Mathematik-Matura Mai 2016 · HTL Cluster T2 – Lösungen

BHS
10. Mai 2016
Angewandte Mathematik
Teil A + Teil B (Cluster 2)
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung
öffentliches Dokument

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Korrektur- und Beurteilungsanleitung
zur standardisierten schriftlichen Reife- und Diplomprüfung
in Angewandter Mathematik
(Detaillierte Informationen dazu finden Sie für den BHS-Bereich im Erlass mit der Geschäftszahl
BMBF-17.100/0006-II/2015 des Bundesministeriums für Bildung und Frauen.)
Kompetenzbereiche
Im Beurteilungsmodell für die Angewandte Mathematik wird zwischen zwei Kompetenzbereichen
unterschieden:
n Kompetenzbereich A ( KA ) umfasst die unabhängig
1
erreichbaren Punkte der Komplexitätsstufen 1 und 2 aus dem Kompetenzstufenraster.
n Kompetenzbereich B ( KB ) umfasst die abhängig erreichbaren Punkte und die Punkte der
Komplexitätsstufen 3 und 4 aus dem Kompetenzstufenraster.
Die Summe der unabhängig erreichbaren Punkte aus den Komplexitätsstufen 1 und 2 ( KA ) stellt die
„wesentlichen Bereiche“ eines Klausurheftes dar.
Beurteilung
Als Hilfsmittel für die Beurteilung wird ein auf ein Punktesystem basierender Beurteilungsschlüssel angegeben. Je nach gewichteter Schwierigkeit der vergebenen Punkte in den „wesentlichen
Bereichen“ wird festgelegt, ab wann die „wesentlichen Bereiche überwiegend“ (Genügend) erfüllt
sind, d. h., gemäß einem Punkteschema müssen Punkte aus dem Kompetenzbereich A unter Einbeziehung von Punkten aus dem Kompetenzbereich B in ausreichender Anzahl abhängig von der
Zusammenstellung der Klausurhefte gelöst werden. Darauf aufbauend wird die für die übrigen Notenstufen zu erreichende Punktezahl festgelegt.
Nach der Punkteermittlung soll die Arbeit der Kandidatin / des Kandidaten nochmals ganzheitlich
qualitativ betrachtet werden. Unter Zuhilfenahme des Punkteschemas und der ganzheitlichen Betrachtung ist von der Prüferin / vom Prüfer ein verbal begründeter Beurteilungsvorschlag zu erstellen,
wobei die Ergebnisse der Kompetenzbereiche A und B in der Argumentation zu verwenden sind.
Beurteilungsschlüssel für die vorliegende Klausur:
44–49 Punkte Sehr gut
38–43 Punkte Gut
32–37 Punkte Befriedigend
22–31 Punkte Genügend
0–21 Punkte Nicht genügend
1
Unabhängige Punkte sind solche, für die keine mathematische Vorleistung erbracht werden muss. Als mathematische Vorleistung gilt z. B. das Aufstellen einer Gleichung (unabhängiger Punkt) mit anschließender Berechnung (abhängiger Punkt).
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Handreichung zur Korrektur
der standardisierten schriftlichen Reife- und Diplomprüfung
in Angewandter Mathematik
1. In der Lösungserwartung ist nur ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen.
2. Der Lösungsschlüssel ist verbindlich anzuwenden unter Beachtung folgender Vorgangsweisen:
a. Punkte sind nur zu vergeben, wenn die abgefragte Handlungskompetenz in der Bearbeitung vollständig erfüllt ist.
b. Berechnungen ohne nachvollziehbaren Rechenansatz bzw. ohne nachvollziehbare Dokumentation des Technologieeinsatzes (verwendete Ausgangsparameter und die verwendete
Technologiefunktion müssen angegeben sein) sind mit null Punkten zu bewerten.
c. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen bzw. Lösungswege von der Kandidatin / vom
Kandidaten angeboten und nicht alle diese Lösungen bzw. Lösungswege sind korrekt, so
ist diese Teilaufgabe mit null Punkten zu bewerten.
d. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Das heißt zum Beispiel :
Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu vergeben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht vereinfacht.
e. Werden von der Kandidatin / vom Kandidaten kombinierte Handlungsanweisungen in einem
Lösungsschritt erbracht, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der Lösungsschlüssel
Einzelschritte vorgibt.
f. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als solche
identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner Vereinfachung
der Aufgabenstellung führen.
g. Rundungsfehler können vernachlässigt werden, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert ist.
h. Jedes Diagramm bzw. jede Skizze, die Lösung einer Handlungsanweisung ist, muss eine
qualitative Achsenbeschriftung enthalten, andernfalls ist dies mit null Punkten zu bewerten.
i. Die Angabe von Einheiten kann bei der Punktevergabe vernachlässigt werden, sofern sie im
Lösungsschlüssel nicht explizit eingefordert wird.
3. Sind Sie sich als Korrektor/in über die Punktevergabe nicht schlüssig, können Sie eine Korrekturanfrage an das BIFIE (via Telefon-Hotline oder Online-Helpdesk) stellen.
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Aufgabe 1
Gondelbahn auf den Untersberg
Möglicher Lösungsweg
a) Die mittlere Steigung des Tragseils der Gondelbahn auf den Untersberg beträgt rund 0,52.
b) Steigung: k =
1 382 – 1 148
1 712 – 1 385
= 0,7155…
Steigungswinkel: α = arctan( k ) = 35,58…° ≈ 35,6°
Der Steigungswinkel des Seilverlaufs in diesem Abschnitt ist kleiner als 40°.
c) Gleichungssystem:
I . 456 = a · 0
2
+ b · 0 + c
II . 740 = a · 740
2
+ b · 740 + c
III . 1 148 = a · 1 385
2
+ b · 1 385 + c
Lösen dieses Gleichungssystems mittels Technologieeinsatz:
a = 0,0001796… ≈ 0,000180
b = 0,2508… ≈ 0,251
c = 456
Lösungsschlüssel
a) 1 × C: für die richtige Beschreibung im gegebenen Sachzusammenhang (KA)
b) 1 × D: für die richtige Überprüfung (KA)
c) 1 × A: für das richtige Aufstellen des Gleichungssystems (KA)
1 × B: für das richtige Ermitteln der Koeffizienten (KB)
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Aufgabe 2
Klimawandel und Ozon
Möglicher Lösungsweg
a)
μ Temperatur
b) 1 – 0,9917 = 0,0083
Die Ozonmenge pro Quadratmeter nimmt jährlich um 0,83 % ab.
Zur berechneten Zeit t hat sich die Ozonmenge pro Quadratmeter halbiert (Halbwertszeit).
Lösungsschlüssel
a) 1 × A1: für die richtige Darstellung der Erhöhung des Erwartungswertes
(Maximumstelle weiter rechts) (KA)
1 × A2: für die richtige Darstellung der Erhöhung der Standardabweichung
(Maximalwert niedriger und Kurve breiter) (KB)
b) 1 × C1: für das richtige Ermitteln der jährlichen Abnahme in Prozent (KA)
1 × C2: für die richtige Beschreibung im gegebenen Sachzusammenhang (KA)
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Aufgabe 3
Section-Control
Möglicher Lösungsweg
a) s = 6 km
v 1 = 60 km/h: t 1 =
s
v 1
= 0,1 h
v 2 = 66 km/h: t 2 =
s
v 2
= 0,09 h
90 % von 0,1 h sind exakt 0,09 h. Das ist weniger als t 2 .
b)
–
v =
Δ s
Δ t
=
1 000 m
70 s
= 14,285... m/s ≈ 14,29 m/s
Die Fahrzeit für die erste Weghälfte beträgt 70 Sekunden. Die Fahrzeit für die zweite Weghälfte beträgt nur 40 Sekunden. Daher ist die mittlere Geschwindigkeit auf der ersten Weghälfte geringer.
