Mathematik-Matura September 2016 · HAK Cluster W2 – Aufgaben

Name:
Klasse/Jahrgang:
BHS
20. September 2016
Angewandte Mathematik
Teil A + Teil B (Cluster 8)
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung
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Hinweise zur Aufgabenbearbeitung
Liebe Kandidatin! Lieber Kandidat!
Das vorliegende Aufgabenheft enthält 5 Teil-A-Aufgaben und 4 Teil-B-Aufgaben mit jeweils unterschiedlich
vielen Teil aufgaben. Die Teilaufgaben sind unabhängig voneinander bearbeitbar. Ihnen stehen insgesamt
270 Minuten an reiner Arbeitszeit für Teil A und Teil B zur Verfügung.
Verwenden Sie für die Bearbeitung einen nicht radierbaren, blau oder schwarz schreibenden Stift. Bei
Konstruktionsaufgaben ist auch die Verwendung eines Bleistifts möglich.
Verwenden Sie für die Bearbeitung ausschließlich das Aufgabenheft und die Ihnen zur Verfügung gestellten Antwortblätter. Schreiben Sie Ihren Namen in das dafür vorgesehene Feld auf der ersten Seite des
Aufgabenheftes und auf jedes Antwortblatt. Geben Sie bei der Beantwortung jeder Teilaufgabe deren
Bezeichnung (z. B.: 3c) an.
In die Beurteilung wird alles einbezogen, was nicht durchgestrichen ist. Streichen Sie Notizen durch.
Die Verwendung von durch die Schulbuchaktion approbierten Formelheften und von elektronischen Hilfsmitteln (z. B. grafikfähige Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) ist erlaubt, sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetzwerke etc.) gegeben
ist und keine Eigendaten in die elektronischen Hilfsmittel implementiert sind. Handbücher zu den elektronischen Hilfsmitteln sind in der Original-Druckversion oder in im elektronischen Hilfsmittel integrierter Form
zulässig.
Abzugeben sind das Aufgabenheft und alle von Ihnen verwendeten Antwortblätter.
Handreichung für die Bearbeitung der SRDP in Angewandter Mathematik
– Jede Berechnung ist mit einem nachvollziehbaren Rechenansatz und einer nachvollziehbaren Dokumentation des Technologieeinsatzes (die verwendeten Ausgangsparameter und die
verwendete Technologiefunktion müssen angegeben werden) durchzuführen.
– Selbst gewählte Variablen sind zu erklären und gegebenenfalls mit Einheiten zu benennen.
– Ergebnisse sind eindeutig hervorzuheben.
– Ergebnisse sind mit entsprechenden Einheiten anzugeben.
– Werden Diagramme oder Skizzen als Lösungen erstellt, so sind die Achsen zu skalieren und
zu beschriften.
– Werden geometrische Skizzen erstellt, so sind die lösungsrelevanten Teile zu beschriften.
– Vermeiden Sie frühzeitiges Runden.
– Legen Sie allfällige Computerausdrucke der Lösung mit Ihrem Namen beschriftet bei.
– Wird eine Aufgabe mehrfach gerechnet, so sind alle Lösungswege bis auf einen zu streichen.
Es gilt folgender Beurteilungsschlüssel:
45–50 Punkte Sehr gut
39– 44 Punkte Gut
32– 38 Punkte Befriedigend
23– 31 Punkte Genügend
0 –22 Punkte Nicht genügend
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Erläuterung der Antwortformate
Die Teilaufgaben haben offene Antwortformate , halboffene Antwortformate oder Konstruktionsformate .
Offenes Antwortformat: Hierbei kann die Bearbeitung der Aufgaben auf unterschiedliche Weise erfolgen,
z. B. durch eine Berechnung, durch Erstellung einer Grafik etc.
Halboffenes Antwortformat: Ein Teil der Antwort ist vorgegeben, der fehlende Teil soll ergänzt werden (Formel, Funktion etc.).
Beispiel:
Gegeben ist ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b .
– Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts A dieses Rechtecks.
A = ______________________
Konstruktionsformat: Ein Diagramm oder eine Grafik ist vorgegeben. Die Aufgabenstellung erfordert die
Ergänzung von Punkten und/oder Geraden und/oder Kurven und/oder Skalierungen bzw. Achsenbeschriftungen im Diagramm bzw. in der Grafik.
