Mathematik-Matura Jänner 2017 · Berufsreifeprüfung – Lösungen

BHS
12. Jänner 2017
Angewandte Mathematik
Teil A + Teil B (Cluster 9)
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung

2
Korrektur- und Beurteilungsanleitung
zur standardisierten schriftlichen Reife- und Diplomprüfung
in Angewandter Mathematik
(Detaillierte Informationen dazu finden Sie für den BHS-Bereich im Erlass mit der Geschäftszahl
BMBF-17.100/0006-II/2015 des Bundesministeriums für Bildung und Frauen.)
Kompetenzbereiche
Im Beurteilungsmodell für die Angewandte Mathematik wird zwischen zwei Kompetenzbereichen
unterschieden:
n Kompetenzbereich A ( KA ) umfasst die unabhängig
1
erreichbaren Punkte der Komplexitätsstufen 1 und 2 aus dem Kompetenzstufenraster.
n Kompetenzbereich B ( KB ) umfasst die abhängig erreichbaren Punkte und die Punkte der
Komplexitätsstufen 3 und 4 aus dem Kompetenzstufenraster.
Die Summe der unabhängig erreichbaren Punkte aus den Komplexitätsstufen 1 und 2 ( KA ) stellt die
„wesentlichen Bereiche“ eines Klausurheftes dar.
Beurteilung
Als Hilfsmittel für die Beurteilung wird ein auf ein Punktesystem basierender Beurteilungsschlüssel angegeben. Je nach gewichteter Schwierigkeit der vergebenen Punkte in den „wesentlichen
Bereichen“ wird festgelegt, ab wann die „wesentlichen Bereiche überwiegend“ (Genügend) erfüllt
sind, d. h., gemäß einem Punkteschema müssen Punkte aus dem Kompetenzbereich A unter Einbeziehung von Punkten aus dem Kompetenzbereich B in ausreichender Anzahl abhängig von der
Zusammenstellung der Klausurhefte gelöst werden. Darauf aufbauend wird die für die übrigen Notenstufen zu erreichende Punktezahl festgelegt.
Nach der Punkteermittlung soll die Arbeit der Kandidatin / des Kandidaten nochmals ganzheitlich
qualitativ betrachtet werden. Unter Zuhilfenahme des Punkteschemas und der ganzheitlichen Betrachtung ist von der Prüferin / vom Prüfer ein verbal begründeter Beurteilungsvorschlag zu erstellen,
wobei die Ergebnisse der Kompetenzbereiche A und B in der Argumentation zu verwenden sind.
Beurteilungsschlüssel für die vorliegende Klausur:
43–48 Punkte Sehr gut
37–42 Punkte Gut
31–36 Punkte Befriedigend
21–30 Punkte Genügend
0–20 Punkte Nicht genügend
1
Unabhängige Punkte sind solche, für die keine mathematische Vorleistung erbracht werden muss. Als mathematische Vorleistung gilt z. B. das Aufstellen einer Gleichung (unabhängiger Punkt) mit anschließender Berechnung (abhängiger Punkt).

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Handreichung zur Korrektur
der standardisierten schriftlichen Reife- und Diplomprüfung
in Angewandter Mathematik
1. In der Lösungserwartung ist nur ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen.
2. Der Lösungsschlüssel ist verbindlich anzuwenden unter Beachtung folgender Vorgangsweisen:
a. Punkte sind nur zu vergeben, wenn die abgefragte Handlungskompetenz in der Bearbeitung vollständig erfüllt ist.
b. Berechnungen ohne nachvollziehbaren Rechenansatz bzw. ohne nachvollziehbare Dokumentation des Technologieeinsatzes (verwendete Ausgangsparameter und die verwendete
Technologiefunktion müssen angegeben sein) sind mit null Punkten zu bewerten.
c. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen bzw. Lösungswege von der Kandidatin / vom
Kandidaten angeboten und nicht alle diese Lösungen bzw. Lösungswege sind korrekt, so
ist diese Teilaufgabe mit null Punkten zu bewerten.
d. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Das heißt zum Beispiel :
Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu vergeben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht vereinfacht.
e. Werden von der Kandidatin / vom Kandidaten kombinierte Handlungsanweisungen in einem
Lösungsschritt erbracht, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der Lösungsschlüssel
Einzelschritte vorgibt.
f. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als solche
identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner Vereinfachung
der Aufgabenstellung führen.
g. Rundungsfehler können vernachlässigt werden, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert ist.
h. Jedes Diagramm bzw. jede Skizze, die Lösung einer Handlungsanweisung ist, muss eine
qualitative Achsenbeschriftung enthalten, andernfalls ist dies mit null Punkten zu bewerten.
i. Die Angabe von Einheiten kann bei der Punktevergabe vernachlässigt werden, sofern sie im
Lösungsschlüssel nicht explizit eingefordert wird.
3. Sind Sie sich als Korrektor/in über die Punktevergabe nicht schlüssig, können Sie eine Korrekturanfrage an das BMB (via Telefon-Hotline oder Online-Helpdesk) stellen.

