Mathematik-Matura September 2016 · AHS Teil 1 – Aufgaben

AHS
20. September 2016
Mathematik
Teil-1-Aufgaben
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung
Name:
Klasse:
öffentliches Dokument

2
Hinweise zur Aufgabenbearbeitung
Sehr geehrte Kandidatin! Sehr geehrter Kandidat!
Das vorliegende Aufgabenheft zu Teil 1 enthält 24 Aufgaben. Die Aufgaben sind unabhängig voneinander bearbeitbar. Ihnen stehen dafür 120 Minuten an reiner Arbeitszeit zur Verfügung.
Verwenden Sie einen nicht radierbaren, blau oder schwarz schreibenden Stift. Bei Konstruktionsaufgaben ist
auch die Verwendung eines Bleistifts möglich.
Verwenden Sie zur Bearbeitung ausschließlich dieses Aufgabenheft. Schreiben Sie Ihren Namen auf der ersten
Seite des Aufgabenheftes in das dafür vorgesehene Feld.
Alle Antworten müssen in das Aufgabenheft geschrieben werden. In die Beurteilung wird alles einbezogen, was
nicht durchgestrichen ist. Die Lösung muss dabei klar ersichtlich sein. Wenn die Lösung nicht klar ersichtlich ist
oder verschiedene Lösungen angegeben sind, gilt die Aufgabe als nicht gelöst. Streichen Sie Ihre Notizen durch.
Sie dürfen eine approbierte Formelsammlung sowie die gewohnten elektronischen Hilfsmittel verwenden.
Das Aufgabenheft ist abzugeben.
Beurteilung
Jede Aufgabe in Teil 1 wird mit 0 Punkten oder 1 Punkt bewertet, jede Teilaufgabe in Teil 2 mit 0, 1 oder 2 Punkten. Die mit A gekennzeichneten Aufgabenstellungen werden mit 0 Punkten oder 1 Punkt bewertet.
– Werden im Teil 1 mindestens 16 von 24 Aufgaben richtig gelöst, wird die Arbeit positiv bewertet.
– Werden im Teil 1 weniger als 16 von 24 Aufgaben richtig gelöst, werden mit A markierte Aufgabenstellungen
aus Teil 2 zum Ausgleich (für den laut LBVO „wesentlichen Bereich“) herangezogen.
Werden unter Berücksichtigung der mit A markierten Aufgabenstellungen aus Teil 2 mindestens 16 Aufgaben
richtig gelöst, wird die Arbeit positiv bewertet.
Werden auch unter Berücksichtigung der mit A markierten Aufgabenstellungen aus Teil 2 weniger als 16 Aufgaben richtig gelöst, wird die Arbeit mit „Nicht genügend“ beurteilt.
– Werden im Teil 1 mindestens 16 Punkte (mit Berücksichtigung der Ausgleichspunkte A ) erreicht, so gilt folgender Beurteilungsschlüssel:
Genügend 16– 23 Punkte
Befriedigend 24– 32 Punkte
Gut 33– 40 Punkte
Sehr gut 41– 48 Punkte
Erläuterung der Antwortformate
Die Aufgaben haben einerseits freie Antwortformate ; dabei schreiben Sie Ihre Antwort direkt unter die jeweilige
Aufgabenstellung in das Aufgabenheft. Weitere Antwortformate, die in der Klausur zum Einsatz kommen können,
werden im Folgenden vorgestellt:
Zuordnungsformat: Dieses Antwortformat ist durch mehrere Aussagen (bzw. Tabellen oder Abbildungen) gekennzeichnet, denen mehrere Antwortmöglichkeiten gegenüberstehen. Bearbeiten Sie Aufgaben dieses Formats
korrekt, indem Sie die Antwortmöglichkeiten durch Eintragen der entsprechenden Buchstaben den jeweils zutreffenden Aussagen zuordnen!
Beispiel:
Gegeben sind zwei Gleichungen.
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den zwei Gleichungen jeweils die
entsprechende Bezeichnung (aus A bis D) zu!
1 + 1 = 2 A
2 ∙ 2 = 4 C
A Addition
B Division
C Multiplikation
D Subtraktion
öffentliches Dokument

