Mathematik-Matura Mai 2016 · Berufsreifeprüfung – Lösungen

BHS
10. Mai 2016
Angewandte Mathematik
Teil A + Teil B (Cluster 9)
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung
öffentliches Dokument

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Korrektur- und Beurteilungsanleitung
zur standardisierten schriftlichen Reife- und Diplomprüfung
in Angewandter Mathematik
(Detaillierte Informationen dazu finden Sie für den BHS-Bereich im Erlass mit der Geschäftszahl
BMBF-17.100/0006-II/2015 des Bundesministeriums für Bildung und Frauen.)
Kompetenzbereiche
Im Beurteilungsmodell für die Angewandte Mathematik wird zwischen zwei Kompetenzbereichen
unterschieden:
n Kompetenzbereich A ( KA ) umfasst die unabhängig
1
erreichbaren Punkte der Komplexitätsstufen 1 und 2 aus dem Kompetenzstufenraster.
n Kompetenzbereich B ( KB ) umfasst die abhängig erreichbaren Punkte und die Punkte der
Komplexitätsstufen 3 und 4 aus dem Kompetenzstufenraster.
Die Summe der unabhängig erreichbaren Punkte aus den Komplexitätsstufen 1 und 2 ( KA ) stellt die
„wesentlichen Bereiche“ eines Klausurheftes dar.
Beurteilung
Als Hilfsmittel für die Beurteilung wird ein auf ein Punktesystem basierender Beurteilungsschlüssel angegeben. Je nach gewichteter Schwierigkeit der vergebenen Punkte in den „wesentlichen
Bereichen“ wird festgelegt, ab wann die „wesentlichen Bereiche überwiegend“ (Genügend) erfüllt
sind, d. h., gemäß einem Punkteschema müssen Punkte aus dem Kompetenzbereich A unter Einbeziehung von Punkten aus dem Kompetenzbereich B in ausreichender Anzahl abhängig von der
Zusammenstellung der Klausurhefte gelöst werden. Darauf aufbauend wird die für die übrigen Notenstufen zu erreichende Punktezahl festgelegt.
Nach der Punkteermittlung soll die Arbeit der Kandidatin / des Kandidaten nochmals ganzheitlich
qualitativ betrachtet werden. Unter Zuhilfenahme des Punkteschemas und der ganzheitlichen Betrachtung ist von der Prüferin / vom Prüfer ein verbal begründeter Beurteilungsvorschlag zu erstellen,
wobei die Ergebnisse der Kompetenzbereiche A und B in der Argumentation zu verwenden sind.
Beurteilungsschlüssel für die vorliegende Klausur:
43–48 Punkte Sehr gut
37–42 Punkte Gut
30–36 Punkte Befriedigend
22–29 Punkte Genügend
0–21 Punkte Nicht genügend
1
Unabhängige Punkte sind solche, für die keine mathematische Vorleistung erbracht werden muss. Als mathematische Vorleistung gilt z. B. das Aufstellen einer Gleichung (unabhängiger Punkt) mit anschließender Berechnung (abhängiger Punkt).
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Handreichung zur Korrektur
der standardisierten schriftlichen Reife- und Diplomprüfung
in Angewandter Mathematik
1. In der Lösungserwartung ist nur ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen.
2. Der Lösungsschlüssel ist verbindlich anzuwenden unter Beachtung folgender Vorgangsweisen:
a. Punkte sind nur zu vergeben, wenn die abgefragte Handlungskompetenz in der Bearbeitung vollständig erfüllt ist.
b. Berechnungen ohne nachvollziehbaren Rechenansatz bzw. ohne nachvollziehbare Dokumentation des Technologieeinsatzes (verwendete Ausgangsparameter und die verwendete
Technologiefunktion müssen angegeben sein) sind mit null Punkten zu bewerten.
c. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen bzw. Lösungswege von der Kandidatin / vom
Kandidaten angeboten und nicht alle diese Lösungen bzw. Lösungswege sind korrekt, so
ist diese Teilaufgabe mit null Punkten zu bewerten.
d. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Das heißt zum Beispiel :
Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu vergeben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht vereinfacht.
e. Werden von der Kandidatin / vom Kandidaten kombinierte Handlungsanweisungen in einem
Lösungsschritt erbracht, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der Lösungsschlüssel
Einzelschritte vorgibt.
f. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als solche
identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner Vereinfachung
der Aufgabenstellung führen.
g. Rundungsfehler können vernachlässigt werden, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert ist.
h. Jedes Diagramm bzw. jede Skizze, die Lösung einer Handlungsanweisung ist, muss eine
qualitative Achsenbeschriftung enthalten, andernfalls ist dies mit null Punkten zu bewerten.
i. Die Angabe von Einheiten kann bei der Punktevergabe vernachlässigt werden, sofern sie im
Lösungsschlüssel nicht explizit eingefordert wird.
