Mathematik-Matura September 2016 · HTL Cluster T1 – Lösungen

BHS
20. September 2016
Angewandte Mathematik
Teil A + Teil B (Cluster 1)
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung

2
Korrektur- und Beurteilungsanleitung
zur standardisierten schriftlichen Reife- und Diplomprüfung
in Angewandter Mathematik
(Detaillierte Informationen dazu finden Sie für den BHS-Bereich im Erlass mit der Geschäftszahl
BMBF-17.100/0006-II/2015 des Bundesministeriums für Bildung und Frauen.)
Kompetenzbereiche
Im Beurteilungsmodell für die Angewandte Mathematik wird zwischen zwei Kompetenzbereichen
unterschieden:
n Kompetenzbereich A ( KA ) umfasst die unabhängig
1
erreichbaren Punkte der Komplexitätsstufen 1 und 2 aus dem Kompetenzstufenraster.
n Kompetenzbereich B ( KB ) umfasst die abhängig erreichbaren Punkte und die Punkte der
Komplexitätsstufen 3 und 4 aus dem Kompetenzstufenraster.
Die Summe der unabhängig erreichbaren Punkte aus den Komplexitätsstufen 1 und 2 ( KA ) stellt die
„wesentlichen Bereiche“ eines Klausurheftes dar.
Beurteilung
Als Hilfsmittel für die Beurteilung wird ein auf ein Punktesystem basierender Beurteilungsschlüssel angegeben. Je nach gewichteter Schwierigkeit der vergebenen Punkte in den „wesentlichen
Bereichen“ wird festgelegt, ab wann die „wesentlichen Bereiche überwiegend“ (Genügend) erfüllt
sind, d. h., gemäß einem Punkteschema müssen Punkte aus dem Kompetenzbereich A unter Einbeziehung von Punkten aus dem Kompetenzbereich B in ausreichender Anzahl abhängig von der
Zusammenstellung der Klausurhefte gelöst werden. Darauf aufbauend wird die für die übrigen Notenstufen zu erreichende Punktezahl festgelegt.
Nach der Punkteermittlung soll die Arbeit der Kandidatin / des Kandidaten nochmals ganzheitlich
qualitativ betrachtet werden. Unter Zuhilfenahme des Punkteschemas und der ganzheitlichen Betrachtung ist von der Prüferin / vom Prüfer ein verbal begründeter Beurteilungsvorschlag zu erstellen,
wobei die Ergebnisse der Kompetenzbereiche A und B in der Argumentation zu verwenden sind.
Beurteilungsschlüssel für die vorliegende Klausur:
45–50 Punkte Sehr gut
39–44 Punkte Gut
33–38 Punkte Befriedigend
23–32 Punkte Genügend
0–22 Punkte Nicht genügend
1
Unabhängige Punkte sind solche, für die keine mathematische Vorleistung erbracht werden muss. Als mathematische Vorleistung gilt z. B. das Aufstellen einer Gleichung (unabhängiger Punkt) mit anschließender Berechnung (abhängiger Punkt).