3
Konstruktionsformat: Eine Aufgabe und deren Aufgabenstellung sind vorgegeben. Die Aufgabe erfordert die Ergänzung von Punkten, Geraden und/oder Kurven im Aufgabenheft.
Beispiel:
Gegeben ist eine lineare Funktion f mit f ( x ) = k · x + d.
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie den Graphen einer linearen Funktion mit den Bedingungen k = –2 und d > 0 in das vorgegebene
Koordinatensystem ein!
f ( x )
f
x
Multiple-Choice-Format in der Variante „1 aus 6“: Dieses Antwortformat ist durch einen Fragenstamm und
sechs Antwortmöglichkeiten gekennzeichnet, wobei eine Antwortmöglichkeit auszuwählen ist. Bearbeiten Sie
Aufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die einzige zutreffende Antwortmöglichkeit ankreuzen!
Beispiel:
Welche Gleichung ist korrekt?
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende Gleichung an!
1 + 1 = 1 a
2 + 2 = 2 a
3 + 3 = 3 a
4 + 4 = 8 T
5 + 5 = 5 a
6 + 6 = 6 a
Multiple-Choice-Format in der Variante „2 aus 5“: Dieses Antwortformat ist durch einen Fragenstamm und fünf
Antwortmöglichkeiten gekennzeichnet, wobei zwei Antwortmöglichkeiten auszuwählen sind. Bearbeiten Sie Aufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die beiden zutreffenden Antwortmöglichkeiten ankreuzen!
Beispiel:
Welche Gleichungen sind korrekt?
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Gleichungen an!
1 + 1 = 1 a
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 3 a
4 + 4 = 8 T
5 + 5 = 5 a
öffentliches Dokument

4
Multiple-Choice-Format in der Variante „x aus 5“: Dieses Antwortformat ist durch einen Fragenstamm und fünf
Antwortmöglichkeiten gekennzeichnet, wobei eine, zwei, drei, vier oder fünf Antwortmöglichkeiten auszuwählen sind. In der Aufgabenstellung finden Sie stets die Aufforderung „Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n)/
Gleichung(en)/... an!“. Bearbeiten Sie Aufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die zutreffende Antwortmöglichkeit/die zutreffenden Antwortmöglichkeiten ankreuzen!
Beispiel:
Welche der gegebenen Gleichungen ist/sind korrekt?
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Gleichung(en) an!
1 + 1 = 2 T
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 6 T
4 + 4 = 4 a
5 + 5 = 10 T
Lückentext: Dieses Antwortformat ist durch einen Satz mit zwei Lücken gekennzeichnet, das heißt, im Aufgabentext sind zwei Stellen ausgewiesen, die ergänzt werden müssen. Für jede Lücke werden je drei Antwortmöglichkeiten vorgegeben. Bearbeiten Sie Aufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die Lücken durch Ankreuzen der
beiden zutreffenden Antwortmöglichkeiten füllen!
Beispiel:
Gegeben sind 3 Gleichungen.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte
Aussage entsteht!
Die Gleichung
1
wird als Zusammenzählung oder
2
bezeichnet.
1
1 – 1 = 0 a
1 + 1 = 2 T
1 ∙ 1 = 1 a
2
Multiplikation a
Subtraktion a
Addition T
So ändern Sie Ihre Antwort bei Aufgaben zum Ankreuzen:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr gültigen Antwort.
2. Kreuzen Sie dann das gewünschte Kästchen an.
1 + 1 = 3 a
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 a
4 + 4 = 4 a
5 + 5 = 9 T
So wählen Sie eine bereits übermalte Antwort:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr gültigen Antwort.
2. Kreisen Sie das gewünschte übermalte Kästchen ein.
1 + 1 = 3 a
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 a
4 + 4 = 4 a
5 + 5 = 9 a
Wenn Sie jetzt noch Fragen haben, wenden Sie sich bitte an Ihre Lehrerin/Ihren Lehrer!
Viel Erfolg bei der Bearbeitung!
Hier wurde zuerst die Antwort „2 + 2 = 4“
übermalt und dann wieder gewählt.
Hier wurde zuerst die Antwort „5 + 5 = 9“
gewählt und dann auf „2 + 2 = 4“ geändert.
öffentliches Dokument

5
Aufgabe 1
Eigenschaften von Zahlen
Nachstehend sind Aussagen über Zahlen und Zahlenmengen angeführt.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Die Quadratwurzel jeder natürlichen Zahl ist eine
irrationale Zahl.
Jede natürliche Zahl kann als Bruch in der Form
a
b
mit a ∈ ℤ und b ∈ ℤ \{0} dargestellt werden.
Das Produkt zweier rationaler Zahlen kann eine
natürliche Zahl sein.
Jede reelle Zahl kann als Bruch in der Form
a
b
mit a ∈ ℤ und b ∈ ℤ \{0} dargestellt werden.
Es gibt eine kleinste ganze Zahl.
öffentliches Dokument