3. Sind Sie sich als Korrektor/in über die Punktevergabe nicht schlüssig, können Sie eine Korrekturanfrage an das BIFIE (via Telefon-Hotline oder Online-Helpdesk) stellen.
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Aufgabe 1
Gondelbahn auf den Untersberg
Möglicher Lösungsweg
a) Die mittlere Steigung des Tragseils der Gondelbahn auf den Untersberg beträgt rund 0,52.
b) Steigung: k =
1 382 – 1 148
1 712 – 1 385
= 0,7155…
Steigungswinkel: α = arctan( k ) = 35,58…° ≈ 35,6°
Der Steigungswinkel des Seilverlaufs in diesem Abschnitt ist kleiner als 40°.
c) Gleichungssystem:
I . 456 = a · 0
2
+ b · 0 + c
II . 740 = a · 740
2
+ b · 740 + c
III . 1 148 = a · 1 385
2
+ b · 1 385 + c
Lösen dieses Gleichungssystems mittels Technologieeinsatz:
a = 0,0001796… ≈ 0,000180
b = 0,2508… ≈ 0,251
c = 456
Lösungsschlüssel
a) 1 × C: für die richtige Beschreibung im gegebenen Sachzusammenhang (KA)
b) 1 × D: für die richtige Überprüfung (KA)
c) 1 × A: für das richtige Aufstellen des Gleichungssystems (KA)
1 × B: für das richtige Ermitteln der Koeffizienten (KB)
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Aufgabe 2
Klimawandel und Ozon
Möglicher Lösungsweg
a)
μ Temperatur
b) 1 – 0,9917 = 0,0083
Die Ozonmenge pro Quadratmeter nimmt jährlich um 0,83 % ab.
Zur berechneten Zeit t hat sich die Ozonmenge pro Quadratmeter halbiert (Halbwertszeit).
Lösungsschlüssel
a) 1 × A1: für die richtige Darstellung der Erhöhung des Erwartungswertes
(Maximumstelle weiter rechts) (KA)
1 × A2: für die richtige Darstellung der Erhöhung der Standardabweichung
(Maximalwert niedriger und Kurve breiter) (KB)
b) 1 × C1: für das richtige Ermitteln der jährlichen Abnahme in Prozent (KA)
1 × C2: für die richtige Beschreibung im gegebenen Sachzusammenhang (KA)
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Aufgabe 3
Section-Control
Möglicher Lösungsweg
a) s = 6 km
v 1 = 60 km/h: t 1 =
s
v 1
= 0,1 h
v 2 = 66 km/h: t 2 =
s
v 2
= 0,09 h
90 % von 0,1 h sind exakt 0,09 h. Das ist weniger als t 2 .
b)
–
v =
Δ s
Δ t
=
1 000 m
70 s
= 14,285... m/s ≈ 14,29 m/s
Die Fahrzeit für die erste Weghälfte beträgt 70 Sekunden. Die Fahrzeit für die zweite Weghälfte beträgt nur 40 Sekunden. Daher ist die mittlere Geschwindigkeit auf der ersten Weghälfte geringer.
c) Der Flächeninhalt des Trapezes entspricht dem zurückgelegten Weg: s =
v A + v E
2
· t .
v A = 2 ∙
s
t
– v E
Lösungsschlüssel
a) 1 × D: für einen richtigen Nachweis (KA)
b) 1 × B: für das richtige Ermitteln der mittleren Geschwindigkeit auf der ersten Weghälfte (KA)
1 × D: für eine richtige Argumentation (KB)
c) 1 × A: für das richtige Erstellen der Formel (KB)
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Aufgabe 4
Blutkreislauf
Möglicher Lösungsweg
a) Umwandlung: 5 L = 5 · 10
6
mm
3
Blutzellen in 5 · 10
6
mm
3
: 25 · 10
12
+ 15 · 10
11
+ 3 · 10
10
= 2,653 · 10
13
Anzahl der Blutzellen pro mm
3
:
2,653 · 10
13
5 · 10
6 = 5,306 · 10
6
In 1 Kubikmillimeter Blut befinden sich rund 5,3 Millionen Blutzellen.
