Mathematik-Matura Mai 2016 · HTL Cluster T1 – Lösungen

BHS
10. Mai 2016
Angewandte Mathematik
Teil A + Teil B (Cluster 1)
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung
öffentliches Dokument

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Korrektur- und Beurteilungsanleitung
zur standardisierten schriftlichen Reife- und Diplomprüfung
in Angewandter Mathematik
(Detaillierte Informationen dazu finden Sie für den BHS-Bereich im Erlass mit der Geschäftszahl
BMBF-17.100/0006-II/2015 des Bundesministeriums für Bildung und Frauen.)
Kompetenzbereiche
Im Beurteilungsmodell für die Angewandte Mathematik wird zwischen zwei Kompetenzbereichen
unterschieden:
n Kompetenzbereich A ( KA ) umfasst die unabhängig
1
erreichbaren Punkte der Komplexitätsstufen 1 und 2 aus dem Kompetenzstufenraster.
n Kompetenzbereich B ( KB ) umfasst die abhängig erreichbaren Punkte und die Punkte der
Komplexitätsstufen 3 und 4 aus dem Kompetenzstufenraster.
Die Summe der unabhängig erreichbaren Punkte aus den Komplexitätsstufen 1 und 2 ( KA ) stellt die
„wesentlichen Bereiche“ eines Klausurheftes dar.
Beurteilung
Als Hilfsmittel für die Beurteilung wird ein auf ein Punktesystem basierender Beurteilungsschlüssel angegeben. Je nach gewichteter Schwierigkeit der vergebenen Punkte in den „wesentlichen
Bereichen“ wird festgelegt, ab wann die „wesentlichen Bereiche überwiegend“ (Genügend) erfüllt
sind, d. h., gemäß einem Punkteschema müssen Punkte aus dem Kompetenzbereich A unter Einbeziehung von Punkten aus dem Kompetenzbereich B in ausreichender Anzahl abhängig von der
Zusammenstellung der Klausurhefte gelöst werden. Darauf aufbauend wird die für die übrigen Notenstufen zu erreichende Punktezahl festgelegt.
Nach der Punkteermittlung soll die Arbeit der Kandidatin / des Kandidaten nochmals ganzheitlich
qualitativ betrachtet werden. Unter Zuhilfenahme des Punkteschemas und der ganzheitlichen Betrachtung ist von der Prüferin / vom Prüfer ein verbal begründeter Beurteilungsvorschlag zu erstellen,
wobei die Ergebnisse der Kompetenzbereiche A und B in der Argumentation zu verwenden sind.
Beurteilungsschlüssel für die vorliegende Klausur:
44–49 Punkte Sehr gut
38–43 Punkte Gut
32–37 Punkte Befriedigend
22–31 Punkte Genügend
0–21 Punkte Nicht genügend
1
Unabhängige Punkte sind solche, für die keine mathematische Vorleistung erbracht werden muss. Als mathematische Vorleistung gilt z. B. das Aufstellen einer Gleichung (unabhängiger Punkt) mit anschließender Berechnung (abhängiger Punkt).
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Handreichung zur Korrektur
der standardisierten schriftlichen Reife- und Diplomprüfung
in Angewandter Mathematik
1. In der Lösungserwartung ist nur ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen.
2. Der Lösungsschlüssel ist verbindlich anzuwenden unter Beachtung folgender Vorgangsweisen:
a. Punkte sind nur zu vergeben, wenn die abgefragte Handlungskompetenz in der Bearbeitung vollständig erfüllt ist.
b. Berechnungen ohne nachvollziehbaren Rechenansatz bzw. ohne nachvollziehbare Dokumentation des Technologieeinsatzes (verwendete Ausgangsparameter und die verwendete
Technologiefunktion müssen angegeben sein) sind mit null Punkten zu bewerten.
c. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen bzw. Lösungswege von der Kandidatin / vom
Kandidaten angeboten und nicht alle diese Lösungen bzw. Lösungswege sind korrekt, so
ist diese Teilaufgabe mit null Punkten zu bewerten.
d. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Das heißt zum Beispiel :
Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu vergeben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht vereinfacht.
e. Werden von der Kandidatin / vom Kandidaten kombinierte Handlungsanweisungen in einem
Lösungsschritt erbracht, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der Lösungsschlüssel
Einzelschritte vorgibt.
f. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als solche
identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner Vereinfachung
der Aufgabenstellung führen.
g. Rundungsfehler können vernachlässigt werden, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert ist.
h. Jedes Diagramm bzw. jede Skizze, die Lösung einer Handlungsanweisung ist, muss eine
qualitative Achsenbeschriftung enthalten, andernfalls ist dies mit null Punkten zu bewerten.
i. Die Angabe von Einheiten kann bei der Punktevergabe vernachlässigt werden, sofern sie im
Lösungsschlüssel nicht explizit eingefordert wird.
3. Sind Sie sich als Korrektor/in über die Punktevergabe nicht schlüssig, können Sie eine Korrekturanfrage an das BIFIE (via Telefon-Hotline oder Online-Helpdesk) stellen.
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Aufgabe 1
Gondelbahn auf den Untersberg
Möglicher Lösungsweg
a) Die mittlere Steigung des Tragseils der Gondelbahn auf den Untersberg beträgt rund 0,52.
b) Steigung: k =
1 382 – 1 148
1 712 – 1 385
= 0,7155…
Steigungswinkel: α = arctan( k ) = 35,58…° ≈ 35,6°
Der Steigungswinkel des Seilverlaufs in diesem Abschnitt ist kleiner als 40°.
c) Gleichungssystem:
I . 456 = a · 0
2
+ b · 0 + c
II . 740 = a · 740
2
+ b · 740 + c
III . 1 148 = a · 1 385
2
+ b · 1 385 + c
Lösen dieses Gleichungssystems mittels Technologieeinsatz:
a = 0,0001796… ≈ 0,000180
b = 0,2508… ≈ 0,251
c = 456
Lösungsschlüssel
a) 1 × C: für die richtige Beschreibung im gegebenen Sachzusammenhang (KA)
b) 1 × D: für die richtige Überprüfung (KA)
c) 1 × A: für das richtige Aufstellen des Gleichungssystems (KA)
1 × B: für das richtige Ermitteln der Koeffizienten (KB)
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Aufgabe 2
Klimawandel und Ozon
Möglicher Lösungsweg
a)
μ Temperatur
b) 1 – 0,9917 = 0,0083
Die Ozonmenge pro Quadratmeter nimmt jährlich um 0,83 % ab.
Zur berechneten Zeit t hat sich die Ozonmenge pro Quadratmeter halbiert (Halbwertszeit).
Lösungsschlüssel
a) 1 × A1: für die richtige Darstellung der Erhöhung des Erwartungswertes
(Maximumstelle weiter rechts) (KA)
1 × A2: für die richtige Darstellung der Erhöhung der Standardabweichung
(Maximalwert niedriger und Kurve breiter) (KB)
b) 1 × C1: für das richtige Ermitteln der jährlichen Abnahme in Prozent (KA)
1 × C2: für die richtige Beschreibung im gegebenen Sachzusammenhang (KA)
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Aufgabe 3
Section-Control
Möglicher Lösungsweg
a) s = 6 km
v 1 = 60 km/h: t 1 =
s
v 1
= 0,1 h
v 2 = 66 km/h: t 2 =
s
v 2
= 0,09 h
90 % von 0,1 h sind exakt 0,09 h. Das ist weniger als t 2 .
b)
–
v =
Δ s
Δ t
=
1 000 m
70 s
= 14,285... m/s ≈ 14,29 m/s
Die Fahrzeit für die erste Weghälfte beträgt 70 Sekunden. Die Fahrzeit für die zweite Weghälfte beträgt nur 40 Sekunden. Daher ist die mittlere Geschwindigkeit auf der ersten Weghälfte geringer.