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Handreichung zur Korrektur
der standardisierten schriftlichen Reife- und Diplomprüfung
in Angewandter Mathematik
1. In der Lösungserwartung ist nur ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen.
2. Der Lösungsschlüssel ist verbindlich anzuwenden unter Beachtung folgender Vorgangsweisen:
a. Punkte sind nur zu vergeben, wenn die abgefragte Handlungskompetenz in der Bearbeitung vollständig erfüllt ist.
b. Berechnungen ohne nachvollziehbaren Rechenansatz bzw. ohne nachvollziehbare Dokumentation des Technologieeinsatzes (verwendete Ausgangsparameter und die verwendete
Technologiefunktion müssen angegeben sein) sind mit null Punkten zu bewerten.
c. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen bzw. Lösungswege von der Kandidatin / vom
Kandidaten angeboten und nicht alle diese Lösungen bzw. Lösungswege sind korrekt, so
ist diese Teilaufgabe mit null Punkten zu bewerten.
d. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Das heißt zum Beispiel :
Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu vergeben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht vereinfacht.
e. Werden von der Kandidatin / vom Kandidaten kombinierte Handlungsanweisungen in einem
Lösungsschritt erbracht, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der Lösungsschlüssel
Einzelschritte vorgibt.
f. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als solche
identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner Vereinfachung
der Aufgabenstellung führen.
g. Rundungsfehler können vernachlässigt werden, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert ist.
h. Jedes Diagramm bzw. jede Skizze, die Lösung einer Handlungsanweisung ist, muss eine
qualitative Achsenbeschriftung enthalten, andernfalls ist dies mit null Punkten zu bewerten.
i. Die Angabe von Einheiten kann bei der Punktevergabe vernachlässigt werden, sofern sie im
Lösungsschlüssel nicht explizit eingefordert wird.
3. Sind Sie sich als Korrektor/in über die Punktevergabe nicht schlüssig, können Sie eine Korrekturanfrage an das BIFIE (via Telefon-Hotline oder Online-Helpdesk) stellen.

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Aufgabe 1
Brennofen
Möglicher Lösungsweg
a) 80 = 20 + 780 ∙ ℯ
– k · 2
Lösung mittels Technologieeinsatz: k =
1
2
· ln(13) = 1,2824...
T (5) = 21,2... ≈ 21
Die Temperatur des Kruges beträgt 5 Stunden nach der Entnahme aus dem Brennofen rund
21 °C.
b)
Temperatur in °C
Zeit in h
2,5 2 1,5 1 0,5 0 3
0
700
600
500
400
300
200
100
800
T
Damit berechnet man die mittlere Änderungsrate der Temperatur im Zeitintervall [1; 3].
c) Die Kettenregel wurde nicht angewendet.
oder:
Die innere Ableitung wurde nicht berücksichtigt.
Lösungsschlüssel
a) 1 × B: für die richtige Berechnung der Temperatur (KA)
b) 1 × A: für das richtige Skizzieren der Tangente (KA)
1 × C: für die richtige Beschreibung im gegebenen Sachzusammenhang (KA)
c) 1 × C: für das richtige Angeben der Ableitungsregel oder die richtige Beschreibung (KA)

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Aufgabe 2
Baseball
Möglicher Lösungsweg
a) Steigung k der Geraden durch die Punkte A und B :
k =
3
12
=
1
4
Steigungswinkel α :
α = arctan( k ) = 14,036…° ≈ 14,04°
22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 24
2
3
1
0
4
f ( x ) in m
x in m
A
B
f
x
0
b) K ( x ) = 6,4 ∙ x + 570
K (75) = 6,4 ∙ 75 + 570 = 1 050
1 050
75
= 14
Die T-Shirts können ab einem Verkaufspreis von € 14 pro Stück ohne Verlust verkauft werden.
Lösungsschlüssel
a) 1 × B: für die richtige Berechnung des Steigungswinkels (KA)
1 × A: für das richtige Veranschaulichen (KB)
b) 1 × A: für das richtige Aufstellen der linearen Kostenfunktion K (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung des Verkaufspreises pro Stück (KB)

6
Aufgabe 3
Riesen-Pizza
Möglicher Lösungsweg
a) Spannweite: 3 Inch
Sowohl der falsche als auch der korrekte Wert liegen zwischen dem Minimum und dem ersten
Quartil. Daher verändert dieser Fehler weder das Minimum noch das erste Quartil und beeinflusst den Boxplot nicht.
b) Flächeninhalt eines Kreises mit Durchmesser d : Ad =
d
2
4
∙ π
Flächeninhalt eines Kreises mit Durchmesser 2 d : A 2 d =
4 d
2
4
∙ π = d
2
∙ π = 4 ∙ Ad
Ein Nachweis mit konkreten Zahlenwerten für die Durchmesser ist nicht ausreichend.
c) P ′ ( d ) = 0,0006 ∙ d – 0,015
P ′ ( d ) = 0 ⇒ d = 25
Die Pizza mit dem geringsten Preis pro Flächeneinheit hat einen Durchmesser von 25 Inch.
P (25) = 0,0744
P (25) ∙
(
25
2
)
2
∙ π = 36,521…
Gemäß diesem Modell kostet diese Pizza 36,52 US-Dollar.