c) Der Flächeninhalt des Trapezes entspricht dem zurückgelegten Weg: s =
v A + v E
2
· t .
v A = 2 ∙
s
t
– v E
Lösungsschlüssel
a) 1 × D: für einen richtigen Nachweis (KA)
b) 1 × B: für das richtige Ermitteln der mittleren Geschwindigkeit auf der ersten Weghälfte (KA)
1 × D: für eine richtige Argumentation (KB)
c) 1 × A: für das richtige Erstellen der Formel (KB)
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Aufgabe 4
Blutkreislauf
Möglicher Lösungsweg
a) Umwandlung: 5 L = 5 · 10
6
mm
3
Blutzellen in 5 · 10
6
mm
3
: 25 · 10
12
+ 15 · 10
11
+ 3 · 10
10
= 2,653 · 10
13
Anzahl der Blutzellen pro mm
3
:
2,653 · 10
13
5 · 10
6 = 5,306 · 10
6
In 1 Kubikmillimeter Blut befinden sich rund 5,3 Millionen Blutzellen.
b) P ( t ) = k · t + d
t … Alter in Jahren
P ( t ) … Pumpleistung des Herzens im Alter t in Litern pro Minute
k = –
2,5
50
= –0,05
d = 5 – (–0,05) · 20 = 6
P ( t ) = –0,05 · t + 6
Pro Lebensjahr nimmt die Pumpleistung des Herzens um 0,05 Liter pro Minute ab.
c)
v ( x ) in m/s
v
max
x in m
R 0
0
v
Lösungsschlüssel
a) 1 × B1: für die richtige Umwandlung von 5 Litern in mm
3
(KA)
1 × B2: für die richtige Berechnung der Anzahl der Blutzellen pro mm
3
(KB)
b) 1 × A: für das richtige Aufstellen der Funktionsgleichung (KA)
1 × C: für die richtige Interpretation des Wertes der Steigung im gegebenen Sachzusammenhang (KB)
c) 1 × A: für das richtige Skizzieren des Funktionsgraphen (Graph einer nach unten offenen
quadratischen Funktion mit den richtigen Funktionswerten an den Stellen 0 und R ) (KB)
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Aufgabe 5
Batterien
Möglicher Lösungsweg
a) Binomialverteilung: n = 40, p = 0,02
Berechnung mittels Technologieeinsatz: P ( X ≤ 2) = 0,95432… ≈ 95,43 %
b) Der angegebene Ausdruck gibt den Erwartungswert für die Anzahl der defekten Batterien in
dieser Lieferung an.
c) Berechnung des Intervalls mittels Technologieeinsatz:
P ( μ – a ≤ X ≤ μ + a ) = 0,9 ⇒ [5 063,4; 5 576,6]
Lebensdauer in Betriebsstunden
5 800 5 600 5 400 5 200 5 000 4 800 6 000
Lösungsschlüssel
a) 1 × B: für die richtige Berechnung der Wahrscheinlichkeit (KA)
b) 1 × C: für die richtige Beschreibung der Bedeutung in diesem Sachzusammenhang (KB)
c) 1 × B: für die richtige Berechnung des Intervalls (KA)
1 × A: für das richtige Veranschaulichen der Wahrscheinlichkeit (KA)
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Aufgabe 6
Am Fluss
Möglicher Lösungsweg
a) f ″ ( x ) = –
3
4
∙ x +
3
2
0 = –
3
4
∙ x +
3
2
⇒ x = 2
An der Stelle x = 2 steigt das Querschnittsprofil auf der Ostseite am stärksten an.
