Mathematik-Matura September 2016 · AHS Teil 2 – Aufgaben

AHS
20. September 2016
Mathematik
Teil-2-Aufgaben
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung
Name:
Klasse:
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2
Hinweise zur Aufgabenbearbeitung
Sehr geehrte Kandidatin! Sehr geehrter Kandidat!
Das vorliegende Aufgabenheft zu Teil 2 enthält vier Aufgaben mit je zwei bis vier Teilaufgaben, wobei alle Teilaufgaben unabhängig voneinander bearbeitbar sind. Ihnen stehen dafür insgesamt 150 Minuten an reiner Arbeitszeit zur Verfügung.
Verwenden Sie einen nicht radierbaren, blau oder schwarz schreibenden Stift! Bei Konstruktionsaufgaben ist
auch die Verwendung eines Bleistifts möglich.
Verwenden Sie zur Bearbeitung dieser Aufgaben dieses Aufgabenheft und die Ihnen zur Verfügung gestellten
Blätter! Schreiben Sie Ihren Namen auf der ersten Seite des Aufgabenheftes in das dafür vorgesehene Feld und
auf jedes verwendete Blatt! Geben Sie bei der Beantwortung jeder Teilaufgabe deren Bezeichnung an!
In die Beurteilung wird alles einbezogen, was nicht durchgestrichen ist. Die Lösung muss dabei klar ersichtlich
sein. Wenn die Lösung nicht klar ersichtlich ist oder verschiedene Lösungen angegeben sind, gilt die Aufgabe
als nicht gelöst. Streichen Sie Ihre Notizen durch.
Sie dürfen eine approbierte Formelsammlung sowie die gewohnten elektronischen Hilfsmittel verwenden.
Abzugeben sind das Aufgabenheft und alle von Ihnen verwendeten Blätter.
Beurteilung
Jede Aufgabe in Teil 1 wird mit 0 Punkten oder 1 Punkt bewertet, jede Teilaufgabe in Teil 2 mit 0, 1 oder 2 Punkten. Die mit A gekennzeichneten Aufgabenstellungen werden mit 0 Punkten oder 1 Punkt bewertet.
– Werden im Teil 1 mindestens 16 von 24 Aufgaben richtig gelöst, wird die Arbeit positiv bewertet.
– Werden im Teil 1 weniger als 16 von 24 Aufgaben richtig gelöst, werden mit A markierte Aufgabenstellungen
aus Teil 2 zum Ausgleich (für den laut LBVO „wesentlichen Bereich“) herangezogen.
Werden unter Berücksichtigung der mit A markierten Aufgabenstellungen aus Teil 2 mindestens 16 Aufgaben
richtig gelöst, wird die Arbeit positiv bewertet.
Werden auch unter Berücksichtigung der mit A markierten Aufgabenstellungen aus Teil 2 weniger als 16 Aufgaben richtig gelöst, wird die Arbeit mit „Nicht genügend“ beurteilt.
– Werden im Teil 1 mindestens 16 Punkte (mit Berücksichtigung der Ausgleichspunkte A ) erreicht, so gilt folgender Beurteilungsschlüssel:
Genügend 16– 23 Punkte
Befriedigend 24– 32 Punkte
Gut 33– 40 Punkte
Sehr gut 41– 48 Punkte
Erläuterung der Antwortformate
Die Aufgaben haben einerseits freie Antwortformate ; dabei schreiben Sie Ihre Antwort direkt unter die jeweilige
Aufgabenstellung in das Aufgabenheft oder auf die zur Verfügung gestellten Blätter. Weitere Antwortformate, die in
der Klausur zum Einsatz kommen können, werden im Folgenden vorgestellt:
Zuordnungsformat: Dieses Antwortformat ist durch mehrere Aussagen (bzw. Tabellen oder Abbildungen) gekennzeichnet, denen mehrere Antwortmöglichkeiten gegenüberstehen. Bearbeiten Sie Aufgaben dieses Formats
korrekt, indem Sie die Antwortmöglichkeiten durch Eintragen der entsprechenden Buchstaben den jeweils zutreffenden Aussagen zuordnen!
Beispiel:
Gegeben sind zwei Gleichungen.
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den zwei Gleichungen jeweils die
entsprechende Bezeichnung (aus A bis D) zu!