7
d) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
P ( X ≥ 16,2) = 0,2524…
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Pizza einen Durchmesser von mindestens 16,2 Inch hat, beträgt rund 25,2 %.
16,4 16,2 16,6 16,8 16 15,4 15,2 15,6 15,8 15 17
Durchmesser in Inches
Wahrscheinlichkeit
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
1
Lösungsschlüssel
a) 1 × C: für das richtige Ablesen der Spannweite (KA)
1 × D: für die richtige Erklärung (KA)
b) 1 × D: für den richtigen allgemeinen Nachweis (Ein Nachweis mit konkreten Zahlenwerten für
die Durchmesser ist nicht ausreichend.) (KA)
c) 1 × B1: für die richtige Bestimmung der Extremstelle (Der Nachweis, dass es sich bei der
Extremstelle um eine Minimumstelle handelt, ist nicht erforderlich.) (KA)
1 × B2: für die richtige Berechnung des Preises der Pizza (KB)
d) 1 × B: für die richtige Berechnung der Wahrscheinlichkeit (KA)
1 × A: für das richtige Skizzieren des Graphen der Verteilungsfunktion (charakteristischer
Funktionsverlauf und Funktionswert an der Stelle μ richtig eingezeichnet) (KA)

8
Aufgabe 4
Teilchenbeschleuniger
Möglicher Lösungsweg
a) u =
3 ∙ 10
8
a ∙ 10
3
b) Es wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass bei 500 Kollisionen genau 2 Teilchen dieses
Typs entstehen.
1 000 ∙ 0,034 = 34
Bei 1 000 Kollisionen entstehen im Mittel 34 Teilchen dieses Typs.
c)
100
0,01
=
d
10
–14
⇒ d = 10
–10
Der Durchmesser des Atoms beträgt 10
–10
m.
Das Verhältnis der Durchmesser beträgt 1 : 10
4
.
Bei der Berechnung des Volumens tritt die dritte Potenz des Durchmessers auf. Das Verhältnis der Volumina beträgt daher 1 : 10
12
. 0,01 % entsprechen dem Verhältnis 1 : 10
4
.
oder:
rechnerisch:
V
Atomkern
V Atom
=
π
6
∙ (10
–14
)
3
π
6
∙ (10
–10
)
3
= 10
–12
Das Verhältnis der Volumina beträgt daher 1 : 10
12
. 0,01 % entsprechen dem Verhältnis 1 : 10
4
.
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige Aufstellen der Formel (KB)
b) 1 × C: für die richtige Beschreibung des Ereignisses (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung des Erwartungswertes (KA)
c) 1 × B: für die richtige Berechnung des Durchmessers (KA)
1 × D: für die richtige Begründung (Auch eine Begründung durch Nachrechnen ist als richtig
zu werten.) (KB)

9
Aufgabe 5
Marathon
Möglicher Lösungsweg
a) Gesamtdauer in Sekunden:
2 ∙ 3 600 + 15 ∙ 60 + 2 5 = 8 125
8 125 s
42,195 km
= 192,55…
s
km
⇒ 3 Minuten 12,55… Sekunden ≈ 3:13
Ihre mittlere Pace beträgt 3:13.
b)
42,195 km
12 km/h
–
42,195 km
14 km/h
= 0,50... h ≈ 0,5 h
Max muss im Ziel rund eine halbe Stunde auf Franz warten.
c) k =
–2,5 km/h
2,5 h
= –1 km/h
2
Das Angeben der Einheit der Steigung ist für die Punktevergabe nicht erforderlich.
b ist die Laufzeit für die gesamte Marathonstrecke in Stunden.
Lösungsschlüssel
a) 1 × B: für die richtige Berechnung der mittleren Pace in der beschriebenen Schreibweise (KA)
b) 1 × A: für einen richtigen Ansatz (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung der Wartezeit (KB)
c) 1 × C1: für das richtige Ermitteln der Steigung (Das Angeben der Einheit der Steigung ist für
die Punktevergabe nicht erforderlich.) (KA)
1 × C2: für die richtige Interpretation von b im gegebenen Sachzusammenhang unter Angabe
der Einheit (KB)

