Mathematik-Matura Jänner 2017 · HLFS/HUM Cluster W1 – Lösungen

BHS
12. Jänner 2017
Angewandte Mathematik
Teil A + Teil B (Cluster 6)
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung

2
Korrektur- und Beurteilungsanleitung
zur standardisierten schriftlichen Reife- und Diplomprüfung
in Angewandter Mathematik
(Detaillierte Informationen dazu finden Sie für den BHS-Bereich im Erlass mit der Geschäftszahl
BMBF-17.100/0006-II/2015 des Bundesministeriums für Bildung und Frauen.)
Kompetenzbereiche
Im Beurteilungsmodell für die Angewandte Mathematik wird zwischen zwei Kompetenzbereichen
unterschieden:
n Kompetenzbereich A ( KA ) umfasst die unabhängig
1
erreichbaren Punkte der Komplexitätsstufen 1 und 2 aus dem Kompetenzstufenraster.
n Kompetenzbereich B ( KB ) umfasst die abhängig erreichbaren Punkte und die Punkte der
Komplexitätsstufen 3 und 4 aus dem Kompetenzstufenraster.
Die Summe der unabhängig erreichbaren Punkte aus den Komplexitätsstufen 1 und 2 ( KA ) stellt die
„wesentlichen Bereiche“ eines Klausurheftes dar.
Beurteilung
Als Hilfsmittel für die Beurteilung wird ein auf ein Punktesystem basierender Beurteilungsschlüssel angegeben. Je nach gewichteter Schwierigkeit der vergebenen Punkte in den „wesentlichen
Bereichen“ wird festgelegt, ab wann die „wesentlichen Bereiche überwiegend“ (Genügend) erfüllt
sind, d. h., gemäß einem Punkteschema müssen Punkte aus dem Kompetenzbereich A unter Einbeziehung von Punkten aus dem Kompetenzbereich B in ausreichender Anzahl abhängig von der
Zusammenstellung der Klausurhefte gelöst werden. Darauf aufbauend wird die für die übrigen Notenstufen zu erreichende Punktezahl festgelegt.
Nach der Punkteermittlung soll die Arbeit der Kandidatin / des Kandidaten nochmals ganzheitlich
qualitativ betrachtet werden. Unter Zuhilfenahme des Punkteschemas und der ganzheitlichen Betrachtung ist von der Prüferin / vom Prüfer ein verbal begründeter Beurteilungsvorschlag zu erstellen,
wobei die Ergebnisse der Kompetenzbereiche A und B in der Argumentation zu verwenden sind.
Beurteilungsschlüssel für die vorliegende Klausur:
42–47 Punkte Sehr gut
36–41 Punkte Gut
30–35 Punkte Befriedigend
21–29 Punkte Genügend
0–20 Punkte Nicht genügend
1
Unabhängige Punkte sind solche, für die keine mathematische Vorleistung erbracht werden muss. Als mathematische Vorleistung gilt z. B. das Aufstellen einer Gleichung (unabhängiger Punkt) mit anschließender Berechnung (abhängiger Punkt).

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Handreichung zur Korrektur
der standardisierten schriftlichen Reife- und Diplomprüfung
in Angewandter Mathematik
1. In der Lösungserwartung ist nur ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen.
2. Der Lösungsschlüssel ist verbindlich anzuwenden unter Beachtung folgender Vorgangsweisen:
a. Punkte sind nur zu vergeben, wenn die abgefragte Handlungskompetenz in der Bearbeitung vollständig erfüllt ist.
b. Berechnungen ohne nachvollziehbaren Rechenansatz bzw. ohne nachvollziehbare Dokumentation des Technologieeinsatzes (verwendete Ausgangsparameter und die verwendete
Technologiefunktion müssen angegeben sein) sind mit null Punkten zu bewerten.
c. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen bzw. Lösungswege von der Kandidatin / vom
Kandidaten angeboten und nicht alle diese Lösungen bzw. Lösungswege sind korrekt, so
ist diese Teilaufgabe mit null Punkten zu bewerten.
d. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Das heißt zum Beispiel :
Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu vergeben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht vereinfacht.
e. Werden von der Kandidatin / vom Kandidaten kombinierte Handlungsanweisungen in einem
Lösungsschritt erbracht, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der Lösungsschlüssel
Einzelschritte vorgibt.
f. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als solche
identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner Vereinfachung
der Aufgabenstellung führen.
g. Rundungsfehler können vernachlässigt werden, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert ist.
h. Jedes Diagramm bzw. jede Skizze, die Lösung einer Handlungsanweisung ist, muss eine
qualitative Achsenbeschriftung enthalten, andernfalls ist dies mit null Punkten zu bewerten.
i. Die Angabe von Einheiten kann bei der Punktevergabe vernachlässigt werden, sofern sie im
Lösungsschlüssel nicht explizit eingefordert wird.
3. Sind Sie sich als Korrektor/in über die Punktevergabe nicht schlüssig, können Sie eine Korrekturanfrage an das BMB (via Telefon-Hotline oder Online-Helpdesk) stellen.