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Aufgabe 1
Körpergröße
Möglicher Lösungsweg
a) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
x = 178,6 cm
σ = 7,499… cm ≈ 7,5 cm bzw. s = 7,904… cm ≈ 7,9 cm
Messwerte, die für die fehlerhafte Eingabe in Frage kommen: 168, 169, 171, 174, 179
b) X … Körpergröße eines zufällig ausgewählten Studenten in cm
P ( X ≥ a ) = 0,8
Berechnung von a mittels Technologieeinsatz:
a = 172,52… cm
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 % wird eine Körpergröße von rund 172,5 cm überschritten.
Wendepunkt Wendepunkt
Körpergröße in cm μ 165 191
Lösungsschlüssel
a) 1 × B: für die richtige Berechnung des arithmetischen Mittelwerts und der Standardabweichung (KA)
1 × C: für die richtige Angabe aller Werte, die für die fehlerhafte Eingabe in Frage kommen (KB)
b) 1 × B: für die richtige Berechnung der Körpergröße (KA)
1 × A: für das richtige Veranschaulichen der Wahrscheinlichkeit in der gegebenen Abbildung
(Intervall: [ μ – 2 σ ; μ + 2 σ ]) (KA)

5
Aufgabe 2
Vernetzte Welt
Möglicher Lösungsweg
a) F ( t ) = F 0 ∙ a
t
F 0 = 5,5
820 = 5,5 ∙ a
6
⇒ a =
820
5,5
6
= 2,30272… ≈ 2,3027
F ( t ) = 5,5 ∙ 2,3027
t
b) 12 Jahre entsprechen der 8-fachen Verdoppelungszeit
(
12
1,5
= 8
)
.
2
8
= 256
Die Behauptung ist daher falsch.
c) Binomialverteilung:
X ... Anzahl der Bauteile, die innerhalb eines Jahres ausfallen
n = 10, p = 0,02
Berechnung mittels Technologieeinsatz: P ( X ≥ 1) = 1 – P ( X = 0) = 0,1829… ≈ 18,3 %
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige Erstellen der Funktionsgleichung (KA)
b) 1 × D: für den richtigen Nachweis (KA)
c) 1 × B: für die richtige Berechnung der Wahrscheinlichkeit (KA)

6
Aufgabe 3
Skatepark
Möglicher Lösungsweg
a) A = (2 ∙ a + b ) ∙ h – b ∙ r –
r
2
∙ π
2
1
t
m
3
=
10
6
g
10
6
cm
3
= 1
g
cm
3
b)
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
t in s
v ( t ) in m/s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
v
v ′ (0,3) ist die Beschleunigung der Skaterin zum Zeitpunkt t = 0,3 s.
c) v =
1,5
0,6
= 2,5
Toleranzbereich für v : [2,1; 2,9]
Die mittlere Geschwindigkeit beträgt rund 2,5 m/s.
d) f ( x ) = a ∙ x
2
+ b ∙ x + c
f ′ ( x ) = 2 ∙ a ∙ x + b
f (0) = 160 c = 160
f (20) = 0 oder: 400 · a + 20 · b + c = 0
f ′ (0) = tan(–80°) b = tan(–80°)
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige Aufstellen der Formel (KA)
1 × D: für den richtigen Nachweis (KA)
b) 1 × A: für das richtige Veranschaulichen des Weges (KA)
1 × C: für die richtige Beschreibung im gegebenen Sachzusammenhang (KA)
c) 1 × B: für das richtige Ermitteln der mittleren Geschwindigkeit im Toleranzbereich [2,1; 2,9] (KA)
d) 1 × A1: für das richtige Aufstellen der Gleichungen mithilfe der Koordinaten der Punkte A
und B (KA)
1 × A2: für das richtige Aufstellen der Gleichung mithilfe des gegebenen Winkels (KB)

