Mathematik-Matura Jänner 2017 · AHS Teil 2 – Lösungen

AHS
12. Jänner 2017
Mathematik
Teil-2-Aufgaben
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung

2
Aufgabe 1
Graphen von Polynomfunktionen dritten Grades
a) Lösungserwartung:
Mögliche Begründung:
Nur an denjenigen Stellen, an denen f ′ ( x ) = 0 ist, können lokale Extremstellen von f liegen.
Die Ableitungsfunktion f ′ ist eine Polynomfunktion zweiten Grades. Da die quadratische Gleichung f ′ ( x ) = 0 maximal zwei Lösungen hat, kann die Funktion f höchstens zwei Extremstellen haben.
Mögliche Vorgehensweise:
Die 1. Ableitung f ′ ( x ) = 3 x
2
– 6 x + 3 hat genau eine Nullstelle bei x = 1 und hat sowohl links
als auch rechts von der Nullstelle positive Werte. Damit ist die Funktion f auf ihrem gesamten
Definitionsbereich streng monoton wachsend und hat keine Extremstelle.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für eine (sinngemäß) richtige Begründung.
– Ein Ausgleichspunkt für einen korrekten Nachweis. Andere korrekte Nachweise sind ebenfalls als richtig zu werten.
b) Lösungserwartung:
b = 0
d = 0
∫
x 1
– x 1
f ( x ) d x = 0
Mögliche Begründung:
Wegen der Symmetrie des Graphen von f bezüglich des Ursprungs begrenzt der Graph von f
mit der x -Achse in den Intervallen [– x
1
; 0] und [0; x
1
] zwei gleich große Flächenstücke, von
denen eines oberhalb und eines unterhalb der x -Achse liegt.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die Angabe der beiden korrekten Werte.
– Ein Punkt für die richtige Lösung und eine korrekte Begründung.

3
c) Lösungserwartung:
f ″ ( x ) = 0
6 a · x + 2 b = 0
x = –
b
3 a
x = 0 ⇒ b = 0
f ′ ( x ) = 3 a · x
2
+ c
f ′ (0) = 0 ⇒ c = 0
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die richtige Lösung.
– Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Aufgabe auch bei korrektem Ansatz als richtig
gelöst zu werten ist.

4
Aufgabe 2
Ebola
a) Lösungserwartung:
4 963 – 4269 gibt die absolute Zunahme der Erkrankungen in dieser Woche an.
4 963 – 4 269
4 269
gibt die relative Zunahme der Erkrankungen in dieser Woche an.
prognostizierte Erkrankungen für den 20. September 2014:
lineares Modell: 4 963 + (4 963 – 4 269) = 5 657
exponentielles Modell: 4 963 · (
4 963 – 4 269
4 269
+ 1 ) ≈ 5 770
Das exponentielle Modell ist eher angemessen, da es näher beim tatsächlichen Wert von
5 843 Erkrankungen liegt.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Deutung beider Ausdrücke.
– Ein Punkt für die Angabe der beiden korrekten Werte und die Angabe der entsprechenden
angemessenen Modellierung.
Toleranzintervall für den exponentiellen Wert: [5 450; 5 960]
b) Lösungserwartung:
Mögliche Vorgehensweise:
f (0) = 4 269
f (14) = 5 843 = 4 269 · b
14
b =
5 843
4 269
14
≈ 1,0227
t =
ln
(
20 000
4 269
)
ln(1,0227)
≈ 68,80, also am 69. Tag nach dem 6. September 2014. Dieser Zeitpunkt ist
Mitte November.
Die Aussage der Wissenschaftler, es könne bis Mitte Oktober 2014 bereits 20 000 Erkrankungsfälle geben, erscheint daher (nach vorliegendem Modell) nicht gerechtfertigt.
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt für die richtige Lösung.
Toleranzintervall: [1,02; 1,03]
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.
– Ein Punkt für die richtige Lösung und einen (sinngemäß) korrekten Vergleich.
Toleranzintervall: [68; 70]
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.

