetenzstufenraster.
Die Summe der unabhängig erreichbaren Punkte aus den Komplexitätsstufen 1 und 2 ( KA ) stellt die
„wesentlichen Bereiche“ eines Klausurheftes dar.
Beurteilung
Als Hilfsmittel für die Beurteilung wird ein auf ein Punktesystem basierender Beurteilungsschlüssel angegeben. Je nach gewichteter Schwierigkeit der vergebenen Punkte in den „wesentlichen
Bereichen“ wird festgelegt, ab wann die „wesentlichen Bereiche überwiegend“ (Genügend) erfüllt
sind, d. h., gemäß einem Punkteschema müssen Punkte aus dem Kompetenzbereich A unter Einbeziehung von Punkten aus dem Kompetenzbereich B in ausreichender Anzahl abhängig von der
Zusammenstellung der Klausurhefte gelöst werden. Darauf aufbauend wird die für die übrigen Notenstufen zu erreichende Punktezahl festgelegt.
Nach der Punkteermittlung soll die Arbeit der Kandidatin / des Kandidaten nochmals ganzheitlich
qualitativ betrachtet werden. Unter Zuhilfenahme des Punkteschemas und der ganzheitlichen Betrachtung ist von der Prüferin / vom Prüfer ein verbal begründeter Beurteilungsvorschlag zu erstellen,
wobei die Ergebnisse der Kompetenzbereiche A und B in der Argumentation zu verwenden sind.
Beurteilungsschlüssel für die vorliegende Klausur:
43–48 Punkte Sehr gut
37–42 Punkte Gut
30–36 Punkte Befriedigend
21–29 Punkte Genügend
0–20 Punkte Nicht genügend
1
Unabhängige Punkte sind solche, für die keine mathematische Vorleistung erbracht werden muss. Als mathematische Vorleistung gilt z. B. das Aufstellen einer Gleichung (unabhängiger Punkt) mit anschließender Berechnung (abhängiger Punkt).

3
Handreichung zur Korrektur
der standardisierten schriftlichen Reife- und Diplomprüfung
in Angewandter Mathematik
1. In der Lösungserwartung ist nur ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen.
2. Der Lösungsschlüssel ist verbindlich anzuwenden unter Beachtung folgender Vorgangsweisen:
a. Punkte sind nur zu vergeben, wenn die abgefragte Handlungskompetenz in der Bearbeitung vollständig erfüllt ist.
b. Berechnungen ohne nachvollziehbaren Rechenansatz bzw. ohne nachvollziehbare Dokumentation des Technologieeinsatzes (verwendete Ausgangsparameter und die verwendete
Technologiefunktion müssen angegeben sein) sind mit null Punkten zu bewerten.
c. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen bzw. Lösungswege von der Kandidatin / vom
Kandidaten angeboten und nicht alle diese Lösungen bzw. Lösungswege sind korrekt, so
ist diese Teilaufgabe mit null Punkten zu bewerten.
d. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Das heißt zum Beispiel :
Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu vergeben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht vereinfacht.
e. Werden von der Kandidatin / vom Kandidaten kombinierte Handlungsanweisungen in einem
Lösungsschritt erbracht, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der Lösungsschlüssel
Einzelschritte vorgibt.
f. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als solche
identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner Vereinfachung
der Aufgabenstellung führen.
g. Rundungsfehler können vernachlässigt werden, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert ist.
h. Jedes Diagramm bzw. jede Skizze, die Lösung einer Handlungsanweisung ist, muss eine
qualitative Achsenbeschriftung enthalten, andernfalls ist dies mit null Punkten zu bewerten.
i. Die Angabe von Einheiten kann bei der Punktevergabe vernachlässigt werden, sofern sie im
Lösungsschlüssel nicht explizit eingefordert wird.
3. Sind Sie sich als Korrektor/in über die Punktevergabe nicht schlüssig, können Sie eine Korrekturanfrage an das BMB (via Telefon-Hotline oder Online-Helpdesk) stellen.