10
Aufgabe 6 (Teil B)
Waschmittel
Möglicher Lösungsweg
a) Verkaufszahl ohne Werbeaufwand: V (0) = a – b
Wenn x gegen unendlich geht, strebt ℯ
– λ · x
und daher auch das Produkt b · ℯ
– λ · x
gegen 0
und V somit gegen a .
Verkaufszahl
Werbeaufwand
a
b) K (0) = 500: 500 = d
K (20) = 604: 604 = 20
3
· a + 20
2
· b + 20 · c + d
K (30) = 672: 672 = 30
3
· a + 30
2
· b + 30 · c + d
K (50) = 920: 920 = 50
3
· a + 50
2
· b + 50 · c + d
Lösung mittels Technologieeinsatz:
a =
1
375
, b = –
2
25
, c =
86
15
und d = 500

11
c) Ablesen aus dem Funktionsgraphen: K (0) = 50 und K (100) = 200
⇒ K ( x ) = 1,5 · x + 50
K ( x ), E ( x ), G ( x ) in GE
x in ME
Gewinnbereich
K
E
120 100 80 60 40 20 0 140
300
250
200
150
100
50
0
350
Für die Gewinnfunktion G gilt: G ( x ) = E ( x ) – K ( x ).
Wird von einem quadratischen Term ein linearer Term abgezogen, so ist das Ergebnis wieder
ein quadratischer Term.
Lösungsschlüssel
a) 1 × C: für das richtige Ermitteln der Verkaufszahl ohne Werbeaufwand unter Verwendung der
Parameter der Funktion (KA)
1 × D: für die richtige Erklärung, warum für wachsende x die Verkaufszahlen V gegen a
streben (KB)
1 × A: für das richtige Einzeichnen des Funktionsverlaufs (Startwert und charakteristischer
Verlauf einer Sättigungsfunktion, wobei die Kurve mit λ
2
oberhalb der gegebenen Kurve
verläuft) (KB)
b) 1 × A: für das richtige Aufstellen des Gleichungssystems (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung der Parameter (KB)
c) 1 × A: für das richtige Aufstellen der Kostenfunktion (KA)
1 × C: für das richtige Kennzeichnen des Gewinnbereichs (KA)
1 × D: für die richtige mathematische Erklärung (KB)

12
Aufgabe 7 (Teil B)
Angry Birds
Möglicher Lösungsweg
a) –0,1 ∙ x
2
+ 0,9 ∙ x + 1 = 0
Lösung der Gleichung mittels Technologieeinsatz:
( x 1 = –1)
x 2 = 10
Der Vogel prallt in einer horizontalen Entfernung von 10 LE auf den Boden auf.
∫
10
0
√ 1 + f ′ ( x )
2
d x = 11,51…
Der vom Vogel zurückgelegte Weg beträgt rund 11,5 LE.
b) g (3) = 13,5
g ′ ( x ) = – x + 5 ⇒ g ′ (3) = 2
13,5 = 2 ∙ 3 + d ⇒ d = 7,5
Tangentengleichung: y = 2 ∙ x + 7,5
x in LE
g ( x ) in LE
Tangente
g
4 3 2 1 0 5
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
20