b) P ( t ) = k · t + d
t … Alter in Jahren
P ( t ) … Pumpleistung des Herzens im Alter t in Litern pro Minute
k = –
2,5
50
= –0,05
d = 5 – (–0,05) · 20 = 6
P ( t ) = –0,05 · t + 6
Pro Lebensjahr nimmt die Pumpleistung des Herzens um 0,05 Liter pro Minute ab.
c)
v ( x ) in m/s
v
max
x in m
R 0
0
v
Lösungsschlüssel
a) 1 × B1: für die richtige Umwandlung von 5 Litern in mm
3
(KA)
1 × B2: für die richtige Berechnung der Anzahl der Blutzellen pro mm
3
(KB)
b) 1 × A: für das richtige Aufstellen der Funktionsgleichung (KA)
1 × C: für die richtige Interpretation des Wertes der Steigung im gegebenen Sachzusammenhang (KB)
c) 1 × A: für das richtige Skizzieren des Funktionsgraphen (Graph einer nach unten offenen
quadratischen Funktion mit den richtigen Funktionswerten an den Stellen 0 und R ) (KB)
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Aufgabe 5
Batterien
Möglicher Lösungsweg
a) Binomialverteilung: n = 40, p = 0,02
Berechnung mittels Technologieeinsatz: P ( X ≤ 2) = 0,95432… ≈ 95,43 %
b) Der angegebene Ausdruck gibt den Erwartungswert für die Anzahl der defekten Batterien in
dieser Lieferung an.
c) Berechnung des Intervalls mittels Technologieeinsatz:
P ( μ – a ≤ X ≤ μ + a ) = 0,9 ⇒ [5 063,4; 5 576,6]
Lebensdauer in Betriebsstunden
5 800 5 600 5 400 5 200 5 000 4 800 6 000
Lösungsschlüssel
a) 1 × B: für die richtige Berechnung der Wahrscheinlichkeit (KA)
b) 1 × C: für die richtige Beschreibung der Bedeutung in diesem Sachzusammenhang (KB)
c) 1 × B: für die richtige Berechnung des Intervalls (KA)
1 × A: für das richtige Veranschaulichen der Wahrscheinlichkeit (KA)
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Aufgabe 6
Am Fluss
Möglicher Lösungsweg
a) f ″ ( x ) = –
3
4
∙ x +
3
2
0 = –
3
4
∙ x +
3
2
⇒ x = 2
An der Stelle x = 2 steigt das Querschnittsprofil auf der Ostseite am stärksten an.
x in m
f ( x ) in m
Ostseite Westseite
0 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 5 6
–2
–1
5
0
4
3
2
1
6
f
b) CD = AB ∙ (tan( β ) – tan( α ))
CD = 26,1… m ≈ 26 m
Lösungsschlüssel
a) 1 × B: für die richtige Berechnung der Wendestelle der Funktion f
(In der Grafik ist klar zu erkennen, dass der Anstieg des Querschnittsprofils an der
Ostseite an der Wendestelle am stärksten ist. Eine rechnerische Überprüfung des Steigungsverhaltens der Funktion an der berechneten Stelle sowie eine Überprüfung der
Randstellen sind daher nicht erforderlich.) (KB)
1 × C: für das richtige Kennzeichnen der Fläche (KA)
b) 1 × B: für die richtige Berechnung der Streckenlänge CD (KA)
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Aufgabe 7 (Teil B)
Größe von Mädchen
Möglicher Lösungsweg
a)
durchschnittliche Körpergröße in cm
Alter in Jahren
6 5 4 3 2 1 0 7
100
80
60
40
20
0
120
b) 95,4 – 85,4 = 10
Der absolute Größenzuwachs im 3. Lebensjahr beträgt 10 cm.
Es wird der relative Zuwachs der durchschnittlichen Körpergröße im 4. Lebensjahr ermittelt.
c) Berechnung des Korrelationskoeffizienten mittels Technologieeinsatz: r ≈ 0,9961
Der Korrelationskoeffizient liegt nahe bei 1 und lässt daher einen starken positiven linearen
Zusammenhang vermuten.