Beispiel:
Gegeben ist eine lineare Funktion f mit f ( x ) = k · x + d.
– Zeichnen Sie den Graphen einer linearen Funktion mit k = –2 und d > 0 im nachstehenden
Koordinatensystem ein.
f ( x )
f
x
Viel Erfolg!
a · b
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Aufgabe 1
Brennofen
Bei einem Keramik-Produzenten werden Krüge hergestellt. Sobald ein Krug aus dem Brenn ofen genom men wird, beginnt er abzukühlen. Der Temperaturverlauf lässt sich durch die
Funktion T beschreiben:
T ( t ) = 20 + 780 ∙ ℯ
– k · t
t ... Zeit seit der Entnahme aus dem Brennofen in Stunden (h)
T ( t ) ... Temperatur des Kruges zur Zeit t in Grad Celsius (°C)
k ... Konstante
a) Ein Krug hat 2 Stunden nach der Entnahme aus dem Brennofen eine Temperatur von 80 °C.
– Berechnen Sie die Temperatur des Kruges 5 Stunden nach der Entnahme aus dem Brennofen. [1 Punkt]
b) Der Graph der Funktion T ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt:
Temperatur in °C
2,5 2 1,5 1 0,5 0 3
700
600
500
400
300
200
100
800
0
Zeit in h
T
– Skizzieren Sie in der obigen Abbildung diejenige Tangente an den Funktionsgraphen, deren
Ordinatenabschnitt (Achsenabschnitt auf der vertikalen Achse) 600 beträgt. [1 Punkt]
– Beschreiben Sie, was mit dem folgenden Ausdruck im gegebenen Sachzusammenhang
berechnet wird:
T (3) – T (1)
2
[1 Punkt]
c) Ihnen wird folgende fehlerhafte Berechnung der Ableitungsfunktion T ′ vorgelegt:
T ′ ( t ) = 780 · ℯ
– k · t
– Geben Sie an, welche Ableitungsregel hier vermutlich verletzt wurde. [1 Punkt]
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Aufgabe 2
Baseball
a) Die Flugbahn eines Baseballs kann näherungsweise durch den Graphen einer Funktion f beschrieben werden (siehe nachstehende Abbildung).
22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 24
2
3
1
0
4
f ( x ) in m
x in m
A
B
f
– Ermitteln Sie den Steigungswinkel der Geraden durch die Punkte A und B . [1 Punkt]
Es soll diejenige Stelle x 0 ermittelt werden, an der die Steigung der Tangente an den Graphen
von f gleich der Steigung der Geraden durch die Punkte A und B ist.
– Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung, wie man x 0 näherungsweise grafisch ermitteln kann. [1 Punkt]
b) Ein Baseball-Verein überlegt, Fan-Shirts über eine Online-Plattform zu vertreiben. Die Kosten
für die Herstellung eines T-Shirts belaufen sich auf € 6,40. Für Betreuung und Servermiete der
Online-Plattform sind monatlich € 570 zu zahlen.
– Stellen Sie die zugehörige lineare Kostenfunktion K auf. [1 Punkt]
x ... Anzahl der T-Shirts
K ( x ) ... monatliche Kosten bei x T-Shirts in Euro (€)
Man rechnet damit, dass 75 T-Shirts pro Monat produziert und auch verkauft werden.
– Bestimmen Sie denjenigen Verkaufspreis pro Stück, ab dem die T-Shirts ohne Verlust verkauft werden können. [1 Punkt]
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Aufgabe 3
Riesen-Pizza
In den USA wird die Größe einer Pizza durch ihren Durchmesser (in Inches) angegeben.
Im Folgenden werden Pizzen immer als kreisrund angenommen.
a) Bei „30-Inch-Pizzen“ verschiedener Lieferanten wurde der tatsächliche Durchmesser bestimmt. Die Messergebnisse sind im folgenden Boxplot zusammengefasst:
30,5 30 29,5 29 28,5 28 31
Durchmesser in Inches
– Lesen Sie die Spannweite ab. [1 Punkt]
Irrtümlich wurde beim Erfassen der Messwerte bei einer Pizza statt eines Durchmessers von
28,5 Inch ein Durchmesser von 29 Inch notiert.
