Mathematik-Matura Mai 2016 · AHS Teil 2 – Aufgaben

AHS
10. Mai 2016
Mathematik
Teil-2-Aufgaben
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung
Name:
Klasse:
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Hinweise zur Aufgabenbearbeitung
Sehr geehrte Kandidatin! Sehr geehrter Kandidat!
Das vorliegende Aufgabenheft zu Teil 2 enthält vier Aufgaben mit je zwei bis vier Teilaufgaben, wobei alle Teilaufgaben unabhängig voneinander bearbeitbar sind. Ihnen stehen dafür insgesamt 150 Minuten an reiner Arbeitszeit zur Verfügung.
Verwenden Sie einen nicht radierbaren, blau oder schwarz schreibenden Stift! Bei Konstruktionsaufgaben ist
auch die Verwendung eines Bleistifts möglich.
Verwenden Sie zur Bearbeitung dieser Aufgaben dieses Aufgabenheft und die Ihnen zur Verfügung gestellten
Blätter! Schreiben Sie Ihren Namen auf der ersten Seite des Aufgabenheftes in das dafür vorgesehene Feld und
auf jedes verwendete Blatt! Geben Sie bei der Beantwortung jeder Teilaufgabe deren Bezeichnung an!
In die Beurteilung wird alles einbezogen, was nicht durchgestrichen ist. Die Lösung muss dabei klar ersichtlich
sein. Wenn die Lösung nicht klar ersichtlich ist oder verschiedene Lösungen angegeben sind, gilt die Aufgabe
als nicht gelöst. Streichen Sie Ihre Notizen durch.
Sie dürfen eine approbierte Formelsammlung sowie die gewohnten elektronischen Hilfsmittel verwenden.
Abzugeben sind das Aufgabenheft und alle von Ihnen verwendeten Blätter.
Beurteilung
Jede Aufgabe in Teil 1 wird mit 0 Punkten oder 1 Punkt bewertet, jede Teilaufgabe in Teil 2 mit 0, 1 oder 2 Punkten. Die mit A gekennzeichneten Aufgabenstellungen werden mit 0 Punkten oder 1 Punkt bewertet.
– Werden im Teil 1 mindestens 16 von 24 Aufgaben richtig gelöst, wird die Arbeit positiv bewertet.
– Werden im Teil 1 weniger als 16 von 24 Aufgaben richtig gelöst, werden mit A markierte Aufgabenstellungen
aus Teil 2 zum Ausgleich (für den laut LBVO „wesentlichen Bereich“) herangezogen.
Werden unter Berücksichtigung der mit A markierten Aufgabenstellungen aus Teil 2 mindestens 16 Aufgaben
richtig gelöst, wird die Arbeit positiv bewertet.
Werden auch unter Berücksichtigung der mit A markierten Aufgabenstellungen aus Teil 2 weniger als 16 Aufgaben richtig gelöst, wird die Arbeit mit „Nicht genügend“ beurteilt.
– Werden im Teil 1 mindestens 16 Punkte (mit Berücksichtigung der Ausgleichspunkte A ) erreicht, so gilt folgender Beurteilungsschlüssel:
Genügend 16– 23 Punkte
Befriedigend 24– 32 Punkte
Gut 33– 40 Punkte
Sehr gut 41– 48 Punkte
Erläuterung der Antwortformate
Die Aufgaben haben einerseits freie Antwortformate ; dabei schreiben Sie Ihre Antwort direkt unter die jeweilige
Aufgabenstellung in das Aufgabenheft oder auf die zur Verfügung gestellten Blätter. Weitere Antwortformate, die in
der Klausur zum Einsatz kommen können, werden im Folgenden vorgestellt:
Zuordnungsformat: Dieses Antwortformat ist durch mehrere Aussagen (bzw. Tabellen oder Abbildungen) gekennzeichnet, denen mehrere Antwortmöglichkeiten gegenüberstehen. Bearbeiten Sie Aufgaben dieses Formats
korrekt, indem Sie die Antwortmöglichkeiten durch Eintragen der entsprechenden Buchstaben den jeweils zutreffenden Aussagen zuordnen!
Beispiel:
Gegeben sind zwei Gleichungen.
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den zwei Gleichungen jeweils die
entsprechende Bezeichnung (aus A bis D) zu!
1 + 1 = 2 A
2 ∙ 2 = 4 C
A Addition
B Division
C Multiplikation
D Subtraktion
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Konstruktionsformat: Eine Aufgabe und deren Aufgabenstellung sind vorgegeben. Die Aufgabe erfordert die Ergänzung von Punkten, Geraden und/oder Kurven im Aufgabenheft.
