Mathematik-Matura September 2016 · AHS Teil 1 – Lösungen

AHS
20. September 2016
Mathematik
Teil-1-Aufgaben
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung
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2
Aufgabe 1
Eigenschaften von Zahlen
Lösungserwartung:
Jede natürliche Zahl kann als Bruch in der Form
a
b
mit a ∈ ℤ und b ∈ ℤ \{0} dargestellt werden.
Das Produkt zweier rationaler Zahlen kann eine
natürliche Zahl sein.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung
richtigen Aussagen angekreuzt sind.
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3
Aufgabe 2
Gleichungssystem
Lösungserwartung:
a = 1,5
c = –12
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe der korrekten Werte von a und c . Andere korrekte Schreibweisen der
Ergebnisse sind ebenfalls als richtig zu werten.
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4
Aufgabe 3
Vektoren
Lösungserwartung:
Mögliche Berechnung:
AC =
( )
4
7
D = C +
1
2
∙ AC ⇒ D = ( 9 | 11,5 )
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die korrekte Angabe beider Koordinaten des gesuchten Punktes D .
Andere Schreibweisen der Koordinaten sind ebenfalls als richtig zu werten.
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis
aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.
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5
Aufgabe 4
Geradengleichung
Lösungserwartung:
Mögliche Werte der Parameter:
a = 3
b = –5
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für mögliche Werte der Parameter a und b , wobei a = 3 t und b = –5 t mit t ∈ ℝ \{0}
gelten muss.
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6
Aufgabe 5
Aufwölbung des Bodensees
Lösungserwartung:
Mögliche Berechnung:
6 370 – 6 370 · cos (
0,5846
2
) ≈ 0,083 km ≙ 83 m
Aufwölbung: 83 Meter
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.
Toleranzintervall: [82 Meter; 84 Meter]
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis
aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.
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7
Aufgabe 6
Winkel bestimmen
Lösungserwartung:
sin( α ) = 0,4 ⇒ α
1
≈ 23,6°; α
2
≈ 156,4°
cos( α
1
) > 0; cos( α
2
) < 0 ⇒ α = α
2
≈ 156,4°
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „Grad“ nicht angeführt sein muss. Eine korrekte Angabe der Lösung in einer anderen Einheit ist ebenfalls als richtig zu werten.
Toleranzintervall: [156°; 157°]
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8
Aufgabe 7
Daten aus einem Diagramm ablesen
Lösungserwartung:
Der Motorradfahrer fährt drei Stunden nach der Abfahrt des Autofahrers los.
Die Durchschnittsgeschwindigkeit des Autos ist um
40 km/h niedriger als jene des Motorrads.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung
richtigen Aussagen angekreuzt sind.
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9
Aufgabe 8
Graphen und Funktionstypen
Lösungserwartung:
A f ( x ) = a · b
x
B f ( x ) = a · x
1
2
C f ( x ) = a ·
1
x
2
D f ( x ) = a · x
2
+ b
E f ( x ) = a · x
3
F f ( x ) = a · x + b
f ( x )
x
f
F
f ( x )
x
f
A
f ( x )
x
f
B
f ( x )
x
f
C
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn jedem der vier Graphen ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige Buchstabe zugeordnet ist.
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10
Aufgabe 9
Funktionsgleichung einer linearen Funktion
Lösungserwartung:
f ( x ) = –2 ∙ x + 1
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Funktionsgleichung. Äquivalente Funktionsgleichungen sind als richtig
zu werten.
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11
Aufgabe 10
Polynomfunktion vom Grad n
Lösungserwartung:
1
n > 3
2
zwei Wendestellen
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn für beide Lücken ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige Satzteil angekreuzt ist.
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12
Aufgabe 11
Bienenbestand
Lösungserwartung:
Mögliche Berechnung:
N
0
∙ 0,5 = N
0
∙ a
14
0,5 = a
14
⇒ a ≈ 0,9517
täglicher relativer Bestandsverlust: 4,83 %
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.
Toleranzintervall: [4,8 %; 4,9 %]
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis
aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.