7
Aufgabe 4
Windräder
Möglicher Lösungsweg
a) A =
d
2
∙ π
4
⇒ P N = c ∙
d
2
∙ π
4
0,85 = 0,169 ∙ 10
–3
∙
d
2
∙ π
4
d = 80,02…
Der Durchmesser beträgt rund 80,0 m.
b) zum Beispiel: P ′ ( v )
v
P ′
c) 0,5 = 0,0175 ∙ v
2
– 0,0796 ∙ v + 0,0391
v 1 = 7,887…
( v 2 = –3,339…)
Eine Leistung von 0,5 MW wird bei einer Windgeschwindigkeit von rund 7,89 m/s erzielt.
Es wird die relative Änderung der Leistung des Windrads bei einem Anstieg der Windgeschwindigkeit von 7 m/s auf 8 m/s ermittelt.
Lösungsschlüssel
a) 1 × B: für die richtige Berechnung des Durchmessers (KA)
b) 1 × A1: für die richtige Darstellung (Wendestelle von P als Maximumstelle von P ′ ) (KB)
1 × A2: für die richtige Darstellung (Vorzeichen der Ableitungsfunktion P ′ ( P ′ ( v ) > 0) und
Monotonieverhalten der Ableitungsfunktion P ′ ) (KB)
Das Krümmungsverhalten von P ′ ist für die Punktevergabe nicht relevant.
c) 1 × B: für die richtige Berechnung der Windgeschwindigkeit (KA)
1 × C: für die richtige Beschreibung im gegebenen Sachzusammenhang (KB)

8
Aufgabe 5
Hausbau
Möglicher Lösungsweg
a) α = arctan
(
h
a
2
)
α = arctan
(
2,2
3,5
)
= 32,15…° ≈ 32,2°
b) b = 6,5 ∙ cos(38°) – 4,25
b = 0,872… m ≈ 0,87 m
c)
Dachfläche in m
2
Kosten in €
K
1
4 000
3 000
2 000
1 000
3 500
2 500
1 500
500
0 20 40 60 80 100 120 140 160
K
2
Aus der Abbildung entnimmt man, dass für 120 m
2
Dachfläche das Angebot 2 kostengünstiger ist.
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige Erstellen der Formel (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung des Winkels (KB)
b) 1 × A: für den richtigen Ansatz zur Berechnung von b (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung von b (KB)
c) 1 × B: für das richtige Einzeichnen des Graphen (KA)
1 × C: für das richtige Ablesen (KB)

9
Aufgabe 6 (Teil B)
Fairtrade
Möglicher Lösungsweg
a) Ermitteln der Regressionsfunktion mittels Technologieeinsatz:
f ( t ) = 12,25 ∙ t + 50,96 (Koeffizienten gerundet)
t … Zeit in Jahren ( t = 0 entspricht dem Jahr 2007)
f ( t ) … jährlicher Gesamtumsatz zur Zeit t in Mio. Euro
Zeit in Jahren
jährlicher Gesamtumsatz in Mio. Euro
2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
Ermitteln des Korrelationskoeffizienten mittels Technologieeinsatz: r ≈ 0,991
Da der Korrelationskoeffizient sehr nahe bei 1 liegt, kann ein starker linearer Zusammenhang
vermutet werden.
f (13) = 210,2…
Gemäß diesem Modell wird der jährliche Gesamtumsatz im Jahr 2020 rund 210 Millionen
Euro betragen.
b) Gemäß diesem Modell steigt der jährliche Gesamtumsatz pro Jahr um 13,6 Millionen Euro.

10
c)
Kaffee
24
107
= 0,2242… ≈ 22,4 %
Der Umsatz an Süßwaren betrug im Jahr 2012 rund 22,4 Prozent des Gesamtumsatzes.
Lösungsschlüssel
a) 1 × B1: für das richtige Ermitteln der Gleichung der Regressionsfunktion (KA)
1 × B2: für das richtige Einzeichnen des Graphen der Regressionsfunktion (KB)
1 × D: für die richtige Beurteilung mithilfe des Korrelationskoeffizienten (KB)
1 × B3: für die richtige Berechnung des jährlichen Gesamtumsatzes im Jahr 2020 (KB)
b) 1 × C: für die richtige Interpretation im gegebenen Sachzusammenhang (KA)
c) 1 × C: für das richtige Kennzeichnen des Sektors, der den Umsatz an Kaffee darstellt (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung des Prozentsatzes (KA)