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Aufgabe 1
Körpergröße
Möglicher Lösungsweg
a) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
x = 178,6 cm
σ = 7,499… cm ≈ 7,5 cm bzw. s = 7,904… cm ≈ 7,9 cm
Messwerte, die für die fehlerhafte Eingabe in Frage kommen: 168, 169, 171, 174, 179
b) X … Körpergröße eines zufällig ausgewählten Studenten in cm
P ( X ≥ a ) = 0,8
Berechnung von a mittels Technologieeinsatz:
a = 172,52… cm
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 % wird eine Körpergröße von rund 172,5 cm überschritten.
Wendepunkt Wendepunkt
Körpergröße in cm μ 165 191
Lösungsschlüssel
a) 1 × B: für die richtige Berechnung des arithmetischen Mittelwerts und der Standardabweichung (KA)
1 × C: für die richtige Angabe aller Werte, die für die fehlerhafte Eingabe in Frage kommen (KB)
b) 1 × B: für die richtige Berechnung der Körpergröße (KA)
1 × A: für das richtige Veranschaulichen der Wahrscheinlichkeit in der gegebenen Abbildung
(Intervall: [ μ – 2 σ ; μ + 2 σ ]) (KA)

5
Aufgabe 2
Vernetzte Welt
Möglicher Lösungsweg
a) F ( t ) = F 0 ∙ a
t
F 0 = 5,5
820 = 5,5 ∙ a
6
⇒ a =
820
5,5
6
= 2,30272… ≈ 2,3027
F ( t ) = 5,5 ∙ 2,3027
t
b) 12 Jahre entsprechen der 8-fachen Verdoppelungszeit
(
12
1,5
= 8
)
.
2
8
= 256
Die Behauptung ist daher falsch.
c) Binomialverteilung:
X ... Anzahl der Bauteile, die innerhalb eines Jahres ausfallen
n = 10, p = 0,02
Berechnung mittels Technologieeinsatz: P ( X ≥ 1) = 1 – P ( X = 0) = 0,1829… ≈ 18,3 %
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige Erstellen der Funktionsgleichung (KA)
b) 1 × D: für den richtigen Nachweis (KA)
c) 1 × B: für die richtige Berechnung der Wahrscheinlichkeit (KA)

6
Aufgabe 3
Skatepark
Möglicher Lösungsweg
a) A = (2 ∙ a + b ) ∙ h – b ∙ r –
r
2
∙ π
2
1
t
m
3
=
10
6
g
10
6
cm
3
= 1
g
cm
3
b)
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
t in s
v ( t ) in m/s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
v
v ′ (0,3) ist die Beschleunigung der Skaterin zum Zeitpunkt t = 0,3 s.
c) v =
1,5
0,6
= 2,5
Toleranzbereich für v : [2,1; 2,9]
Die mittlere Geschwindigkeit beträgt rund 2,5 m/s.
d) f ( x ) = a ∙ x
2
+ b ∙ x + c
f ′ ( x ) = 2 ∙ a ∙ x + b
f (0) = 160 c = 160
f (20) = 0 oder: 400 · a + 20 · b + c = 0
f ′ (0) = tan(–80°) b = tan(–80°)
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige Aufstellen der Formel (KA)
1 × D: für den richtigen Nachweis (KA)
b) 1 × A: für das richtige Veranschaulichen des Weges (KA)
1 × C: für die richtige Beschreibung im gegebenen Sachzusammenhang (KA)
c) 1 × B: für das richtige Ermitteln der mittleren Geschwindigkeit im Toleranzbereich [2,1; 2,9] (KA)
d) 1 × A1: für das richtige Aufstellen der Gleichungen mithilfe der Koordinaten der Punkte A
und B (KA)
1 × A2: für das richtige Aufstellen der Gleichung mithilfe des gegebenen Winkels (KB)