1 + 1 = 2 A
2 ∙ 2 = 4 C
A Addition
B Division
C Multiplikation
D Subtraktion
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Konstruktionsformat: Eine Aufgabe und deren Aufgabenstellung sind vorgegeben. Die Aufgabe erfordert die Ergänzung von Punkten, Geraden und/oder Kurven im Aufgabenheft.
Beispiel:
Gegeben ist eine lineare Funktion f mit f ( x ) = k · x + d.
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie den Graphen einer linearen Funktion mit den Bedingungen k = –2 und d > 0 in das vorgegebene
Koordinatensystem ein!
f ( x )
f
x
Multiple-Choice-Format in der Variante „1 aus 6“: Dieses Antwortformat ist durch einen Fragenstamm und
sechs Antwortmöglichkeiten gekennzeichnet, wobei eine Antwortmöglichkeit auszuwählen ist. Bearbeiten Sie
Aufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die einzige zutreffende Antwortmöglichkeit ankreuzen!
Beispiel:
Welche Gleichung ist korrekt?
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende Gleichung an!
1 + 1 = 1 a
2 + 2 = 2 a
3 + 3 = 3 a
4 + 4 = 8 T
5 + 5 = 5 a
6 + 6 = 6 a
Multiple-Choice-Format in der Variante „2 aus 5“: Dieses Antwortformat ist durch einen Fragenstamm und fünf
Antwortmöglichkeiten gekennzeichnet, wobei zwei Antwortmöglichkeiten auszuwählen sind. Bearbeiten Sie Aufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die beiden zutreffenden Antwortmöglichkeiten ankreuzen!
Beispiel:
Welche Gleichungen sind korrekt?
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Gleichungen an!
1 + 1 = 1 a
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 3 a
4 + 4 = 8 T
5 + 5 = 5 a
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Multiple-Choice-Format in der Variante „x aus 5“: Dieses Antwortformat ist durch einen Fragenstamm und fünf
Antwortmöglichkeiten gekennzeichnet, wobei eine, zwei, drei, vier oder fünf Antwortmöglichkeiten auszuwählen sind. In der Aufgabenstellung finden Sie stets die Aufforderung „Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n)/
Gleichung(en)/... an!“. Bearbeiten Sie Aufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die zutreffende Antwortmöglichkeit/die zutreffenden Antwortmöglichkeiten ankreuzen!
Beispiel:
Welche der gegebenen Gleichungen ist/sind korrekt?
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Gleichung(en) an!
1 + 1 = 2 T
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 6 T
4 + 4 = 4 a
5 + 5 = 10 T
Lückentext: Dieses Antwortformat ist durch einen Satz mit zwei Lücken gekennzeichnet, das heißt, im Aufgabentext sind zwei Stellen ausgewiesen, die ergänzt werden müssen. Für jede Lücke werden je drei Antwortmöglichkeiten vorgegeben. Bearbeiten Sie Aufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die Lücken durch Ankreuzen der
beiden zutreffenden Antwortmöglichkeiten füllen!
Beispiel:
Gegeben sind 3 Gleichungen.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte
Aussage entsteht!
Die Gleichung
1
wird als Zusammenzählung oder
2
bezeichnet.
1
1 – 1 = 0 a
1 + 1 = 2 T
1 ∙ 1 = 1 a
2
Multiplikation a
Subtraktion a
Addition T
So ändern Sie Ihre Antwort bei Aufgaben zum Ankreuzen:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr gültigen Antwort.
2. Kreuzen Sie dann das gewünschte Kästchen an.
1 + 1 = 3 a
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 a
4 + 4 = 4 a
5 + 5 = 9 T
So wählen Sie eine bereits übermalte Antwort:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr gültigen Antwort.
2. Kreisen Sie das gewünschte übermalte Kästchen ein.
1 + 1 = 3 a
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 a
4 + 4 = 4 a
5 + 5 = 9 a
Wenn Sie jetzt noch Fragen haben, wenden Sie sich bitte an Ihre Lehrerin/Ihren Lehrer!
Viel Erfolg bei der Bearbeitung!
Hier wurde zuerst die Antwort „2 + 2 = 4“
übermalt und dann wieder gewählt.
Hier wurde zuerst die Antwort „5 + 5 = 9“
gewählt und dann auf „2 + 2 = 4“ geändert.
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Aufgabe 1
Schilauf-Trainingsstrecke
Schirennläuferinnen absolvieren Trainingsfahrten auf einer eigens dafür präparierten Strecke. Die
Trainerin legt den Schwerpunkt ihrer Analyse auf einen 240 m langen Streckenabschnitt vom
Starthaus A bis zu einem Geländepunkt B . Mithilfe von Videoanalysen wird die von den Renn läuferinnen zurückgelegte Weglänge in Abhängigkeit von der Zeit ermittelt.