– Erklären Sie, warum dieser Fehler den Boxplot nicht beeinflusst. [1 Punkt]
b) – Zeigen Sie allgemein, dass der Flächeninhalt einer (kreisrunden) Pizza vervierfacht wird,
wenn ihr Durchmesser verdoppelt wird. [1 Punkt]
c) Für eine bestimmte Pizzasorte wird der Preis pro Flächeneinheit in Abhängigkeit vom Durchmesser modellhaft durch folgende quadratische Funktion P beschrieben:
P ( d ) = 0,0003 ∙ d
2
– 0,015 ∙ d + 0,2619 mit 8 ≤ d ≤ 30
d ... Durchmesser der Pizza in Inches
P ( d ) ... Preis pro Flächeneinheit einer Pizza mit Durchmesser d in US-Dollar
– Ermitteln Sie, für welchen Durchmesser der Preis pro Flächeneinheit am geringsten ist.
[1 Punkt]
– Berechnen Sie, wie viel diese Pizza kostet. [1 Punkt]
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d) Die Durchmesser von „16-Inch-Pizzen“ eines bestimmten Lieferanten sind annähernd normalverteilt mit einem Erwartungswert μ = 16 Inch und einer Standardabweichung σ = 0,3 Inch.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Pizza einen Durchmesser von mindestens 16,2 Inch hat. [1 Punkt]
– Skizzieren Sie den Graphen der Verteilungsfunktion dieser Normalverteilung in der nach stehenden Abbildung. [1 Punkt]
16,5 16 15,5 15 17
Durchmesser in Inches
Wahrscheinlichkeit
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
1
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Aufgabe 4
Teilchenbeschleuniger
Am Forschungsinstitut CERN wird mithilfe moderner Teilchenbeschleuniger physikalische
Grundlagenforschung betrieben. In einem Teilchenbeschleuniger werden elektrisch geladene
Teilchen auf hohe Geschwindigkeiten beschleunigt.
a) Die Teilchen bewegen sich in einem ringförmigen Tunnel nahezu mit Lichtgeschwindigkeit. Sie
machen dabei in einer Sekunde a Umläufe und legen in dieser Zeit rund 3 ∙ 10
8
m zurück.
– Erstellen Sie eine Formel für die Berechnung der Länge u eines Umlaufs in Kilometern.
u = [1 Punkt]
b) Wenn Teilchen im Teilchenbeschleuniger kollidieren, können neue Teilchen entstehen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Kollision ein Teilchen eines bestimmten Typs entsteht,
beträgt 3,4 %.
Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis E wird mit P ( E ) =
( )
500
2
∙ 0,034
2
∙ (1 – 0,034)
498
berechnet.
– Beschreiben Sie im gegebenen Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit so berechnet wird. [1 Punkt]
– Berechnen Sie, wie viele dieser Teilchen im Mittel entstehen, wenn 1 000 Kollisionen stattfinden. [1 Punkt]
c) Im Zentrum eines Atoms befindet sich der Atomkern. Vereinfacht können sowohl der Atomkern als auch das gesamte Atom als kugelförmig angenommen werden.
In einer Broschüre wird beschrieben, wie klein ein Atomkern im Vergleich zum gesamten Atom
ist: „Hätte ein Atomkern 1 cm Durchmesser, so wäre der Durchmesser des gesamten Atoms
100 m.“
– Berechnen Sie den Durchmesser eines Atoms, wenn der Durchmesser des Atomkerns
10
–14
m beträgt. [1 Punkt]
Jemand liest die Broschüre und behauptet: „Das Volumen des Atomkerns macht dann
0,01 % des Gesamtvolumens eines Atoms aus.“
– Begründen Sie, warum diese Behauptung falsch ist. [1 Punkt]
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Aufgabe 5
Marathon
Die Streckenlänge eines Marathons beträgt 42,195 km.
a) Im Laufsport wird als Maß für das Tempo oftmals die Pace verwendet. Die für einen Kilometer benötigte Zeit wird dabei in der Schreibweise „Minuten:Sekunden“ angegeben. Eine Pace
von 5:25 bedeutet beispielsweise, dass eine Strecke von 1 Kilometer Länge in 5 Minuten und
25 Sekunden zurückgelegt wird.
Die Weltrekordhalterin Paula Radcliffe lief ihren schnellsten Marathon in 2 Stunden, 15 Minuten und 25 Sekunden.
– Berechnen Sie für diesen Lauf ihre mittlere Pace in der beschriebenen Schreibweise.
