Mathematik-Matura Jänner 2017 · AHS Teil 1 – Lösungen

AHS
12. Jänner 2017
Mathematik
Teil-1-Aufgaben
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung

2
Aufgabe 1
Mehrwertsteuer für Hörbücher
Lösungserwartung:
y =
x
1,19
∙ 1,07
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Formel. Äquivalente Formeln sind als richtig zu werten.

3
Aufgabe 2
Quadratische Gleichung
Lösungserwartung:
a = 1
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.

4
Aufgabe 3
Teilungspunkt
Lösungserwartung:
Mögliche Formeln:
T = A +
3
5
∙ AB
oder:
T =
2
5
∙ A +
3
5
∙ B
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Formel. Äquivalente Formeln sind als richtig zu werten.

5
Aufgabe 4
Trapez
Lösungserwartung:
Mögliche Berechnung:
AB || CD ⇒ AB = t · CD ⇔
( )
8
4
= t ·
( )
–6
y – 2
8 = –6 ∙ t ⇒ t = –
4
3
somit:
4 = –
4
3
∙ ( y – 2) ⇒ y = –1
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis
aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.

6
Aufgabe 5
Parallele Gerade
Lösungserwartung:
h : 3 · x – 2 · y = 0
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Gleichung. Äquivalente Gleichungen sind als richtig zu werten.

7
Aufgabe 6
Rhombus (Raute)
Lösungserwartung:
f = 2 · a · cos (
β
2
)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Formel. Äquivalente Formeln sind als richtig zu werten.

8
Aufgabe 7
Schnittpunkt
Lösungserwartung:
Mögliche Interpretationen:
Die erste Koordinate des Schnittpunkts gibt diejenige Produktionsmenge an, bei der kosten deckend produziert wird (d. h., bei der Erlös und Kosten gleich hoch sind), die zweite Koordinate
gibt dabei den zugehörigen Erlös bzw. die zugehörigen Kosten an.
oder:
Die erste Koordinate des Schnittpunkts gibt diejenige Produktionsmenge an, bei der weder Gewinn noch Verlust gemacht wird, die zweite Koordinate gibt dabei den zugehörigen Erlös bzw. die
zugehörigen Kosten an.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Interpretation beider Koordinaten.

9
Aufgabe 8
Steigende Funktion
Lösungserwartung:
lineare Funktion f mit Funktionsgleichung f ( x ) = a · x + b ( a > 0, b > 0)
Exponentialfunktion f mit Funktionsgleichung f ( x ) = c · a
x
( a > 1, c > 0)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung
richtigen Funktionen angekreuzt sind.

10
Aufgabe 9
Elektrischer Widerstand
Lösungserwartung:
R ( l ) = ρ ·
l
r
2
· π
mit ρ , r konstant
l ( R ) =
R
ρ
· r
2
· π mit ρ , r konstant
R ( ρ ) = ρ ·
l
r
2
· π
mit l , r konstant
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich alle laut Lösungserwartung richtigen
Gleichungen angekreuzt sind.

11
Aufgabe 10
Funktion
Lösungserwartung:
a = 1
b = 2
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die korrekten Werte von a und b .

12
Aufgabe 11
Wachstum einer Population
Lösungserwartung:
p ≈ 12,6 %
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.
Toleranzintervall: [12 %; 13 %]

13
Aufgabe 12
Winkelfunktionen
Lösungserwartung:
b =
3 · π
2
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen des Ergebnisses sind ebenfalls als richtig
zu werten.
Toleranzintervall: [4,7 rad; 4,8 rad]

14
Aufgabe 13
Fertilität
Lösungserwartung:
prozentuelle Zunahme: ≈ 36,99 %
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.
Toleranzintervall: [36 %; 37 %]

15
Aufgabe 14
Änderungsraten einer Polynomfunktion
Lösungserwartung:
Der Differenzialquotient an der Stelle x = 1 ist negativ.
Der Differenzenquotient im Intervall [3; 6] ist positiv.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung
richtigen Aussagen angekreuzt sind.

16
Aufgabe 15
Ableitungs- und Stammfunktion
Lösungserwartung:
Wenn die Funktion f an der Stelle x
0
definiert ist, gibt f ′ ( x
0
) die Steigung der Tangente
an den Graphen von f an dieser Stelle an.
Die Funktion f hat unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur durch eine additive
Konstante unterscheiden.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung
richtigen Aussagen angekreuzt sind.

17
Aufgabe 16
Eigenschaften der zweiten Ableitung
Lösungserwartung:
f ( x )
x
0 1 –2 –1 –3 2 3
0
–1
–2
1
2
f
f ( x )
x
0 1 –2 –1 –3 2 3
0
–1
–2
1
2
f
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung
richtigen Graphen angekreuzt sind.

18
Aufgabe 17
Flächeninhalt
Lösungserwartung:
Mögliche Berechnung:
2 ·
∫
2
0
f ( x ) d x = 7
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen des Ergebnisses sind ebenfalls als richtig
zu werten.
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis
aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.

19
Aufgabe 18
Tachograph
Lösungserwartung:
Diese Gleichung sagt aus, dass das Fahrzeug in der ersten halben Stunde (bzw. im Zeitinter vall [0 h; 0,5 h]) 40 km zurückgelegt hat.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Deutung der Gleichung unter Verwendung der korrekten
Einheiten.

20
Aufgabe 19
Mittlere Fehlstundenanzahl
Lösungserwartung:
x
ges
=
18 · 45,5 + 20 · 63,2 + 16 · 70,5 + 15 · 54,6
18 + 20 + 16 + 15
= 58,405...
x
ges
≈ 58,4 h
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „h“ nicht angegeben sein muss.
Lösungsintervall: [58 h; 60 h]
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis
aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.

21
Aufgabe 20
Münzwurf
Lösungserwartung:
mögliche Ausfälle (Ausgänge): {( W , W ), ( W , Z ), ( Z , W ), ( Z , Z )}
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe aller möglichen Ausfälle (Ausgänge).

22
Aufgabe 21
Online-Glücksspiel
Lösungserwartung:
21,1 %
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige
Schätzwert angekreuzt ist.

23
Aufgabe 22
Weiche und harte Eier
Lösungserwartung:
1
10
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen des Ergebnisses (in Prozent oder Dezimalschreibweise) sind ebenfalls als richtig zu werten.

24
Aufgabe 23
Zufallsexperiment
Lösungserwartung:
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelnes Zufalls experiment
„günstig“ ausgeht, ist 40 %.
Wenn man das Zufallsexperiment 50-mal durchführt, dann ist der
Erwartungswert für die Anzahl der „günstigen“ Ergebnisse 20.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung
richtigen Aussagen angekreuzt sind.

25
Aufgabe 24
Blutgruppe
Lösungserwartung:
n ≈ 400
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.
Toleranzintervall: [385; 415]