x in m
f ( x ) in m
Ostseite Westseite
0 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 5 6
–2
–1
5
0
4
3
2
1
6
f
b) CD = AB ∙ (tan( β ) – tan( α ))
CD = 26,1… m ≈ 26 m
Lösungsschlüssel
a) 1 × B: für die richtige Berechnung der Wendestelle der Funktion f
(In der Grafik ist klar zu erkennen, dass der Anstieg des Querschnittsprofils an der
Ostseite an der Wendestelle am stärksten ist. Eine rechnerische Überprüfung des Steigungsverhaltens der Funktion an der berechneten Stelle sowie eine Überprüfung der
Randstellen sind daher nicht erforderlich.) (KB)
1 × C: für das richtige Kennzeichnen der Fläche (KA)
b) 1 × B: für die richtige Berechnung der Streckenlänge CD (KA)
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Aufgabe 7 (Teil B)
Förderbänder
Möglicher Lösungsweg
a) s ′ (0) ist die Geschwindigkeit des Werkstücks zum Zeitpunkt t = 0 s.
s ″ ( t ) = 6,4 · ℯ
−4· t
– 0,1 · ℯ
− t
s ″ ( t ) = 0 ⇒ t = ln(4)
s ′ (ln(4)) = 0,01875
Die Geschwindigkeit beträgt 0,01875 m/s.
b) A =
∫
3
1
a ( t ) d t
Dieser Flächeninhalt entspricht der Zunahme der Geschwindigkeit zwischen t = 1 s und t = 3 s.
c) Anwendung von Faktorregel und Kettenregel
oder:
Multiplikation des Faktors 1,3 mit der inneren Ableitung
Lösungsschlüssel
a) 1 × C: für die richtige Beschreibung im gegebenen Sachzusammenhang (KA)
1 × A: für die richtige Modellbildung zur Berechnung der Geschwindigkeit (z. B. über die Nullstelle der 2. Ableitung oder einen grafischen Lösungsansatz) (KA)
1 × B: für das richtige Bestimmen der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt mit Beschleunigung null
(KB)
b) 1 × A: für das richtige Erstellen der Formel (KA)
1 × C: für die richtige Interpretation des Flächeninhalts im gegebenen Sachzusammenhang (KA)
c) 1 × C: für das richtige Angeben der beiden Ableitungsregeln oder die richtige Beschreibung (KA)
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Aufgabe 8 (Teil B)
Atemvolumen
Möglicher Lösungsweg
a) A = 3 – 2,75 = 0,25
ω =
2π
4
=
π
2
V (0) = 3 + 0,25 · sin( ω · 0 + φ )
sin( ω · 0 + φ ) = –1 ⇒ φ = –
π
2
Der Beginn des Einatemvorgangs könnte auch mit t ≠ 0 angesetzt werden. Die diesem Ansatz
entsprechende Lösung für φ ist dann als richtig zu werten.
b) V ( t ) =
∫
(0,4 ∙ sin(1,6 ∙ t )) d t
V ( t ) = – 0,25 ∙ cos(1,6 ∙ t ) + C
V (0) = 2,4 ⇒ 2,4 = – 0,25 + C ⇒ C = 2,65
V ( t ) = – 0,25 ∙ cos(1,6 ∙ t ) + 2,65
c)
0 3 2,5 2 1,5 1 0,5 3,5
t in s
0
–0,1
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,6
V ′ ( t ) in L/s
Ermitteln der Ausgleichsfunktion mittels Technologieeinsatz:
V ′ ( t ) = – 0,22 ∙ t
2
+ 0,67 ∙ t + 0,018
Es handelt sich um eine Einatmungsphase, weil die momentane Änderungsrate des Atem volumens im betrachteten Intervall immer positiv ist.