[1 Punkt]
b) Max und Franz starten gleichzeitig. Max läuft die Marathonstrecke mit einer mittleren Geschwindigkeit von 14 km/h, Franz mit 12 km/h. Max überquert also als Erster der beiden die
Ziellinie.
– Berechnen Sie, wie lange Max im Ziel auf Franz warten muss. [2 Punkte]
c) Der Verlauf der Geschwindigkeit einer Marathonläuferin lässt sich näherungsweise durch eine
lineare Funktion v beschreiben. Der Graph dieser Funktion ist in der nachstehenden Abbildung
dargestellt.
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
5
10
15
v ( t ) in km/h
v
t in h
– Ermitteln Sie aus der obigen Abbildung die Steigung dieser linearen Funktion. [1 Punkt]
– Interpretieren Sie b in der nachstehenden Gleichung im gegebenen Sachzusammenhang
unter Angabe der entsprechenden Einheit.
∫
b
0
v ( t ) d t = 42,195 km [1 Punkt]
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Aufgabe 6 (Teil B)
Ansparpläne
Für die Finanzierung größerer Anschaffungen ist es oft nötig, einen Geldbetrag anzusparen.
Im Folgenden wird die Kapitalertragsteuer nicht berücksichtigt.
a) Andrea möchte einen Geldbetrag E ansparen.
Dazu legt sie einen Geldbetrag B , der mit dem jährlichen Zinssatz i verzinst wird, für n Jahre
auf einem Sparkonto an.
– Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung von E , wenn B , n und i bekannt sind.
E = [1 Punkt]
– Formen Sie diese Formel nach dem Zinssatz i um. [1 Punkt]
b) Bernhard möchte auf einem Konto in 4 Jahren € 4.000 angespart haben. Dazu will er sofort
€ 1.000 auf das Konto legen, nach 1 Jahr € 1.500 und nach 3 Jahren den nötigen Restbetrag R . Der Zinssatz beträgt 3 % p. a.
– Veranschaulichen Sie diesen Zahlungsstrom auf einer Zeitachse. [1 Punkt]
– Erklären Sie in Worten (ohne Rechnung), warum der Restbetrag R kleiner als € 1.500 sein
muss. [1 Punkt]
– Berechnen Sie den Restbetrag R . [1 Punkt]
c) Cornelia führt für ihren Ansparplan folgende Rechnung durch:
5 000 · 1,035
5
+ 1 000 · 1,035
2
≈ 7 009,66
– Beschreiben Sie diesen Ansparplan hinsichtlich der Zahlungen, des Zinssatzes, der Verzinsungsdauer und des angesparten Geldbetrags in Worten. [1 Punkt]
d) Daniel möchte in 2 Jahren insgesamt € 10.000 angespart haben. Seine Ersparnisse betragen
derzeit € 4.000. Den Restbetrag will er ansparen, indem er jeweils am Ende jedes Monats
einen gleichbleibenden Betrag anspart.
– Ermitteln Sie die Höhe dieses gleichbleibenden Betrags, wenn die Beträge nicht verzinst
werden. [1 Punkt]
– Ermitteln Sie die Höhe dieses gleichbleibenden Betrags, wenn alle Beträge zu einem Zinssatz von 0,25 % p. m. veranlagt werden. [1 Punkt]
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Aufgabe 7 (Teil B)
Kreativ-Workshop
a) In den kommenden Sommerferien möchte der Kulturverband einer Großstadt eine Kombination
aus Ausstellungsbesuch, Malkurs und Mittagessen für Kinder anbieten.
Laut einer Umfrage würde dieses Angebot bei einem Preis von € 23 pro Kind für 1 050 Kinder
gebucht werden. Bei einem Preis von € 27 pro Kind würde dieses Angebot für 990 Kinder
gebucht werden.
– Stellen Sie eine Funktionsgleichung der zugehörigen linearen Preisfunktion der Nachfrage
auf. [1 Punkt]
b) Die Preisfunktion der Nachfrage p für einen 2-tägigen Kreativ-Workshop ist erhoben worden:
p ( x ) = –0,5 · x + 220
x ... Anzahl der teilnehmenden Personen
p ( x ) ... Preis bei x Personen in € pro Person
– Berechnen Sie denjenigen Preis pro Person, bei dem 200 Personen zu erwarten sind.
