Mathematik-Matura September 2016 · AHS Teil 2 – Lösungen

AHS
20. September 2016
Mathematik
Teil-2-Aufgaben
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung
öffentliches Dokument

2
Aufgabe 1
Schilauf-Trainingsstrecke
a) Lösungserwartung:
–
v =
s (3) – s (0)
3 – 0
=
23,4375 – 0
3
≈ 7,8
Die mittlere Geschwindigkeit innerhalb der ersten drei Fahrsekunden beträgt ca. 7,8 m/s.
Mögliche Berechnung:
–
1
144
· t
4
+
8
3
· t
2
= 240 ⇒
1
t
2
= ± 12;
3
t
4
≈ ± 15,5
also: t = 12 s
Die Fahrt von A nach B dauert 12 Sekunden.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „m/s“ nicht angegeben sein muss.
Toleranzintervall: [7,5 m/s; 8 m/s]
– Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „s“ nicht angegeben sein muss.
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das
Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.
b) Lösungserwartung:
Mögliche Berechnung:
s ′ ( t ) = –
1
36
· t
3
+
16
3
· t
s ″ ( t ) = –
1
12
· t
2
+
16
3
s ″ ( t ) = 0 ⇔ –
1
12
· t
2
+
16
3
= 0 ⇒
1
t
2
= ±8
also: t
1
= 8 s
Mögliche Interpretation:
Die Läuferin erreicht nach 8 Sekunden die maximale Geschwindigkeit.
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „s“ nicht angegeben sein
muss.
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das
Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.
– Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Interpretation.
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c) Lösungserwartung:
s ′ ( t ) = –
1
36
· t
3
+
16
3
· t ⇒ s ′ (6) = 26
Zum Zeitpunkt t
2
= 6 hat die Läuferin eine Geschwindigkeit von 26 m/s.
Mögliche Berechnung:
s (6) = 87 ⇒
240 – 87
26
≈ 5,9
Die Läuferin würde den Geländepunkt B ca. 5,9 s nach dem Zeitpunkt t
2
erreichen.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „m/s“ nicht angegeben sein muss.
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das
Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.
– Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „s“ nicht angegeben sein muss.
Toleranzintervall: [5,8 s; 5,9 s]
d) Lösungserwartung:
Die Funktion s
1
muss die Eigenschaften
• s
1
′ (0) = 0 und
• s
1
′ ( t ) > 0 während der Fahrt von A nach B
erfüllen.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die Nennung der Eigenschaft s
1
′ (0) = 0.
– Ein Punkt für die Nennung der Eigenschaft s
1
′ ( t ) > 0.
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Aufgabe 2
Bevölkerungswachstum in den USA
a) Lösungserwartung:
Mögliche Berechnung:
B
0
= 3,9 und B (100) = 62,9 ⇒ 62,9 = 3,9 · a
100
⇒ a =
62,9
3,9
100
⇒ a ≈ 1,0282
B ( t ) = 3,9 · 1,0282
t
Das bestimmte Integral
∫
50
0
B ′ ( t ) d t gibt denjenigen Wert näherungsweise an, um den die Einwohnerzahl von 1790 bis 1840 gewachsen ist.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für eine korrekte Funktionsgleichung. Äquivalente Gleichungen sind als richtig zu
werten.
Toleranzintervall für a : [1,028; 1,029]
– Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Interpretation.
b) Lösungserwartung:
t * = 0
B
0
· In( a ) ist die Wachstumsgeschwindigkeit der Bevölkerung (momentane Änderungsrate der
Einwohnerzahl) zum Zeitpunkt t = 0 in Millionen Einwohner/innen pro Jahr.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die richtige Lösung.
– Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Interpretation.
c) Lösungserwartung:
Mögliche Begründung:
Im Zeitraum von 2003 bis 2013 ist die (absolute) Zunahme der Bevölkerung pro Jahr annähernd konstant.
Der Parameter k entspricht der (durchschnittlichen) Zunahme der Bevölkerung pro Jahr.
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt für eine (sinngemäß) richtige Begründung.
– Ein Punkt für die (sinngemäß) richtige Interpretation des Parameters k .
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Aufgabe 3
Pong
a) Lösungserwartung:
tan( α ) =
7
4
= 1,75
α ≈ 60,26°
Unter diesen Bedingungen lautet der Geschwindigkeitsvektor
→
v =
( )
±19
±1
Pixel pro Bildaufbau.