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13
Aufgabe 12
Periodische Funktion
Lösungserwartung:
a = 2 · π rad
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen des Ergebnisses sind ebenfalls als richtig
zu werten.
Toleranzintervall: [6,2 rad; 6,3 rad]
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14
Aufgabe 13
Aktienkurs
Lösungserwartung:
Der Kurs der Aktie ist in den (ersten) 10 Tagen um durchschnittlich 2 Euro pro Tag gestiegen.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Interpretation.
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15
Aufgabe 14
Ableitungsregeln
Lösungserwartung:
g ′ ( x ) = 3 · f ′ ( x )
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die laut Lösungserwartung richtige Aussage angekreuzt ist.
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16
Aufgabe 15
Graphen von Ableitungsfunktionen
Lösungserwartung:
f ( x ), g ( x ), h ( x )
f
g
x
h
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die laut Lösungserwartung richtige Abbildung angekreuzt ist.
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17
Aufgabe 16
Differenzierbare Funktion
Lösungserwartung:
f ″ (6) = 0
f ″ (11) < 0
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung
richtigen Aussagen angekreuzt sind.
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18
Aufgabe 17
Integral
Lösungserwartung:
25 ·
∫
a
0
x
2
d x +
∫
a
0
3 d x
25 · a
3
3
+ 3 · a
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung
richtigen Ausdrücke angekreuzt sind.
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19
Aufgabe 18
Halbierung einer Fläche
Lösungserwartung:
Mögliche Berechnung:
∫
b
2
x
2
d x =
∫
4
b
x
2
d x ⇒
b
3
3
–
2
3
3
=
4
3
3
–
b
3
3
b = √ 36
3
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen des Ergebnisses sind ebenfalls als richtig
zu werten.
Toleranzintervall: [3,29; 3,31]
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis
aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.
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20
Aufgabe 19
Verurteilungen Jugendlicher
Lösungserwartung:
387 000
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die laut Lösungserwartung richtige Anzahl angekreuzt ist.
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21
Aufgabe 20
Wahrscheinlichkeit für eine Mädchengeburt
Lösungserwartung:
39 560
42 162 + 39 560
≈ 0,484
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen des Ergebnisses (als Bruch oder in Prozent) sind ebenfalls als richtig zu werten.
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22
Aufgabe 21
Einlasskontrolle
Lösungserwartung:
Mögliche Berechnung:
0,9 + 0,1 ∙ 0,9 = 0,99
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen des Ergebnisses (als Bruch oder in Prozent) sind ebenfalls als richtig zu werten.
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23
Aufgabe 22
Zufallsvariable
Lösungserwartung:
Die Zufallsvariable X kann die Werte x
1
= 0, x
2
= 1 und x
3
= 2 annehmen.
Es gilt:
P ( X = 0) =
1
6
, P ( X = 1) =
3
6
, P ( X = 2) =
2
6
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die korrekte Angabe aller möglichen Werte, die die Zufallsvariable X annehmen
kann, und der jeweils zugehörigen Wahrscheinlichkeit. Andere Schreibweisen der Ergebnisse sind
ebenfalls als richtig zu werten. Eine korrekte grafische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsverteilung ist ebenfalls als richtig zu werten.
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24
Aufgabe 23
Parameter einer Binomialverteilung
Lösungserwartung:
Mögliche Berechnung:
n ∙ 0,36 ∙ (1 – 0,36) = 7,2
2
n = 225
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis
aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.
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25
Aufgabe 24
500-Euro-Scheine in Österreich
Lösungserwartung:
n = 1 000, h = 0,234
0,234 ± 1,96 ∙
0,234 ∙ (1 – 0,234)
1 000
≈ 0,234 ± 0,026 ⇒ [0,208; 0,260]
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für ein korrektes Intervall. Andere Schreibweisen des Ergebnisses (als Bruch oder in
Prozent) sind ebenfalls als richtig zu werten.
Toleranzintervall für den unteren Wert: [0,20; 0,21]
Toleranzintervall für den oberen Wert: [0,26; 0,27]
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis
aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.
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