7
Aufgabe 4
Windräder
Möglicher Lösungsweg
a) A =
d
2
∙ π
4
⇒ P N = c ∙
d
2
∙ π
4
0,85 = 0,169 ∙ 10
–3
∙
d
2
∙ π
4
d = 80,02…
Der Durchmesser beträgt rund 80,0 m.
b) zum Beispiel: P ′ ( v )
v
P ′
c) 0,5 = 0,0175 ∙ v
2
– 0,0796 ∙ v + 0,0391
v 1 = 7,887…
( v 2 = –3,339…)
Eine Leistung von 0,5 MW wird bei einer Windgeschwindigkeit von rund 7,89 m/s erzielt.
Es wird die relative Änderung der Leistung des Windrads bei einem Anstieg der Windgeschwindigkeit von 7 m/s auf 8 m/s ermittelt.
Lösungsschlüssel
a) 1 × B: für die richtige Berechnung des Durchmessers (KA)
b) 1 × A1: für die richtige Darstellung (Wendestelle von P als Maximumstelle von P ′ ) (KB)
1 × A2: für die richtige Darstellung (Vorzeichen der Ableitungsfunktion P ′ ( P ′ ( v ) > 0) und
Monotonieverhalten der Ableitungsfunktion P ′ ) (KB)
Das Krümmungsverhalten von P ′ ist für die Punktevergabe nicht relevant.
c) 1 × B: für die richtige Berechnung der Windgeschwindigkeit (KA)
1 × C: für die richtige Beschreibung im gegebenen Sachzusammenhang (KB)

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Aufgabe 5
Hausbau
Möglicher Lösungsweg
a) α = arctan
(
h
a
2
)
α = arctan
(
2,2
3,5
)
= 32,15…° ≈ 32,2°
b) b = 6,5 ∙ cos(38°) – 4,25
b = 0,872… m ≈ 0,87 m
c)
Dachfläche in m
2
Kosten in €
K
1
4 000
3 000
2 000
1 000
3 500
2 500
1 500
500
0 20 40 60 80 100 120 140 160
K
2
Aus der Abbildung entnimmt man, dass für 120 m
2
Dachfläche das Angebot 2 kostengünstiger ist.
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige Erstellen der Formel (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung des Winkels (KB)
b) 1 × A: für den richtigen Ansatz zur Berechnung von b (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung von b (KB)
c) 1 × B: für das richtige Einzeichnen des Graphen (KA)
1 × C: für das richtige Ablesen (KB)

9
Aufgabe 6 (Teil B)
Fairtrade
Möglicher Lösungsweg
a) Ermitteln der Regressionsfunktion mittels Technologieeinsatz:
f ( t ) = 12,25 ∙ t + 50,96 (Koeffizienten gerundet)
t … Zeit in Jahren ( t = 0 entspricht dem Jahr 2007)
f ( t ) … jährlicher Gesamtumsatz zur Zeit t in Mio. Euro
Zeit in Jahren
jährlicher Gesamtumsatz in Mio. Euro
2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
Ermitteln des Korrelationskoeffizienten mittels Technologieeinsatz: r ≈ 0,991
Da der Korrelationskoeffizient sehr nahe bei 1 liegt, kann ein starker linearer Zusammenhang
vermutet werden.
f (13) = 210,2…
Gemäß diesem Modell wird der jährliche Gesamtumsatz im Jahr 2020 rund 210 Millionen
Euro betragen.
b) Gemäß diesem Modell steigt der jährliche Gesamtumsatz pro Jahr um 13,6 Millionen Euro.

10
c)
Kaffee
24
107
= 0,2242… ≈ 22,4 %
Der Umsatz an Süßwaren betrug im Jahr 2012 rund 22,4 Prozent des Gesamtumsatzes.
Lösungsschlüssel
a) 1 × B1: für das richtige Ermitteln der Gleichung der Regressionsfunktion (KA)
1 × B2: für das richtige Einzeichnen des Graphen der Regressionsfunktion (KB)
1 × D: für die richtige Beurteilung mithilfe des Korrelationskoeffizienten (KB)
1 × B3: für die richtige Berechnung des jährlichen Gesamtumsatzes im Jahr 2020 (KB)
b) 1 × C: für die richtige Interpretation im gegebenen Sachzusammenhang (KA)
c) 1 × C: für das richtige Kennzeichnen des Sektors, der den Umsatz an Kaffee darstellt (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung des Prozentsatzes (KA)