4
Aufgabe 1
Körpergröße
Möglicher Lösungsweg
a) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
x = 178,6 cm
σ = 7,499… cm ≈ 7,5 cm bzw. s = 7,904… cm ≈ 7,9 cm
Messwerte, die für die fehlerhafte Eingabe in Frage kommen: 168, 169, 171, 174, 179
b) X … Körpergröße eines zufällig ausgewählten Studenten in cm
P ( X ≥ a ) = 0,8
Berechnung von a mittels Technologieeinsatz:
a = 172,52… cm
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 % wird eine Körpergröße von rund 172,5 cm überschritten.
Wendepunkt Wendepunkt
Körpergröße in cm μ 165 191
Lösungsschlüssel
a) 1 × B: für die richtige Berechnung des arithmetischen Mittelwerts und der Standardabweichung (KA)
1 × C: für die richtige Angabe aller Werte, die für die fehlerhafte Eingabe in Frage kommen (KB)
b) 1 × B: für die richtige Berechnung der Körpergröße (KA)
1 × A: für das richtige Veranschaulichen der Wahrscheinlichkeit in der gegebenen Abbildung
(Intervall: [ μ – 2 σ ; μ + 2 σ ]) (KA)

5
Aufgabe 2
Vernetzte Welt
Möglicher Lösungsweg
a) F ( t ) = F 0 ∙ a
t
F 0 = 5,5
820 = 5,5 ∙ a
6
⇒ a =
820
5,5
6
= 2,30272… ≈ 2,3027
F ( t ) = 5,5 ∙ 2,3027
t
b) 12 Jahre entsprechen der 8-fachen Verdoppelungszeit
(
12
1,5
= 8
)
.
2
8
= 256
Die Behauptung ist daher falsch.
c) Binomialverteilung:
X ... Anzahl der Bauteile, die innerhalb eines Jahres ausfallen
n = 10, p = 0,02
Berechnung mittels Technologieeinsatz: P ( X ≥ 1) = 1 – P ( X = 0) = 0,1829… ≈ 18,3 %
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige Erstellen der Funktionsgleichung (KA)
b) 1 × D: für den richtigen Nachweis (KA)
c) 1 × B: für die richtige Berechnung der Wahrscheinlichkeit (KA)

6
Aufgabe 3
Skatepark
Möglicher Lösungsweg
a) A = (2 ∙ a + b ) ∙ h – b ∙ r –
r
2
∙ π
2
1
t
m
3
=
10
6
g
10
6
cm
3
= 1
g
cm
3
b)
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
t in s
v ( t ) in m/s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
v
v ′ (0,3) ist die Beschleunigung der Skaterin zum Zeitpunkt t = 0,3 s.
c) v =
1,5
0,6
= 2,5
Toleranzbereich für v : [2,1; 2,9]
Die mittlere Geschwindigkeit beträgt rund 2,5 m/s.
d) f ( x ) = a ∙ x
2
+ b ∙ x + c
f ′ ( x ) = 2 ∙ a ∙ x + b
f (0) = 160 c = 160
f (20) = 0 oder: 400 · a + 20 · b + c = 0
f ′ (0) = tan(–80°) b = tan(–80°)
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige Aufstellen der Formel (KA)
1 × D: für den richtigen Nachweis (KA)
b) 1 × A: für das richtige Veranschaulichen des Weges (KA)
1 × C: für die richtige Beschreibung im gegebenen Sachzusammenhang (KA)
c) 1 × B: für das richtige Ermitteln der mittleren Geschwindigkeit im Toleranzbereich [2,1; 2,9] (KA)
d) 1 × A1: für das richtige Aufstellen der Gleichungen mithilfe der Koordinaten der Punkte A
und B (KA)
1 × A2: für das richtige Aufstellen der Gleichung mithilfe des gegebenen Winkels (KB)