11
Aufgabe 7 (Teil B)
Snowboard
Möglicher Lösungsweg
a) f ( x ) = a ∙ x
4
+ b ∙ x
3
+ c ∙ x
2
+ d ∙ x + e
f ′ ( x ) = 4 ∙ a ∙ x
3
+ 3 ∙ b ∙ x
2
+ 2 ∙ c ∙ x + d
f (22) = 0 22
4
∙ a + 22
3
∙ b + 22
2
∙ c + 22 ∙ d + e = 0
f (38) = 15 38
4
∙ a + 38
3
∙ b + 38
2
∙ c + 38 ∙ d + e = 15
f ′ (38) = 0 oder: 4 · 38
3
∙ a + 3 · 38
2
∙ b + 2 · 38 ∙ c + d = 0
f (47) = 13 47
4
∙ a + 47
3
∙ b + 47
2
∙ c + 47 ∙ d + e = 13
f ′ (47) = 0 4 · 47
3
∙ a + 3 · 47
2
∙ b + 2 · 47 ∙ c + d = 0
b)
y in cm
x in cm
f h
80 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 85 0
25
20
15
10
5
0
C D
A B
g
A 3 =
∫
60
52
[
g ( x ) – h ( x )
]
d x
Lösungsschlüssel
a) 1 × A1: für das richtige Aufstellen der Gleichungen mithilfe der Koordinaten der Punkte (KA)
1 × A2: für das richtige Aufstellen der Gleichungen mithilfe der 1. Ableitung (KA)
b) 1 × C: für das richtige Kennzeichnen der fehlenden Teilfläche (KA)
1 × A: für das richtige Aufstellen der Formel (KB)

12
Aufgabe 8 (Teil B)
Silvesterlauf
Möglicher Lösungsweg
a) y in km
x in km
0 3 2 1 4 –2 –3 –4 –1
0
3
2
1
4
–2
–3
–4
–1
A
B
C D
E
Das Skalarprodukt
→
CD ·
→
DE = 0, weil die beiden Vektoren normal aufeinander stehen.
→
BC =
( )
1
–5
BC = √ 1
2
+ 5
2
= √ 26 = 5,09...
Die Streckenlänge BC beträgt rund 5,1 km.
b) Median der Laufzeiten: 80 min
Elisabeth gehört zum Viertel der schnellsten Läufer/innen, ihre Laufzeit liegt also im Intervall
von 50 min bis 60 min.
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige Veranschaulichen der Laufstrecke im gegebenen Koordinatensystem (KA)
1 × D: für die richtige Erklärung (KB)
1 × B1: für das richtige Ermitteln der Koordinaten des Vektors
→
BC (KA)
1 × B2: für die richtige Berechnung der Streckenlänge BC (KB)
b) 1 × C1: für das richtige Ablesen des Medians der Laufzeiten (KA)
1 × C2: für das richtige Ablesen des kleinsten Intervalls, in dem Elisabeths Laufzeit mit Sicherheit liegen muss (KA)

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Aufgabe 9 (Teil B)
Bienenwaben
Möglicher Lösungsweg
a) Glieder der Folge: a 1 = 6, a 2 = 12, a 3 = 18, a 4 = 24
rekursives Bildungsgesetz:
a 1 = 6
an + 1 = an + 6
explizites Bildungsgesetz:
an = 6 + ( n – 1) ∙ 6
oder:
an = 6 ∙ n
b) 271 = 1 + 3 ∙ n + 3 ∙ n
2
Lösung mittels Technologieeinsatz: n = 9
Diese Wabe besteht aus 9 Ringen.
c) Honigvolumen auf einer Fläche von 3 dm
2
in ml: 850 ∙ 0,3 ∙ 3 = 765
765 ml ∙ 1,4 g/ml = 1 071 g
Auf einer Fläche von 3 dm
2
sind 1 071 g Honig zu erwarten.
d) Die Argumentation ist falsch, weil der abgebildete Wertebereich nicht bei 0, sondern bei
280 000 „beginnt“.
Lösungsschlüssel
a) 1 × A1: für das richtige Angeben der ersten 4 Glieder der Folge (KA)
1 × A2: für das richtige Aufstellen des rekursiven Bildungsgesetzes (KB)
1 × A3: für das richtige Aufstellen des expliziten Bildungsgesetzes (KB)
b) 1 × B: für das richtige Ermitteln der Anzahl der Ringe (KA)
c) 1 × B: für die richtige Berechnung der Masse in Gramm (KA)
d) 1 × D: für die richtige Erklärung (KB)