13
c) f ( x ) = a ∙ x
3
+ b ∙ x
2
+ c ∙ x + d
f ′ ( x ) = 3 a ∙ x
2
+ 2 b ∙ x + c
I : f (0) = 12
II : f (1) = 16
III : f (5) = 32
IV : f ′ (1) = 0
d) Koordinaten des Abschusspunkts: A = (0|8)
Position des Schweins: P = (5|20)
√ 5
2
+ (20 – 8)
2
= 13
Der Abstand des Schweins vom Abschusspunkt beträgt 13 LE.
h (5) = 18
Der Punkt P liegt nicht auf Matildas Flugbahn.
e) Die Fläche unter dem Graphen der Geschwindigkeitsfunktion beschreibt den vom Vogel zurückgelegten Weg im Zeitintervall [1,5 s; 2,5 s] nach dem Abschuss.
Lösungsschlüssel
a) 1 × B1: für die richtige Berechnung der horizontalen Entfernung (KA)
1 × B2: für die richtige Berechnung des zurückgelegten Weges (KB)
b) 1 × A1: für das richtige Aufstellen der Tangentengleichung (KA)
1 × A2: für das richtige Veranschaulichen der Flugbahn
(für 0 ≤ x ≤ 3 Graph von g , für 3 ≤ x ≤ 5 Tangente) (KB)
c) 1 × A1: für das richtige Aufstellen der Gleichungen mithilfe der Koordinaten der Punkte (KA)
1 × A2: für das richtige Aufstellen der Gleichung mithilfe der 1. Ableitung (KA)
d) 1 × B: für die richtige Berechnung des Abstands (KA)
1 × D: für die richtige Überprüfung, ob der Punkt P auf Matildas Flugbahn liegt (KA)
e) 1 × C: für die richtige Beschreibung der Bedeutung der Fläche im gegebenen Sachzusammenhang unter Bezugnahme auf das Zeitintervall [1,5 s; 2,5 s] (KA)

14
Aufgabe 8 (Teil B)
Statuen und Skulpturen
Möglicher Lösungsweg
a)
3,40 m
x z
α β –
γ
γ = 90° – α = 44,62°
α – β = 7,19°
z
sin(44,62°)
=
3,4
sin(7,19°)
z = 19,08 …
sin(38,19°) =
x
19,08...
x = 11,797…
Die Länge x beträgt rund 11,80 m.

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b)
horizontale Entfernung
mit dem größtmöglichen Sehwinkel
0 2 4 6 8 10 12 14
horizontale
Entfernung x in m 0
0,2
0,4
0,6
0,8
Sehwinkel α in rad φ
Es muss die Maximumstelle der Funktion ermittelt werden. Daher bildet man die 1. Ableitung
und berechnet deren Nullstellen. Diejenige Nullstelle, die im dargestellten Bereich liegt, ist die
gesuchte Extremstelle.
Dass es nur eine solche Nullstelle im dargestellten Bereich gibt, geht aus dem Graphen hervor.
c)
kleinster Radius
größter Radius
x in dm
4 3 2 1 0 5
3
2
1
0
4
f
f ( x ) in dm
V = π ∙
∫
5
0
(
4 –
x
2
– sin( x )
)
2
d x = 109,78…
Die Masse (in kg) ist das Produkt aus Dichte (in kg/dm
3
) und Volumen (in dm
3
):
2,7 ∙ 109,78… = 296,41…
Die Masse beträgt rund 296,4 kg.
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für einen richtigen Lösungsansatz (z. B. mithilfe des Sinussatzes) (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung von x (KB)
b) 1 × C1: für das richtige Kennzeichnen in der Abbildung (KA)
1 × C2: für die richtige Dokumentation der Berechnung (KB)
c) 1 × B1: für die richtige Darstellung des Funktionsgraphen (KA)
1 × C: für das richtige Kennzeichnen der Radien (KB)
1 × A: für die richtige Verwendung des Volumsintegrals (KA)
1 × B2: für die richtige Berechnung der Masse (KB)