c) Der Flächeninhalt des Trapezes entspricht dem zurückgelegten Weg: s =
v A + v E
2
· t .
v A = 2 ∙
s
t
– v E
Lösungsschlüssel
a) 1 × D: für einen richtigen Nachweis (KA)
b) 1 × B: für das richtige Ermitteln der mittleren Geschwindigkeit auf der ersten Weghälfte (KA)
1 × D: für eine richtige Argumentation (KB)
c) 1 × A: für das richtige Erstellen der Formel (KB)
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Aufgabe 4
Blutkreislauf
Möglicher Lösungsweg
a) Umwandlung: 5 L = 5 · 10
6
mm
3
Blutzellen in 5 · 10
6
mm
3
: 25 · 10
12
+ 15 · 10
11
+ 3 · 10
10
= 2,653 · 10
13
Anzahl der Blutzellen pro mm
3
:
2,653 · 10
13
5 · 10
6 = 5,306 · 10
6
In 1 Kubikmillimeter Blut befinden sich rund 5,3 Millionen Blutzellen.
b) P ( t ) = k · t + d
t … Alter in Jahren
P ( t ) … Pumpleistung des Herzens im Alter t in Litern pro Minute
k = –
2,5
50
= –0,05
d = 5 – (–0,05) · 20 = 6
P ( t ) = –0,05 · t + 6
Pro Lebensjahr nimmt die Pumpleistung des Herzens um 0,05 Liter pro Minute ab.
c)
v ( x ) in m/s
v
max
x in m
R 0
0
v
Lösungsschlüssel
a) 1 × B1: für die richtige Umwandlung von 5 Litern in mm
3
(KA)
1 × B2: für die richtige Berechnung der Anzahl der Blutzellen pro mm
3
(KB)
b) 1 × A: für das richtige Aufstellen der Funktionsgleichung (KA)
1 × C: für die richtige Interpretation des Wertes der Steigung im gegebenen Sachzusammenhang (KB)
c) 1 × A: für das richtige Skizzieren des Funktionsgraphen (Graph einer nach unten offenen
quadratischen Funktion mit den richtigen Funktionswerten an den Stellen 0 und R ) (KB)
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Aufgabe 5
Batterien
Möglicher Lösungsweg
a) Binomialverteilung: n = 40, p = 0,02
Berechnung mittels Technologieeinsatz: P ( X ≤ 2) = 0,95432… ≈ 95,43 %
b) Der angegebene Ausdruck gibt den Erwartungswert für die Anzahl der defekten Batterien in
dieser Lieferung an.
c) Berechnung des Intervalls mittels Technologieeinsatz:
P ( μ – a ≤ X ≤ μ + a ) = 0,9 ⇒ [5 063,4; 5 576,6]
Lebensdauer in Betriebsstunden
5 800 5 600 5 400 5 200 5 000 4 800 6 000
Lösungsschlüssel
a) 1 × B: für die richtige Berechnung der Wahrscheinlichkeit (KA)
b) 1 × C: für die richtige Beschreibung der Bedeutung in diesem Sachzusammenhang (KB)
c) 1 × B: für die richtige Berechnung des Intervalls (KA)
1 × A: für das richtige Veranschaulichen der Wahrscheinlichkeit (KA)
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Aufgabe 6
Am Fluss
Möglicher Lösungsweg
a) f ″ ( x ) = –
3
4
∙ x +
3
2
0 = –
3
4
∙ x +
3
2
⇒ x = 2
An der Stelle x = 2 steigt das Querschnittsprofil auf der Ostseite am stärksten an.