6
Aufgabe 2
Gleichungssystem
Gegeben ist ein Gleichungssystem aus zwei linearen Gleichungen in den Variablen x , y ∈ ℝ :
I : x + 4 · y = –8
II : a · x + 6 · y = c mit a , c ∈ ℝ
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie diejenigen Werte für a und c , für die das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat!
a =
c =
öffentliches Dokument

7
Aufgabe 3
Vektoren
In der Ebene werden auf einer Geraden in gleichen Abständen nacheinander die Punkte A , B , C
und D markiert.
Es gilt also:
→
AB =
→
BC =
→
CD
Die Koordinaten der Punkte A und C sind bekannt.
A = (3 | 1)
C = (7 | 8)
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Koordinaten von D !
D = ( ______ | ______ )
öffentliches Dokument

8
Aufgabe 4
Geradengleichung
Die Gerade g ist durch eine Parameterdarstellung g : X =
( )
2
6
+ t ·
( )
3
–5
gegeben.
Aufgabenstellung:
Geben Sie mögliche Werte der Parameter a und b so an, dass die durch die Gleichung
a · x + b · y = 1 gegebene Gerade h normal zur Geraden g ist!
a =
b =
öffentliches Dokument

9
Aufgabe 5
Aufwölbung des Bodensees
Aufgrund der Erdkrümmung ist die Oberfläche des Bodensees gewölbt. Wird die Erde modellhaft
als Kugel mit dem Radius R = 6 370 km und dem Mittelpunkt M angenommen und aus der Länge
der Südost-Nordwest-Ausdehnung des Bodensees der Winkel φ = 0,5846° ermittelt, so lässt
sich die Aufwölbung des Bodensees näherungsweise berechnen.
Bodensee
Aufwölbung
R R
M
φ
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Aufwölbung des Bodensees (siehe obige Abbildung) in Metern!
Aufwölbung: __________ Meter
öffentliches Dokument

10
Aufgabe 6
Winkel bestimmen
Für einen Winkel α ∈ [0°; 360°) gilt:
sin( α ) = 0,4 und cos( α ) < 0
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den Winkel α !
öffentliches Dokument

11
Aufgabe 7
Daten aus einem Diagramm ablesen
Ein Motorradfahrer fährt dieselbe Strecke (560 km) wie ein Autofahrer. Die beiden Bewegungen
werden im nachstehenden Zeit-Weg-Diagramm modellhaft als geradlinig angenommen. Die hervorgehobenen Punkte haben ganzzahlige Koordinaten.
Auto
Motorrad
Weg in km
Zeit in h
0 1 2 3 4 5 6 7 8
80
160
240
320
400
480
560
640
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die eine korrekte Interpretation des Diagramms darstellen!
Der Motorradfahrer fährt drei Stunden nach der Abfahrt des Autofahrers los.
Das Motorrad hat eine Durchschnittsgeschwindigkeit
von 100 km/h.
Wenn der Autofahrer sein Ziel erreicht, ist das Motorrad davon noch 120 km entfernt.
Die Durchschnittsgeschwindigkeit des Autos ist um
40 km/h niedriger als jene des Motorrads.
Die Gesamtfahrzeit des Motorradfahrers ist für diese
Strecke größer als jene des Autofahrers.
öffentliches Dokument

12
Aufgabe 8
Graphen und Funktionstypen
Im Folgenden sind die Graphen von vier Funktionen dargestellt. Weiters sind sechs Funktions typen angeführt, wobei die Parameter a , b ∈ ℝ
+
sind.
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Graphen jeweils den entsprechenden Funktionstyp (aus A bis F) zu!
A f ( x ) = a · b
x
B f ( x ) = a · x
1
2
C f ( x ) = a ·
1
x
2
D f ( x ) = a · x
2
+ b
E f ( x ) = a · x
3
F f ( x ) = a · x + b
f ( x )
x
f
f ( x )
x
f
f ( x )
x
f
f ( x )
x
f
öffentliches Dokument

13
Aufgabe 9
Funktionsgleichung einer linearen Funktion
Gegeben ist eine lineare Funktion f mit folgenden Eigenschaften:
• Wenn das Argument x um 2 zunimmt, dann nimmt der Funktionswert f ( x ) um 4 ab.
• f (0) = 1
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Funktionsgleichung dieser linearen Funktion f an!
f ( x ) =
öffentliches Dokument