7
Aufgabe 4
Windräder
Möglicher Lösungsweg
a) A =
d
2
∙ π
4
⇒ P N = c ∙
d
2
∙ π
4
0,85 = 0,169 ∙ 10
–3
∙
d
2
∙ π
4
d = 80,02…
Der Durchmesser beträgt rund 80,0 m.
b) zum Beispiel: P ′ ( v )
v
P ′
c) 0,5 = 0,0175 ∙ v
2
– 0,0796 ∙ v + 0,0391
v 1 = 7,887…
( v 2 = –3,339…)
Eine Leistung von 0,5 MW wird bei einer Windgeschwindigkeit von rund 7,89 m/s erzielt.
Es wird die relative Änderung der Leistung des Windrads bei einem Anstieg der Windgeschwindigkeit von 7 m/s auf 8 m/s ermittelt.
Lösungsschlüssel
a) 1 × B: für die richtige Berechnung des Durchmessers (KA)
b) 1 × A1: für die richtige Darstellung (Wendestelle von P als Maximumstelle von P ′ ) (KB)
1 × A2: für die richtige Darstellung (Vorzeichen der Ableitungsfunktion P ′ ( P ′ ( v ) > 0) und
Monotonieverhalten der Ableitungsfunktion P ′ ) (KB)
Das Krümmungsverhalten von P ′ ist für die Punktevergabe nicht relevant.
c) 1 × B: für die richtige Berechnung der Windgeschwindigkeit (KA)
1 × C: für die richtige Beschreibung im gegebenen Sachzusammenhang (KB)

8
Aufgabe 5
Hausbau
Möglicher Lösungsweg
a) α = arctan
(
h
a
2
)
α = arctan
(
2,2
3,5
)
= 32,15…° ≈ 32,2°
b) b = 6,5 ∙ cos(38°) – 4,25
b = 0,872… m ≈ 0,87 m
c)
Dachfläche in m
2
Kosten in €
K
1
4 000
3 000
2 000
1 000
3 500
2 500
1 500
500
0 20 40 60 80 100 120 140 160
K
2
Aus der Abbildung entnimmt man, dass für 120 m
2
Dachfläche das Angebot 2 kostengünstiger ist.
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige Erstellen der Formel (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung des Winkels (KB)
b) 1 × A: für den richtigen Ansatz zur Berechnung von b (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung von b (KB)
c) 1 × B: für das richtige Einzeichnen des Graphen (KA)
1 × C: für das richtige Ablesen (KB)

9
Aufgabe 6 (Teil B)
Flugbahnen
Möglicher Lösungsweg
a) Da sich der Scheitel der dargestellten Parabel im Ursprung des Koordinatensystems befindet,
gilt: b = 0 und c = 0.
Da der Funktionsgraph eine nach unten geöffnete Parabel ist, gilt: a < 0.
–0,08 = a · 100
2
⇒ a = –8 · 10
–6
b) Koeffizientenvergleich:
0,03492 = tan( α ) ⇒ α = 1,99…°
7,192 · 10
5
= 2 ∙ v
2
∙ cos
2
(1,99…°) ⇒ v = 600,0… ≈ 600
Die Abschussgeschwindigkeit beträgt rund 600 m/s.
c)
d x
d α
= 0:
2 · v
2
g
∙ [cos
2
( α ) – sin
2
( α )] = 0 ⇒ cos( α ) = sin( α ) ⇒ α = 45°
d
2
x
d α
2 < 0 für α = 45°:
d
2
x
d α
2 = –
8 · v
2
g
∙ sin( α ) ∙ cos( α ) < 0, wenn 0 < α < 90°
Lösungsschlüssel
a) 1 × D1: für die richtige Begründung zu den Parametern b und c (KA)
1 × D2: für die richtige Begründung zum Vorzeichen des Parameters a (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung des Parameters a (KA)
b) 1 × A: für einen richtigen Ansatz zur Berechnung von α (Koeffizientenvergleich) (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung der Abschussgeschwindigkeit (KB)
c) 1 × B: für die richtige Berechnung des Winkels (KA)
1 × D: für den richtigen Nachweis (KB)