Für eine bestimmte Trainingsfahrt einer Läuferin kann die Abhängigkeit des zurückgelegten
Weges von der Zeit während der Fahrt von A nach B modellhaft durch die Funktion s mit
s ( t ) = –
1
144
· t
4
+
8
3
· t
2
beschrieben werden. Die Läuferin verlässt zum Zeitpunkt t = 0 das Starthaus. Die Zeit t wird in Sekunden gemessen. s ( t ) gibt die bis zum Zeitpunkt t zurückgelegte Weglänge in Metern an.
Die folgenden Fragestellungen beziehen sich auf die gegebene Zeit-Weg-Funktion s .
Aufgabenstellung:
a) Um die Effektivität des Starts zu überprüfen, wird die mittlere Geschwindigkeit
–
v der Läuferin
im Zeitintervall [0 s; 3 s] ermittelt.
Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit
–
v der Läuferin in m/s!
Berechnen Sie die für die Fahrt von A nach B benötigte Zeit!
b) A Berechnen Sie denjenigen Zeitpunkt t
1
, für den s ″ ( t
1
) = 0 gilt!
Interpretieren Sie t
1
im Hinblick auf die Fahrt der Rennläuferin von A nach B !
c) Berechnen Sie die Momentangeschwindigkeit der Läuferin zum Zeitpunkt t
2
= 6!
Angenommen, die Geschwindigkeit der Rennläuferin bliebe ab dem Zeitpunkt t
2
unverändert.
Geben Sie an, nach wie vielen Sekunden ab dem Zeitpunkt t
2
die Läuferin den Geländepunkt B erreichen würde!
d) Bei einem mathematischen Modell für die zeitliche Abhängigkeit des von der Läuferin zurückgelegten Weges sollen folgende Sachverhalte gelten:
(1) Zum Zeitpunkt t = 0 beträgt die momentane Geschwindigkeit der Läuferin 0 m/s.
(2) Während der Fahrt von A nach B nimmt die zurückgelegte Weglänge streng monoton zu.
Geben Sie an, welche mathematischen Eigenschaften einer differenzierbaren Zeit-Weg-
Funktion s
1
diese Sachverhalte garantieren!
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Aufgabe 2
Bevölkerungswachstum in den USA
Die erste Volkszählung in den USA fand im Jahre 1790 statt. Seit diesem Zeitpunkt werden Volkszählungen im Abstand von zehn Jahren abgehalten. Zwischen den Volkszählungen wird die Zahl
der Einwohner/innen durch die Meldeämter ermittelt.
Nachstehend wird ein Überblick über die Bevölkerungsentwicklung in den USA im Zeitraum von
1790 bis 1890 (Tabelle) bzw. 2003 bis 2013 (Grafik) gegeben.
Tabelle: Bevölkerungsentwicklung in den USA von 1790 bis 1890
Jahr Einwohnerzahl in Millionen
1790 3,9
1800 5,2
1810 7,2
1820 9,6
1830 12,9
1840 17,1
Jahr Einwohnerzahl in Millionen
1850 23,2
1860 31,4
1870 38,6
1880 49,3
1890 62,9
Quelle: Keller, G. (2011). Mathematik in den Life Sciences. Stuttgart: Ulmer. S. 55.
Grafik: Bevölkerungsentwicklung in den USA von 2003 bis 2013
USA; International Monetary Fund Quelle: IMF
Einwohner/innen in Millionen
300
200
100
0
400
2012 2011 2010 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 2013
314,18 311,94 309,73 307,37 304,72 301,90 298,93 296,12 293,39 290,73
316,85
Datenquelle: http://de.statista.com/statistik/daten/studie/19320/umfrage/gesamtbevoelkerung-der-usa/ [19.09.2013] (adaptiert).
Für den Zeitraum von 1790 bis 1890 kann die Entwicklung der Zahl der Einwohner/innen der
USA näherungsweise durch eine Exponentialfunktion B mit B ( t ) = B
0
· a
t
beschrieben werden. Dabei gibt t die Zeit in Jahren, die seit 1790 vergangen sind, an. B ( t ) wird in Millionen
Einwohner/innen angegeben.
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Aufgabenstellung:
a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion B unter Verwendung der Daten aus den beiden
Jahren 1790 und 1890!