14
Aufgabe 10
Polynomfunktion vom Grad n
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f . Alle charakteristischen
Punkte des Graphen (Schnittpunkte mit den Achsen, Extrempunkte, Wendepunkte) sind in dieser
Abbildung enthalten.
f ( x )
x
f
0 1 –1 –2 –3
0
1
2
3
–3
–2
–1
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so,
dass eine korrekte Aussage entsteht!
Die Polynomfunktion f ist vom Grad
1
, weil f genau
2
hat.
1
n < 3
n = 3
n > 3
2
eine Extremstelle
zwei Wendestellen
zwei Nullstellen
öffentliches Dokument

15
Aufgabe 11
Bienenbestand
Wegen eines Umweltgifts nimmt der Bienenbestand eines Imkers täglich um einen fixen Prozentsatz ab. Der Imker stellt fest, dass er innerhalb von 14 Tagen einen Bestandsverlust von 50 %
erlitten hat.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den täglichen relativen Bestandsverlust in Prozent!
täglicher relativer Bestandsverlust:
––––––––––
%
öffentliches Dokument

16
Aufgabe 12
Periodische Funktion
Gegeben ist die periodische Funktion f mit der Funktionsgleichung f ( x ) = sin( x ).
Aufgabenstellung:
Geben Sie die kleinste Zahl a > 0 (Maßzahl für den Winkel in Radiant) so an, dass für alle
x ∈ ℝ die Gleichung f ( x + a ) = f ( x ) gilt!
a =
––––––––––
rad
öffentliches Dokument

17
Aufgabe 13
Aktienkurs
Ab dem Zeitpunkt t = 0 wird der Kurs einer Aktie (in Euro) beobachtet und dokumentiert.
A ( t ) beschreibt den Kurs der Aktie nach t Tagen.
Aufgabenstellung:
Es wird folgender Wert berechnet:
A (10) – A (0)
10
= 2
Geben Sie an, was dieser Wert im Hinblick auf die Entwicklung des Aktienkurses aussagt!
öffentliches Dokument

18
Aufgabe 14
Ableitungsregeln
Über zwei Polynomfunktionen f und g ist bekannt, dass für alle x ∈ ℝ gilt:
g ( x ) = 3 · f ( x ) – 2
Aufgabenstellung:
Welche der nachstehenden Aussagen ist jedenfalls für alle x ∈ ℝ wahr? Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an!
g ′ ( x ) = f ′ ( x )
g ′ ( x ) = f ′ ( x ) – 2
g ′ ( x ) = 3 · f ′ ( x )
g ′ ( x ) = 3 · f ′ ( x ) – 2
g ′ ( x ) = 3 · f ′ ( x ) – 2 · x
g ′ ( x ) = –2 · f ′ ( x )
öffentliches Dokument

19
Aufgabe 15
Graphen von Ableitungsfunktionen
In den unten stehenden Abbildungen sind jeweils die Graphen der Funktionen f , g und h dargestellt.
Aufgabenstellung:
In einer der sechs Abbildungen ist g die erste Ableitung von f und h die zweite Ableitung von f .
Kreuzen Sie diese Abbildung an!
f ( x ), g ( x ), h ( x )
f
g
x
h
f ( x ), g ( x ), h ( x )
f
g
x
h
f ( x ), g ( x ), h ( x )
f
g
x
h
f ( x ), g ( x ), h ( x )
f
g
x
h
f ( x ), g ( x ), h ( x )
f
g
x
h
f ( x ), g ( x ), h ( x )
f
g
x
h
öffentliches Dokument

20
Aufgabe 16
Differenzierbare Funktion
Die nachstehende Abbildung zeigt den Ausschnitt eines Graphen einer Polynomfunktion f . Die
Tangentensteigung an der Stelle x = 6 ist maximal.
x
f ( x )
f
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden für die gegebene Funktion f zutreffenden Aussagen an!
f ″ (6) = 0
f ″ (11) < 0
f ″ (2) < f ″ (10)
f ′ (6) = 0
f ′ (7) < f ′ (10)
öffentliches Dokument

21
Aufgabe 17
Integral
Gegeben ist das bestimmte Integral I =
∫
a
0
(25 · x
2
+ 3) d x mit a ∈ ℝ
+
.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Ausdrücke an, die für alle a > 0 denselben Wert wie I haben!
25 ·
∫
a
0
x
2
d x +
∫
a
0
3 d x
∫
a
0
25 d x ·
∫
a
0
x
2
d x +
∫
a
0
3 d x
∫
a
0
25 · x
2
d x + 3
25 · a
3
3
+ 3 · a
50 · a
öffentliches Dokument