5
Aufgabe 3
Nettomonatseinkommen
a) Lösungserwartung:
Mögliches Diagramm:
50–59 40–49 30–39 20–29 Alter
2 000
1 800
1 600
1 400
1 200
1 000
2 200
Euro
Die Gegenüberstellung der Nettomonatseinkommen in Boxplots (Kastenschaubildern) ist anhand der gegebenen Daten nicht möglich, da die niedrigsten und die höchsten Nettomonatseinkommen (Minimum und Maximum) in der Tabelle nicht angegeben sind.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für ein korrektes Diagramm.
– Ein Punkt für eine (sinngemäß) richtige Begründung.
b) Lösungserwartung:
Mögliche Begründung:
Die angeführte Rechnung ist falsch, da die Anzahl der Erwerbstätigen in den einzelnen Altersklassen nicht berücksichtigt ist.
Ein richtiger Ansatz lautet:
799,4 · 173,5 + 1 487 · 705,1 + 1 885,7 · 803,1 + 2 086,1 · 1 020,4 + 2 205 · 632,8 + 2 144,7 · 73
3 407,9
Mögliche Begründung:
In der Altersklasse 60+ weichen die sehr hohen Nettomonatseinkommen viel stärker vom
Medianeinkommen ab als die sehr niedrigen Einkommen.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für eine (sinngemäß) richtige Begründung und einen korrekten Ansatz.
– Ein Punkt für eine (sinngemäß) richtige Begründung.

6
c) Lösungserwartung:
1. Quartil: € 677,0
3. Quartil: € 1.564,0
Die Behauptung ist richtig, wie die folgenden Interquartilsabstände zeigen:
Lehrabschluss: € 840
BMS-Abschluss: € 1.032
Abschluss einer höheren Schule: € 1.406
Universitätsabschluss: € 1.618
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt für die Angabe beider korrekten Werte.
– Ein Punkt für eine (sinngemäß) richtige Begründung.
d) Lösungserwartung:
Die Aussage ist nicht richtig.
Mögliche Begründungen:
Für diesen Vergleich muss der relative Anteil (in Prozent) der Arbeiter/innen als Grundwert
verwendet werden.
oder:
In der Aussage wurde ein relativer Zuwachs (in Prozent) mit einem Zuwachs von Prozentpunkten verwechselt.
Höchstens ein Viertel der Arbeiter/innen verdient mehr als
€ 1.922.
Die Spannweite des Nettomonatseinkommens kann anhand
der Daten in der Tabelle nicht exakt angegeben werden.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die Angabe, dass die Aussage nicht richtig ist, und eine (sinngemäß) richtige
Begründung. Eine richtige Berechnung des relativen Anteils (ca. 75 % mehr Angestellte) ist
auch als richtig zu werten.
– Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung
richtigen Aussagen angekreuzt sind.

7
Aufgabe 4
Sonnenstrom in Österreich
a) Lösungserwartung:
f (13) – f (0)
13
≈ 46,8
Im Zeitraum von 2000 bis 2013 hat die Leistung durchschnittlich um ca. 47 MW pro Jahr
zugenommen.
Das Integral gibt näherungsweise an, wie viel elektrische Energie („Sonnenstrom“) in den Jahren 2000 bis 2013 mithilfe von Solarzellen insgesamt erzeugt wurde.
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt für die richtige Lösung und eine (sinngemäß) korrekte Interpretation.
Toleranzintervall: [46 MW; 47 MW]
– Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Interpretation.
b) Lösungserwartung:
Im Zeitintervall [9 Jahre; 12 Jahre] kommt es jährlich ungefähr zu einer Verdoppelung der
Leistung.
f (12) – f (9)
f (9)
+ 1 = b
3
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für eine (sinngemäß) richtige Begründung.
– Ein Punkt für die richtige Lösung.
c) Lösungserwartung:
α = 90° + δ – φ = 113,5° – φ
β
opt
+ 90° + α = 180° ⇒ β
opt
= 90° – α
Mögliche Begründung:
Da der Einfallswinkel in höheren Breiten bzw. im Winter kleiner ist, vergrößert sich die optimale
Neigung der Fotovoltaikmodule.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für eine korrekte Formel. Äquivalente Formeln sind als richtig zu werten.
– Ein Punkt für eine korrekte Formel, eine korrekte Schlussfolgerung und eine (sinngemäß)
korrekte Begründung. Äquivalente Formeln sind als richtig zu werten.