[1 Punkt]
– Geben Sie den Höchstpreis an. [1 Punkt]
– Berechnen Sie die Sättigungsmenge. [1 Punkt]
c) Bei einem Kreativ-Workshop fallen für den Veranstalter Kosten an, die sich näherungsweise
durch die folgende Kostenfunktion K beschreiben lassen:
K ( x ) = 0,01 · x ² + 35 · x + 4 800
x ... Anzahl der teilnehmenden Personen
K ( x ) ... Gesamtkosten bei x Personen in €
Der Preis für den Kreativ-Workshop beträgt € 129 pro Person.
– Stellen Sie eine Funktionsgleichung der zugehörigen Gewinnfunktion G auf. [1 Punkt]
– Berechnen Sie, bei welcher Anzahl an teilnehmenden Personen für diesen Workshop der
Break-even-Point erreicht wird. [1 Punkt]
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d) Die nachstehende Abbildung zeigt die Graphen einer quadratischen Erlösfunktion E und einer
linearen Kostenfunktion K .
240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 260
7 000
6 000
5 000
4 000
3 000
2 000
1 000
0
–1 000
–2 000
–3 000
8 000
K ( x ), E ( x ), G ( x )
K
E
x
– Erklären Sie mathematisch, warum die zugehörige Gewinnfunktion eine quadratische Funktion sein muss. [1 Punkt]
– Zeichnen Sie den Graphen der zugehörigen Gewinnfunktion G im Intervall von 0 bis zur oberen Gewinngrenze in der obigen Abbildung ein. [1 Punkt]
– Beschreiben Sie, wie sich die beiden Gewinngrenzen verändern, wenn die Fixkosten steigen. [1 Punkt]
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Aufgabe 8 (Teil B)
Taxi
Ein Taxiunternehmen möchte seinen PKW-Park um einen Kleinbus erweitern.
a) Der Anschaffungswert des Kleinbusses beträgt € 90.000. In den ersten 3 Jahren erhält das
Taxiunternehmen jährlich eine Förderung von 10 % des Anschaffungswerts. Diese Förderung
muss nicht zurückgezahlt werden.
Das Taxiunternehmen rechnet mit folgenden Ausgaben und Einnahmen (die Förderung ist bei
den Angaben in der Tabelle nicht berücksichtigt):
Jahr Ausgaben Einnahmen
1 € 2.000 € 30.000
2 € 5.000 € 32.000
3 € 7.000 € 33.000
Das Taxiunternehmen rechnet mit einem kalkulatorischen Zinssatz von 4 % p. a.
– Berechnen Sie den Kapitalwert der Investition unter Berücksichtigung der Förderung.
[2 Punkte]
b) In der nachstehenden Abbildung ist der Kapitalwert einer Investition in Abhängigkeit vom kalkulatorischen Zinssatz dargestellt.
0 2 4 6 8 10 12
0
2 000
4 000
6 000
8 000
10 000
12 000
14 000
16 000
18 000
Kapitalwert in €
kalkulatorischer
Zinssatz in %
– Lesen Sie aus der obigen Abbildung den internen Zinssatz ab. [1 Punkt]
– Beschreiben Sie in Worten, wie sich der interne Zinssatz ändert, wenn der Anschaffungswert
der Investition sinkt. [1 Punkt]
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Aufgabe 9 (Teil B)
Konten
Von den Kunden einer Bankfiliale besitzen 80 % ein Gehaltskonto und 40 % ein Sparkonto.
25 % der Kunden der Bankfiliale besitzen sowohl ein Gehalts- als auch ein Spar konto.
G bezeichnet das Ereignis, dass ein Kunde ein Gehalts konto besitzt.
S bezeichnet das Ereignis, dass ein Kunde ein Spar konto besitzt.
a) – Übertragen Sie die Werte der Angabe in die entsprechenden Felder der unten stehenden
Vierfeldertafel. [1 Punkt]
– Ermitteln Sie die Werte in den restlichen Feldern und tragen Sie diese ein. [1 Punkt]
besitzt Gehaltskonto besitzt kein Gehaltskonto Summe
besitzt Sparkonto
besitzt kein Sparkonto
Summe
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von 10 zufällig ausgewählten Kunden mindestens 2 Kunden weder ein Gehalts- noch ein Sparkonto besitzen. [1 Punkt]
b) – Überprüfen Sie nachweislich, ob die Ereignisse G und S voneinander unabhängig sind.
[1 Punkt]
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