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Lösungsschlüssel
a) 1 × C: für das richtige Angeben des Parameters A (KA)
1 × A1: für das richtige Angeben des Parameters ω (KA)
1 × A2: für das richtige Angeben des Parameters φ (KB)
Der Beginn des Einatemvorgangs könnte auch mit t ≠ 0 angesetzt werden. Die diesem Ansatz entsprechende Lösung für φ ist dann als richtig zu werten.
b) 1 × A: für eine richtige Modellbildung (unbestimmtes Integral) (KA)
1 × B: für das richtige Ermitteln der Funktion unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung (KB)
c) 1 × B1: für die richtige Darstellung der Messpunkte (KA)
1 × B2: für das richtige Ermitteln der quadratischen Ausgleichsfunktion (KA)
1 × D: für die richtige Begründung (KB)
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Aufgabe 9 (Teil B)
Kondensatoren
Möglicher Lösungsweg
a)
d uC ( t )
d t
= –
U
0
τ
∙ ℯ
–
t
τ
g ( t ) = k · t + d
k =
d uC ( t = τ )
d t
= –
U
0
τ ∙ ℯ
uC ( τ ) =
U
0
ℯ
U
0
ℯ
= –
U
0
τ ∙ ℯ
∙ τ + d ⇒ d =
2 ∙ U
0
ℯ
g ( t ) = –
U
0
τ ∙ ℯ
∙ t +
2 ∙ U
0
ℯ
0 = –
U
0
τ ∙ ℯ
∙ t +
2 ∙ U
0
ℯ
⇒ t = 2 · τ
b)
i
C
( t )
t
t
0
U
0
R
i
C
q ( t
0
)
q ( R ∙ C ) =
∫
R · C
0
iC ( t ) d t = – C ∙ U 0 ∙ ℯ
–1
+ C ∙ U 0 = U 0 ∙ C ∙ (1 – ℯ
–1
)
c) G ( ω ) =
Z C
Z
gesamt
=
R +
1
j · ω · C
1
j · ω · C
=
R · j · ω · C + 1
j · ω · C
1
j · ω · C
=
1
1 + j · ω · R · C
G ( ω ) =
1
1 + j · ω · R · C
=
1
1 + ( ω · R · C )
2 – j ·
ω · R · C
1 + ( ω · R · C )
2
Da der Realteil positiv und der Imaginärteil für ω > 0 stets negativ ist, muss auch arg( G ( ω ))
negativ sein.
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d)
d uC
U
0
– uC
=
1
τ
d t
(
oder:
uC ′
U
0
– uC
=
1
τ
)
–ln| U 0 – uC | =
1
τ
∙ t + K 1
allgemeine Lösung der Differenzialgleichung: uC ( t ) = U 0 – K ∙ ℯ
–
t
τ
Einsetzen der Anfangsbedingung: uC (0) = 2
2 = U 0 – K ⇒ K = U 0 – 2
spezielle Lösung der Differenzialgleichung: uC ( t ) = U 0 – ( U 0 – 2) ∙ ℯ
–
t
τ
d uC ( t )
d t
= ( U 0 – 2) ∙
1
τ
∙ ℯ
–
t
τ
1
τ
∙ ℯ
–
t
τ
ist für τ > 0 stets positiv.
( U 0 – 2) ist für 0 < U 0 < 2 negativ ⇒
d uC ( t )
d t
< 0 ⇒ uC streng monoton fallend.
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für den richtigen Ansatz zur Linearisierung der Funktion (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung der Tangentengleichung (KB)
1 × D: für den richtigen Nachweis (KB)
b) 1 × A1: für das richtige Skizzieren des Funktionsverlaufs (KA)
1 × A2: für das richtige Veranschaulichen von q ( t 0 ) (KB)
1 × B: für das richtige Ermitteln von q ( τ ) (KA)
c) 1 × D1: für den richtigen Nachweis (KA)
1 × D2: für eine richtige mathematische Argumentation
(Auch eine Argumentation mithilfe der Polarform von Zähler und Nenner oder des
Kehrwerts einer komplexen Zahl ist zulässig.) (KA)
d) 1 × B1: für den richtigen rechnerischen Nachweis zur allgemeinen Lösung der Differenzial gleichung (KA)
1 × B2: für die richtige Berechnung der speziellen Lösung der Differenzialgleichung (KA)
1 × D: für eine richtige Begründung (Auch eine richtige Argumentation mithilfe der Funktion uC
ist zulässig.) (KB)
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