22
Aufgabe 18
Halbierung einer Fläche
Gegeben ist die reelle Funktion f mit f ( x ) = x
2
.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Stelle b so, dass die Fläche zwischen der x -Achse und dem Graphen der
Funktion f im Intervall [2; 4] in zwei gleich große Flächen A
1
und A
2
geteilt wird (siehe Abbildung)!
f ( x )
x
f
A
1
A
2
2 4 b
öffentliches Dokument

23
Aufgabe 19
Verurteilungen Jugendlicher
Jugendliche sind laut Jugendschutzgesetz 1988 (Fassung vom 23.3.2016) Personen, die das
14. Lebensjahr, aber noch nicht das 18. Lebensjahr vollendet haben. Die nachstehende Grafik
zeigt für den Zeitraum von 1950 bis 2010 sowohl die absolute Anzahl der Verurteilungen Jugendlicher als auch die Anzahl der Verurteilungen Jugendlicher bezogen auf 100 000 Jugendliche.
10 000
5 000
1950
Quelle: Statistik Austria
Verurteilungen
absolut
Verurteilungen
je 100 000
Jugendliche
’60 ’70 ’80 ’90 ’00 2010
0
3 063
792
Datenquelle: http://derstandard.at/1371171382188/Jugendkriminalitaet-auf-Rekordtief [04.07.2013].
Aufgabenstellung:
Wie viele Jugendliche insgesamt gab es in Österreich in etwa im Jahr 2010?
Kreuzen Sie die zutreffende Anzahl an!
792 000
3 063 000
3 863 000
387 000
258 000
2 580 000
öffentliches Dokument

24
Aufgabe 20
Wahrscheinlichkeit für eine Mädchengeburt
Im Jahr 2014 wurden in Österreich 42 162 Buben und 39 560 Mädchen geboren.
Aufgabenstellung:
Geben Sie anhand dieser Daten einen Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit an, dass ein in
Österreich geborenes Kind ein Mädchen ist!
öffentliches Dokument

25
Aufgabe 21
Einlasskontrolle
Beim Einlass zu einer Sportveranstaltung führt eine Person P einen unerlaubten Gegenstand mit
sich. Bei einer Sicherheitskontrolle wird ein unerlaubter Gegenstand mit einer Wahrscheinlichkeit
von 0,9 entdeckt. Da es sich bei dieser Sportveranstaltung um eine Veranstaltung mit besonders
hohem Risiko handelt, muss jede Person zwei derartige voneinander unabhängige Sicherheitskontrollen durchlaufen.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Person P im Zuge der beiden Sicherheitskontrollen der unerlaubte Gegenstand entdeckt wird!
öffentliches Dokument

26
Aufgabe 22
Zufallsvariable
Nachstehend sind die sechs Seitenflächen eines fairen Spielwürfels abgebildet. Auf jeder Seiten fläche sind drei Symbole dargestellt. (Ein Würfel ist „fair“, wenn die Wahrscheinlichkeit, nach
einem Wurf nach oben zu zeigen, für alle sechs Seitenflächen gleich groß ist.)
Aufgabenstellung:
Bei einem Zufallsversuch wird der Würfel einmal geworfen. Die Zufallsvariable X beschreibt die
Anzahl der Sterne auf der nach oben zeigenden Seitenfläche.
Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X an, d. h. die möglichen Werte von X samt zugehöriger Wahrscheinlichkeiten!
öffentliches Dokument

27
Aufgabe 23
Parameter einer Binomialverteilung
Ein Zufallsexperiment wird durch eine binomialverteilte Zufallsvariable X beschrieben. Diese hat
die Erfolgswahrscheinlichkeit p = 0,36 und die Standardabweichung σ = 7,2.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den zugehörigen Parameter n (Anzahl der Versuche)!
n =
öffentliches Dokument

28
Aufgabe 24
500-Euro-Scheine in Österreich
Bei einer repräsentativen Umfrage in Österreich geht es um die in Diskussion stehende Abschaffung der 500-Euro-Scheine. Es sprechen sich 234 von 1 000 Befragten für eine Abschaffung aus.
Aufgabenstellung:
Geben Sie ein symmetrisches 95-%-Konfidenzintervall für den relativen Anteil der Österreicherinnen und Österreicher, die eine Abschaffung der 500-Euro-Scheine in Österreich befürworten, an!
öffentliches Dokument