Für den Winkel β
min
gibt das in jedem Fall:
tan( β
min
) =
1
19
β
min
≈ 3,01°
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „Grad“ nicht angegeben sein
muss. Eine korrekte Angabe der Lösung in einer anderen Einheit ist ebenfalls als richtig zu
werten.
Toleranzintervall: [60°; 60,3°]
– Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „Grad“ nicht angegeben sein muss.
Eine korrekte Angabe der Lösung in einer anderen Einheit ist ebenfalls als richtig zu werten.
Toleranzintervall: [3°; 3,02°]
b) Lösungserwartung:
301 – 3 n = 1 ⇒ n = 100
100 ∙ 0,02 = 2
Es dauert zwei Sekunden, bis der Ball am unteren Spielfeldrand reflektiert wird.
g : X =
( )
601
1
+ s ·
( )
2
3
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die richtige Lösung.
Toleranzintervall: [2 s; 2,02 s]
– Ein Punkt für eine korrekte Parameterdarstellung bzw. Gleichung der Geraden. Äquivalente
Parameterdarstellungen bzw. Gleichungen sind als richtig zu werten.
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c) Lösungserwartung:
n = 45, h =
31
45
31
45
± 1,96 ·
45
31
45
·
14
45
≈ 0,689 ± 0,135 ⇒ [0,554; 0,824]
Mögliche Erklärungen:
Es ist nicht sinnvoll, ein 100-%-Konfidenzintervall zu bilden, da die Intervallgrenzen dann 0 %
bis 100 % wären, man hätte also keinen Informationsgewinn.
oder:
Ein 100-%-Konfidenzintervall erstreckt sich über den gesamten Definitionsbereich.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für ein korrektes Intervall. Andere Schreibweisen des Ergebnisses (als Bruch oder
in Prozent) sind ebenfalls als richtig zu werten.
Toleranzintervall für den unteren Wert: [0,54; 0,56]
Toleranzintervall für den oberen Wert: [0,81; 0,83]
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das
Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.
– Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Erklärung.
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Aufgabe 4
Roulette
a) Lösungserwartung:
Die Argumentation ist falsch. Da die einzelnen Spiele unabhängig voneinander sind, gilt auch
für das sechste Spiel (unabhängig von den vorherigen Spielausgängen):
P („Rouge“) = P („Noir“) =
18
37
Mögliche Berechnung (z. B. durch Approximation durch die Normalverteilung ohne Stetigkeitskorrektur):
Die binomialverteilte Zufallsvariable X beschreibt, wie oft die Kugel in ein rotes Nummernfach
fällt.
n = 100, p =
18
37
P ( X ≤ 40) ≈ 0,0418
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die Angabe, dass die Argumentation nicht richtig ist, und für eine (sinngemäß)
korrekte Begründung.
– Ein Ausgleichspunkt für die richtige Lösung, wobei Ergebnisse durch Berechnung mit Stetigkeitskorrektur oder exakt mittels Binomialverteilung ebenfalls als richtig zu werten sind.
Andere Schreibweisen des Ergebnisses (in Prozent) sind ebenfalls als richtig zu werten.
Toleranzintervall: [0,03; 0,06]
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.
b) Lösungserwartung:
Mögliche Berechnung:
Bei 12
M
erhält die Spielerin bei einem Einsatz von € 10 mit der Wahrscheinlichkeit
12
37
einen
Gewinn von € 20.
12
37
∙ 20 –
25
37
∙ 10 ≈ –0,27
D. h., der erwartete Verlust beträgt ca. € 0,27.
Bankvorteil: € 0,27 bzw. 2,7 % des Einsatzes
Cheval bei einem Einsatz von € a :
erwarteter Gewinn:
2
37
∙ 17 ∙ a –
35
37
∙ a = –
1
37
∙ a ≈ –0,027 ∙ a
Der Bankvorteil bleibt mit ca. 2,7 % des Einsatzes gleich.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei diese sowohl in Prozentangabe als auch als Geldbetrag als richtig zu werten ist.
Toleranzintervall: [€ 0,27; € 0,30] bzw. [2,7 %; 3 %]
– Ein Punkt für die Angabe, dass der Bankvorteil gleich bleibt, und für eine (sinngemäß) korrekte Begründung.
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