10
Aufgabe 7 (Teil B)
Seile
Möglicher Lösungsweg
a)
b – a
c
ist die mittlere Steigung des Seils der Gondelbahn zwischen den Punkten P 1 und P 2 .
φ = arctan( f ′ ( c ))
b) c = h (0) = 1
h (2) = g (2)
a · 2
2
+ 1 =
ℯ
2
+ ℯ
–2
2
⇒ a = 0,690...
arctan( g ′ (2)) = 74,58...°
arctan( h ′ (2)) = 70,09...°
74,58...° – 70,09...° = 4,48...°
Der Schnittwinkel der Graphen von g und h im Schnittpunkt S 2 beträgt rund 4,5°.
c)
Ampel
G
F α
α
β
α β
31°
31°
F β
180° – 71° – 78° = 31°
Es gilt folgende Schreibweise: | F | = F .
F α
sin( β )
=
G
sin(31°)
⇒ F α = 2 848,7… N
F β
sin( α )
=
G
sin(31°)
⇒ F β = 2 753,7… N

11
Lösungsschlüssel
a) 1 × C: für die richtige Interpretation im gegebenen Sachzusammenhang (KA)
1 × A: für das richtige Aufstellen der Formel (KA)
b) 1 × C: für das richtige Ablesen des Parameters c (KA)
1 × B1: für das richtige Ermitteln des Parameters a (KB)
1 × A: für einen richtigen Ansatz zur Berechnung des Schnittwinkels im Schnittpunkt S
2
(KB)
1 × B2: für die richtige Berechnung des Schnittwinkels (KB)
c) 1 × A1: für das richtige Veranschaulichen mithilfe eines Kräfteparallelogramms (KA)
1 × A2: für den richtigen Ansatz (z. B. Sinussatz) (KB)
1 × B: für die richtige Berechnung der Beträge der beiden Kräfte (KB)

12
Aufgabe 8 (Teil B)
Snowboard
Möglicher Lösungsweg
a) f ( x ) = a ∙ x
4
+ b ∙ x
3
+ c ∙ x
2
+ d ∙ x + e
f ′ ( x ) = 4 ∙ a ∙ x
3
+ 3 ∙ b ∙ x
2
+ 2 ∙ c ∙ x + d
f (22) = 0 22
4
∙ a + 22
3
∙ b + 22
2
∙ c + 22 ∙ d + e = 0
f (38) = 15 38
4
∙ a + 38
3
∙ b + 38
2
∙ c + 38 ∙ d + e = 15
f ′ (38) = 0 oder: 4 · 38
3
∙ a + 3 · 38
2
∙ b + 2 · 38 ∙ c + d = 0
f (47) = 13 47
4
∙ a + 47
3
∙ b + 47
2
∙ c + 47 ∙ d + e = 13
f ′ (47) = 0 4 · 47
3
∙ a + 3 · 47
2
∙ b + 2 · 47 ∙ c + d = 0
b)
y in cm
x in cm
f h
80 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 85 0
25
20
15
10
5
0
C D
A B
g
A 3 =
∫
60
52
[
g ( x ) – h ( x )
]
d x
c) G ( x ) = –0,27 ∙ x
3
+ 15 ∙ x
2
+ 408,33 ∙ x – 10 000
G ′ ( x ) = 0 ⇒ x 1 = 47,62… ( x 2 = –10,58…)
G (47,62…) = 14 303,372…
Der maximale Gewinn beträgt rund 14 303,37 GE.
Nullstellen der Gewinnfunktion: G ( x ) = 0
( x 1 = –31,15…)
x 2 = 17,07…
x 3 = 69,63…
Der Gewinnbereich lautet: [17,1; 69,6].

13
Lösungsschlüssel
a) 1 × A1: für das richtige Aufstellen der Gleichungen mithilfe der Koordinaten der Punkte (KA)
1 × A2: für das richtige Aufstellen der Gleichungen mithilfe der 1. Ableitung (KA)
b) 1 × C: für das richtige Kennzeichnen der fehlenden Teilfläche (KA)
1 × A: für das richtige Aufstellen der Formel (KB)
c) 1 × A: für das richtige Aufstellen der Gleichung der Gewinnfunktion (KA)
1 × B1: für die richtige Berechnung des maximalen Gewinns (KB)
1 × B2: für das richtige Ermitteln des Gewinnbereichs (KB)