Interpretieren Sie das bestimmte Integral
∫
50
0
B ′ ( t ) d t im gegebenen Zusammenhang!
b) Die erste Ableitung der Funktion B ist gegeben durch B ′ ( t ) = B
0
· In( a ) · a
t
.
Geben Sie t * so an, dass B ′ ( t *) = B
0
· In( a ) gilt!
Interpretieren Sie B ′ ( t *) im Zusammenhang mit dem Bevölkerungswachstum in den USA!
c) A Begründen Sie, warum die Bevölkerungsentwicklung in den USA im Zeitraum von 2003
bis 2013 näherungsweise durch eine lineare Funktion N mit N ( t ) = k · t + d beschrieben werden kann (dabei gibt t die Zeit in Jahren, die seit 2003 vergangen sind, an)!
Interpretieren Sie die Bedeutung des Parameters k dieser linearen Funktion! Eine Berechnung
des Parameters k ist nicht erforderlich.
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Aufgabe 3
Pong
Das 1972 vom Unternehmen Atari veröffentlichte Pong wurde zum ersten weltweit populären
Videospiel. (Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Pong)
Das Spielprinzip von Pong ist wie folgt: Ein Punkt („Ball“) bewegt sich auf dem Bildschirm entlang
geradliniger Bahnen hin und her. Jede/r der beiden Spieler/innen steuert einen senkrechten Strich
(„Schläger“), den sie/er mit einem Drehknopf („Joystick“) nach oben und unten verschieben kann.
Lässt man den Ball am Schläger vorbei, erhält die Gegnerin / der Gegner einen Punkt.
Das Spielfeld, in dem sich der Ball und die Schläger bewegen, hat eine Breite von 800 Pixeln und
eine Höhe von 600 Pixeln (ein Pixel ist ein quadratischer Bildpunkt). Vereinfachend wird angenommen, dass der Ball als Pixel dargestellt wird.
Wenn der Ball den oberen bzw. unteren Spielfeldrand oder einen Schläger berührt, dann wird er
von dort reflektiert. Dabei gilt das Reflexionsgesetz; dieses besagt: α = β (vgl. die unten abgebildete Grafik).
Man kann sich das Spielfeld als Ebene mit Koordinatensystem vorstellen. Der Bildpunkt (1|1) liegt
dann in der linken unteren Ecke, der Bildpunkt (800 | 600) in der rechten oberen Ecke.
Auf dem Schirm wird das Bild alle 0,02 Sekunden neu generiert. Der Geschwindigkeitsvektor
→
v =
( )
v
x
v
y
des Balls gibt an, um wie viele Pixel sich der Ball von einem Bildaufbau zum nächsten in
horizontaler Richtung ( v
x
) und in vertikaler Richtung ( v
y
) weiterbewegt hat.
Bildquelle: http://www.overclockers.at/games_forum/euer-erstes-computerspiel_237146/page_2 [15.10.2015].
α β
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Aufgabenstellung:
a) In einer konkreten Spielsituation hat der Ball beim Aufprall auf den oberen Spielfeldrand einen
Geschwindigkeitsvektor von
→
v =
( )
4
7
Pixeln pro Bildaufbau.
A Geben Sie denjenigen Winkel α an, unter dem der Ball auf den Spielfeldrand trifft!
α = ______________________
Die Komponenten des Geschwindigkeitsvektors sind immer ganzzahlig. Nehmen Sie an, dass
die Summe der Beträge der Komponenten nicht größer als 20 sein darf.
Der Ball wird am oberen Spielfeldrand unter dem Winkel β reflektiert. Welchen kleinstmöglichen
Wert β
min
kann unter diesen Voraussetzungen der Winkel β annehmen? Geben Sie β
min
an!
β
min
= ______________________
b) In einem anderen Spielverlauf befindet sich der Ball im Punkt (401| 301) und sein Geschwindigkeitsvektor ist dabei
→
v =
( )
2
–3
Pixel pro Bildaufbau.
Geben Sie an, wie viele Sekunden es dauert, bis der Ball am unteren Spielfeldrand reflektiert
wird!
Nach dieser Reflexion bewegt sich der Ball entlang einer Geraden bis zum nächsten Auftreffen
auf den Schläger oder den Spielfeldrand.
Geben Sie eine Parameterdarstellung dieser Geraden an!
c) Zwei Kinder, Nicola und Florian, spielen über einen längeren Zeitraum oft gegeneinander
Pong . Von 45 Spielen gewinnt Nicola 31-mal, Florian gewinnt 14-mal.