x in m
f ( x ) in m
Ostseite Westseite
0 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 5 6
–2
–1
5
0
4
3
2
1
6
f
b) CD = AB ∙ (tan( β ) – tan( α ))
CD = 26,1… m ≈ 26 m
Lösungsschlüssel
a) 1 × B: für die richtige Berechnung der Wendestelle der Funktion f
(In der Grafik ist klar zu erkennen, dass der Anstieg des Querschnittsprofils an der
Ostseite an der Wendestelle am stärksten ist. Eine rechnerische Überprüfung des Steigungsverhaltens der Funktion an der berechneten Stelle sowie eine Überprüfung der
Randstellen sind daher nicht erforderlich.) (KB)
1 × C: für das richtige Kennzeichnen der Fläche (KA)
b) 1 × B: für die richtige Berechnung der Streckenlänge CD (KA)
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Aufgabe 7 (Teil B)
Grußkarte
Möglicher Lösungsweg
a) f (0) = 13
f (2) = 16
f (4,36) = 15,1
f (9,42) = 20,35
f ′ (9,42) = 0
Lösung dieses Gleichungssystems mittels Technologieeinsatz:
a = –0,012... ≈ – 0,01
b = 0,266... ≈ 0,27
c = –1,722... ≈ – 1,72
d = 3,981... ≈ 3,98
e = 13
b) A =
20,35 + 13
2
∙ 9,42 + 20,35 · 9,42 = 348,7755
Der näherungsweise berechnete Flächeninhalt der Grußkarte beträgt rund 348,78 cm
2
.
|
348,7755 – 346,85
346,85
| = 0,005551... ≈ 0,00555
c) Gewinnbereich in ME: [450; 2 000]
Toleranzbereich für die Intervallgrenzen: ± 50 ME
Die Differenz zwischen E ( x ) und K ( x ) ist der jeweilige Gewinn an der Stelle x . Bei 1 200 ME ist
diese Differenz wesentlich größer als bei 600 ME.
Lösungsschlüssel
a) 1 × A1: für das richtige Aufstellen der Gleichungen mithilfe der Koordinaten der Punkte (KA)
1 × A2: für das richtige Aufstellen der Gleichung mithilfe der 1. Ableitung (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung der Koeffizienten (KB)
b) 1 × B1: für die richtige näherungsweise Berechnung des Flächeninhalts der Grußkarte (KA)
1 × B2: für die richtige Berechnung des Betrags des relativen Fehlers (KB)
c) 1 × C: für das richtige Ablesen der Gewinnbereichs
(Toleranzbereich für die Intervallgrenzen: ± 50 ME) (KA)
1 × D: für die richtige Erklärung (KB)
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Aufgabe 8 (Teil B)
LKW-Test
Möglicher Lösungsweg
a) Im Zeitintervall ]7; 10[ fährt der LKW mit konstanter Geschwindigkeit.
s =
7 · 7
2
+ 3 ∙ 7 = 45,5
Der LKW legt in den ersten 10 Sekunden insgesamt 45,5 Meter zurück.
a ( t ) in m/s
2
t in s
17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 18 19
3
2
1
0
Als Ableitungsfunktion ist die Beschleunigung-Zeit-Funktion an den Sprungstellen nicht definiert. Es ist nicht gefordert, diese Definitionslücken zu berücksichtigen.
b) Der Beginn des Bremsvorgangs ist derjenige Zeitpunkt, zu dem die Geschwindigkeit abzunehmen beginnt. Die Geschwindigkeit entspricht der Steigung der Funktion s . Diese nimmt
bis zur Wendestelle zu und anschließend ab.
s ″ ( t ) = –2,625 ∙ sin (
1
4
∙ t – 1,5 )
s ″ ( t ) = 0
1
4
∙ t – 1,5 = 0
Lösung im Intervall 0 ≤ t ≤ 12:
t = 6 s
Lösungsschlüssel
a) 1 × C: für die richtige Interpretation als konstante Geschwindigkeit (KA)
1 × B: für das richtige Bestimmen des zurückgelegten Weges (KA)
1 × A: für das richtige Erstellen des Beschleunigung-Zeit-Diagramms
(Es ist nicht gefordert, die Definitionslücken zu berücksichtigen.) (KA)
b) 1 × D: für die richtige Begründung (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung der Wendestelle (KA)
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Aufgabe 9 (Teil B)
Abbau von Arzneimitteln
Möglicher Lösungsweg
a) Lösung der Gleichung mittels Technologieeinsatz:
m ( t ) = 0
t = 159,9... ≈ 160
Nach etwa 160 Minuten ist der Wirkstoff vollständig abgebaut.