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Aufgabe 7 (Teil B)
Fruchtsäfte
Möglicher Lösungsweg
a) x + y ≤ 200
y ≤ 40
b)
x in ME
y in ME
120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 130
20
15
10
5
0
25

12
c) Z ( x , y ) = 120 ∙ x + 200 ∙ y
x , y … Anzahl der ME Apfelsaft bzw. Orangensaft
oder:
Z ( x , y ) = 0,12 ∙ x + 0,20 ∙ y
x, y … Anzahl der Flaschen Apfelsaft bzw. Orangensaft
y in ME
x in ME
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 110 120 0
70
60
50
40
30
20
10
0
110
100
90
80
120
120 ∙ 50 + 200 ∙ 70 = 20 000
Der maximale Gewinn pro Tag beträgt € 20.000.
Der maximale Gewinn pro Tag verändert sich nicht, weil der Eckunkt (50|70) trotz dieser zusätzlichen Einschränkung immer noch im Lösungsbereich enthalten ist.
Lösungsschlüssel
a) 1 × A1: für das richtige Erstellen der Ungleichung mithilfe der Information bezüglich der gesamten Kapazitätsbeschränkung (KA)
1 × A2: für das richtige Erstellen der Ungleichung mithilfe der Information bezüglich der Produktionseinschränkung bei Birnensaft (KA)
b) 1 × B: für das richtige Zeichnen der Randgeraden des Lösungsbereichs (KA)
1 × C: für das richtige Markieren des Lösungsbereichs (KB)
c) 1 × A: für das richtige Aufstellen der Gleichung der Zielfunktion (KA)
1 × B1: für das richtige Einzeichnen der Geraden, für die der optimale Wert der Zielfunktion
angenommen wird (KB)
1 × B2: für das richtige Ermitteln des maximalen Gewinns pro Tag (KB)
1 × D: für die richtige Begründung (KB)

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Aufgabe 8 (Teil B)
Kunst und Kaffee
Möglicher Lösungsweg
a)
Preis in € pro Besucher/in
Anzahl der Besucher/innen pro Tag
220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 240
40
30
20
10
0
50
Sättigungsmenge
b) Gemäß dem Modell steigt die Besucheranzahl um 1 Person pro Tag, wenn der Preis um
€ 0,25 pro Person reduziert wird (Steigung der Preisfunktion der Nachfrage). Daher muss der
Preis um € 2,50 pro Person gesenkt werden, wenn man 10 Besucher/innen mehr pro Tag
gewinnen möchte.

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c) E ( x ) = p ( x ) ∙ x = –0,25 ∙ x
2
+ 45 ∙ x
x … Anzahl der Besucher/innen pro Tag
E ( x ) … Erlös bei x Besucherinnen und Besuchern in €
Die erste Koordinate des Scheitelpunkts gibt an, bei welcher Anzahl an Besucherinnen und
Besuchern pro Tag der Erlös maximal ist, die zweite Koordinate gibt an, wie hoch dieser maximale Erlös ist.
G ( x ) = E ( x ) – K ( x ) = –0,3 ∙ x
2
+ 33 ∙ x – 500
Lösen der Gleichung G ′ ( x ) = 0:
–0,6 ∙ x + 33 = 0 ⇒ x = 55
G (55) = 407,50
Der maximale Gewinn beträgt € 407,50 pro Tag.
Eine Änderung der Fixkosten entspricht der Addition bzw. Subtraktion einer konstanten Funktion zur Gewinnfunktion. Sie bewirkt eine vertikale Verschiebung des Graphen, wodurch sich
die Maximumstelle nicht verändert.
oder:
Die Stelle des maximalen Gewinns ist die Nullstelle der 1. Ableitung der Gewinnfunktion. Die
Fixkosten sind in der Gewinnfunktion ein konstanter Summand, der beim Bilden der 1. Ableitung wegfällt. Folglich haben sie auch keinen Einfluss auf die Stelle des maximalen Gewinns.
Lösungsschlüssel
a) 1 × B: für das richtige Einzeichnen des Funktionsgraphen (KA)
1 × C: für das richtige Markieren der Sättigungsmenge (KB)
b) 1 × C: für das richtige Ermitteln der Preisreduktion (KA)
c) 1 × A: für das richtige Aufstellen der Funktionsgleichung (KA)
1 × C: für die richtige Interpretation der beiden Koordinaten des Scheitelpunkts im gegebenen
Sachzusammenhang (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung des maximalen Gewinns (KB)
1 × D: für die richtige Erklärung (KA)