Geben Sie auf Basis dieser Information ein symmetrisches 95-%-Konfidenzintervall für Nicolas
Gewinnwahrscheinlichkeit an!
Erklären Sie, wieso es nicht sinnvoll ist, ein 100-%-Konfidenzintervall zu bestimmen!
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Aufgabe 4
Roulette
Beim Glücksspiel Roulette versucht man, diejenige Zahl bzw. Gruppe von Zahlen zu erraten, die
durch den Wurf einer Kugel in die Roulettemaschine bestimmt wird.
Beim französischen Roulette besteht die Roulettemaschine aus einer in eine Schüssel eingelassenen, drehbaren Scheibe mit 36 abwechselnd roten und schwarzen Nummernfächern sowie
einem 37., grün gekennzeichneten Fach für die Null (vgl. Abbildung 1). Die Roulettescheibe wird
in Bewegung gesetzt und die Kugel wird gegen die Drehrichtung in die Roulettemaschine geworfen. Dabei wird kein Nummernfach bevorzugt und es gibt keine Möglichkeit, das Ergebnis (etwa
durch „geschicktes“ Werfen) zu beeinflussen.
Ziel ist es, in jedem einzelnen Spiel im Vorhinein zu erraten, in welchem Nummernfach die Kugel
zu liegen kommen wird.
Auf dem Spielfeld (vgl. Abbildung 2) werden die Spieleinsätze (Jetons) platziert. Beispielsweise
sind die Felder mit der „1“ und der „7“ rot („rouge“), die Felder mit der „4“ und der „6“ schwarz
(„noir“).
0 26
35
28
29
22
31
20
33
24
10
8
13
6
17
2
4
15
11
Abbildung 1 Abbildung 2
Quelle: http://www.rouletteplay.com/images/software_ Quelle: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Roulette_
logos_small/european-roulette-wheel.gif [23.03.2016]. frz.png [23.03.2016].
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Aufgabenstellung:
a) Jemand argumentiert: „Wenn die Kugel bei fünf Spielen hintereinander jedes Mal auf ein rotes
Feld gefallen ist, fällt die Kugel beim 6. Spiel mit höherer Wahrscheinlichkeit auf ein schwarzes
Feld als auf ein rotes, da bei einer längeren Spielserie dieselben Häufigkeiten für ‚Rouge‘ und
‚Noir‘ zu erwarten sind.“ Geben Sie an, ob diese Argumentation richtig oder falsch ist, und
begründen Sie Ihre Entscheidung!
An einem Roulettetisch werden an einem Abend 100 Spiele gespielt.
A Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel dabei höchstens 40-mal in ein rotes
Nummernfach fällt!
b) In der folgenden Tabelle sind einige Wettmöglichkeiten sowie die jeweiligen Gewinnquoten
angeführt:
Wettart Gewinnquote
Rouge: Die Kugel fällt in ein rotes Nummernfach. 1 : 1
Noir: Die Kugel fällt in ein schwarzes Nummernfach. 1 : 1
12
P
: erstes Dutzend (Zahlen 1 bis 12) 2 : 1
12
M
: mittleres Dutzend (Zahlen 13 bis 24) 2 : 1
12
D
: letztes Dutzend (Zahlen 25 bis 36) 2 : 1
Plein: Man setzt auf eine der 37 Zahlen. 35 : 1
Cheval: Man setzt auf zwei auf dem Spielfeld horizontal oder vertikal
benachbarte Zahlen, z. B. 2 und 5 oder 8 und 9.
17 : 1
Eine Gewinnquote von 2 : 1 bedeutet beispielsweise, dass im Falle eines Gewinns der Einsatz
und zusätzlich das Doppelte des Einsatzes ausbezahlt wird. Im Falle eines Verlustes verliert
man den Einsatz.
Als Bankvorteil bezeichnet man bei Glücksspielen den erwarteten Verlust der Spielerin / des
Spielers bezogen auf ihren/seinen Einsatz.
Eine Spielerin setzt € 10 auf 12
M
.
Berechnen Sie den Bankvorteil in Prozent des Einsatzes!
Geben Sie an, ob der in Prozent angegebene Bankvorteil größer wird, kleiner wird oder gleich
bleibt, wenn die Spielerin / der Spieler bei einem Einsatz von € a eine Cheval-Variante wählt!
Begründen Sie Ihre Entscheidung!
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