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für die richtige grafische Darstellung (KA)
b) 1 × B: für das richtige Bestimmen des absoluten Größenzuwachses (KA)
1 × C: für die richtige Beschreibung im Sachzusammenhang (KA)
c) 1 × B: für die richtige Berechnung des Korrelationskoeffizienten (KA)
1 × C: für die richtige Interpretation des Korrelationskoeffizienten (KB)
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Aufgabe 8 (Teil B)
Gummibärchen ziehen
Möglicher Lösungsweg
a)
andersfärbig
andersfärbig orange
105
132
105
132
27
132
orange
orange andersfärbig
27
132
26
131
105
131
P („2 orangefärbige Gummibärchen“) =
27
132
∙
26
131
= 0,04059… ≈ 4,06 %
b) Die Verwendung der Binomialverteilung setzt voraus, dass die Wahrscheinlichkeit für das
Eintreten eines Versuchsausgangs jeweils konstant bleibt. Bei jedem Zug, bei dem kein weißes Gummibärchen gezogen wird, ändert sich die Gesamtzahl in der Packung und damit die
Wahrscheinlichkeit des Versuchsausgangs.
c)
xi
1 2 3 4
P ( X = xi )
5
8
3
8
·
5
7
=
15
56
3
8
·
2
7
·
5
6
=
5
56
3
8
·
2
7
·
1
6
·
5
5
=
1
56
E ( X ) = 1 ·
5
8
+ 2 ·
15
56
+ 3 ·
5
56
+ 4 ·
1
56
= 1,5
Der Erwartungswert gibt an, wie viele Züge man im Mittel benötigt, bis ein rotes Gummibärchen gezogen wird.
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Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige Veranschaulichen in einem mit den entsprechenden Wahrscheinlich keiten beschrifteten Baumdiagramm (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung der Wahrscheinlichkeit (KA)
b) 1 × D: für die richtige Erklärung (KA)
c) 1 × A: für die richtige und vollständige Angabe der Werte der Zufallsvariablen (KA)
1 × B1: für die richtige und vollständige Berechnung der zugehörigen Wahrscheinlichkeiten (KB)
1 × B2: für die richtige Berechnung des Erwartungswertes (KB)
1 × C: für die richtige Interpretation des Erwartungswertes im gegebenen Sachzusammenhang
(KB)
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Aufgabe 9 (Teil B)
Brieftauben
Möglicher Lösungsweg
a) Freistadt: F = (8|6)
Steyr: S = (7|1)
FS =
( )
–1
–5
b) Heimatstadt dieser Brieftaube: Freistadt (8|6)
|
→
v | = √ 8
2
+ 3
2
= 8,544… ≈ 8,54
c) Einheitsvektor:
→
e =
1
√ 5
∙
( )
–1
–2
6,708 ∙
→
e =
6,708
√ 5
∙
( )
–1
–2
≈ 3 ∙
( )
–1
–2
=
( )
–3
–6
d) 3 · 2 + (−1) · a = 0 ⇒ a = 6
Lösungsschlüssel
a) 1 × B: für das richtige Ermitteln der Koordinaten des Vektors (KA)
b) 1 × C: für das richtige Ablesen der Heimatstadt (Name oder Koordinaten) (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung des Betrags des Vektors (KA)
c) 1 × A: für einen richtigen Ansatz (Länge des Vektors muss verändert werden) (KB)
1 × B: für das richtige Ermitteln der Koordinaten des Vektors in den Längeneinheiten des gegebenen Koordinatensystems (KB)
d) 1 × A: für das richtige Ermitteln von a (KA)
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Aufgabe 10 (Teil B)
WhatsApp
Möglicher Lösungsweg
a) A ( t ) = A 0 · a
t
A 0 = 9,3
32 = 9,3 · a
2
⇒ a =
32
9,3
= 1,85495…
2 · A 0 = A 0 · a
T
⇒ T =
In(2)
In( a )
= 1,121…
Die Anzahl der Nutzer/innen verdoppelt sich gemäß diesem Modell in jeweils rund 1,12 Jahren.
A (1) = 17,25… ≈ 17,3
Diesem Modell zufolge hätte es zu Beginn des Jahres 2013 in diesem Land rund 17,3 Millionen Nutzer/innen gegeben. Die Abweichung vom tatsächlichen Wert (20 Millionen) ist größer
als 1 Million, daher eignet sich das Modell hier nicht gut.
b)
W F
9 3 12
4
3
28
= 0,10714… ≈ 10,71 %
Rund 10,71 % der Schüler/innen dieser Klasse nutzen sowohl WhatsApp als auch Facebook.
c) 780 + 1 380 = 2 160
Toleranzbereich: [2 100; 2 200]
Im August und September wurden insgesamt rund 2 160 Nachrichten gesendet.
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige Modellieren der Exponentialfunktion (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung der Verdoppelungszeit (KB)
1 × D: für die richtige Beurteilung (KB)
b) 1 × A: für das richtige Vervollständigen des Mengendiagramms (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung des Prozentsatzes (KB)
c) 1 × C: für das richtige Ablesen im Toleranzbereich [2 100; 2 200] (KA)
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