m ′ ( t ) = ℯ
−0,05 · t
– 0,125
Lösung der Gleichung m ′ ( t ) = 0,5 mittels Technologieeinsatz: t = 9,40... ≈ 9,4
Nach etwa 9,4 Minuten beträgt die momentane Änderungsrate der Wirkstoffmenge im Blut
0,5 mg/min.
Da die 2. Ableitung m ″ ( t ) = –0,05 ∙ ℯ
−0,05 · t
eine Exponentialfunktion vom Typ a · ℯ
λ · x
mit a < 0
ist, sind alle Funktionswerte dieser 2. Ableitung negativ. Daher ist die Funktion m im gesamten
Definitionsbereich negativ gekrümmt.
b)
1
8
= (
1
2
)
3
⇒ 120 = 3 · T1/2 ⇒ T1/2 = 40 min
W ( t ) in mg
t in min
100 80 60 40 20 0 120
220
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
240
Die angegebene momentane Änderungsrate ist konstant. Es handelt sich daher um das lineare Modell.
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Lösungsschlüssel
a) 1 × B1: für das richtige Ermitteln desjenigen Zeitpunkts, zu dem der Wirkstoff vollständig abgebaut ist (KA)
1 × B2: für die richtige Berechnung desjenigen Zeitpunkts, zu dem die momentane Änderungsrate der Wirkstoffmenge im Blut 0,5 mg/min beträgt (KA)
1 × D: für die richtige Argumentation (KA)
b) 1 × A1: für das richtige Veranschaulichen des linearen Modells (KA)
1 × B: für das richtige Ermitteln der Halbwertszeit in Minuten (KA)
1 × A2: für das richtige Veranschaulichen des exponentiellen Modells unter Verwendung der
Halbwertszeit (KB)
1 × D: für die richtige Erklärung (KB)
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Aufgabe 10 (Teil B)
Fertigbetonelement mit dreieckiger Grundfläche
Möglicher Lösungsweg
a) a + b + c = 150
c = 2 · a
b = a + 10
Lösung des Gleichungssystems mittels Technologieeinsatz:
a = 35 cm
b = 45 cm
c = 70 cm
Der größte Winkel des Dreiecks γ liegt gegenüber von c :
c
2
= a
2
+ b
2
– 2 · a · b · cos( γ ) ⇒ γ = 121,58…° ≈ 121,6°
b) Die Änderung der Fixkosten entspricht der Addition bzw. Subtraktion einer konstanten Funktion zur Gewinnfunktion. Sie bewirkt eine vertikale Verschiebung des Graphen, wodurch sich
die Maximumstelle nicht verändert.
c)
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10
6
5
4
3
2
1
0
7
K ( x ), E ( x ) in GE
x in ME
K
E
Aus dem Graphen der Erlösfunktion liest man beispielsweise ab, dass 3,5 ME um insgesamt
2 GE verkauft werden. Der Preis pro ME ist daher rund 0,57 GE.
Toleranzbereich: [0,54; 0,60]
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige Erstellen des Gleichungssystems (KA)
1 × B1: für die richtige Berechnung der Seitenlängen (KB)
1 × B2: für die richtige Berechnung des größten Winkels (KB)
b) 1 × D: für eine richtige Erklärung (KA)
c) 1 × A1: für das richtige Einzeichnen des Graphen der Erlösfunktion (KA)
1 × A2: für die richtige Angabe des Preises pro ME im Toleranzbereich [0,54; 0,60] (KB)
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