Beispiel:
Gegeben ist eine lineare Funktion f mit f ( x ) = k · x + d.
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie den Graphen einer linearen Funktion mit den Bedingungen k = –2 und d > 0 in das vorgegebene
Koordinatensystem ein!
f ( x )
f
x
Multiple-Choice-Format in der Variante „1 aus 6“: Dieses Antwortformat ist durch einen Fragenstamm und
sechs Antwortmöglichkeiten gekennzeichnet, wobei eine Antwortmöglichkeit auszuwählen ist. Bearbeiten Sie
Aufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die einzige zutreffende Antwortmöglichkeit ankreuzen!
Beispiel:
Welche Gleichung ist korrekt?
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende Gleichung an!
1 + 1 = 1 a
2 + 2 = 2 a
3 + 3 = 3 a
4 + 4 = 8 T
5 + 5 = 5 a
6 + 6 = 6 a
Multiple-Choice-Format in der Variante „2 aus 5“: Dieses Antwortformat ist durch einen Fragenstamm und fünf
Antwortmöglichkeiten gekennzeichnet, wobei zwei Antwortmöglichkeiten auszuwählen sind. Bearbeiten Sie Aufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die beiden zutreffenden Antwortmöglichkeiten ankreuzen!
Beispiel:
Welche Gleichungen sind korrekt?
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Gleichungen an!
1 + 1 = 1 a
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 3 a
4 + 4 = 8 T
5 + 5 = 5 a
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Multiple-Choice-Format in der Variante „x aus 5“: Dieses Antwortformat ist durch einen Fragenstamm und fünf
Antwortmöglichkeiten gekennzeichnet, wobei eine, zwei, drei, vier oder fünf Antwortmöglichkeiten auszuwählen sind. In der Aufgabenstellung finden Sie stets die Aufforderung „Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n)/
Gleichung(en)/... an!“. Bearbeiten Sie Aufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die zutreffende Antwortmöglichkeit/die zutreffenden Antwortmöglichkeiten ankreuzen!
Beispiel:
Welche der gegebenen Gleichungen ist/sind korrekt?
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Gleichung(en) an!
1 + 1 = 2 T
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 6 T
4 + 4 = 4 a
5 + 5 = 10 T
Lückentext: Dieses Antwortformat ist durch einen Satz mit zwei Lücken gekennzeichnet, das heißt, im Aufgabentext sind zwei Stellen ausgewiesen, die ergänzt werden müssen. Für jede Lücke werden je drei Antwortmöglichkeiten vorgegeben. Bearbeiten Sie Aufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die Lücken durch Ankreuzen der
beiden zutreffenden Antwortmöglichkeiten füllen!
Beispiel:
Gegeben sind 3 Gleichungen.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte
Aussage entsteht!
Die Gleichung
1
wird als Zusammenzählung oder
2
bezeichnet.
1
1 – 1 = 0 a
1 + 1 = 2 T
1 ∙ 1 = 1 a
2
Multiplikation a
Subtraktion a
Addition T
So ändern Sie Ihre Antwort bei Aufgaben zum Ankreuzen:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr gültigen Antwort.
2. Kreuzen Sie dann das gewünschte Kästchen an.
1 + 1 = 3 a
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 a
4 + 4 = 4 a
5 + 5 = 9 T
So wählen Sie eine bereits übermalte Antwort:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr gültigen Antwort.
2. Kreisen Sie das gewünschte übermalte Kästchen ein.
1 + 1 = 3 a
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 a
4 + 4 = 4 a
5 + 5 = 9 a
Wenn Sie jetzt noch Fragen haben, wenden Sie sich bitte an Ihre Lehrerin/Ihren Lehrer!
Viel Erfolg bei der Bearbeitung!
Hier wurde zuerst die Antwort „2 + 2 = 4“
übermalt und dann wieder gewählt.
Hier wurde zuerst die Antwort „5 + 5 = 9“
gewählt und dann auf „2 + 2 = 4“ geändert.
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Aufgabe 1
Intercity-Express (ICE)
Als ICE werden verschiedene Baureihen von Hochgeschwindigkeitszügen der Deutschen Bahn
bezeichnet. Mit einer Höchstgeschwindigkeit von bis zu 330 km/h (rund 91,7 m/s) handelt es sich
dabei um die schnellsten Züge Deutschlands. Sie sind ca. 200 Meter lang und ca. 400 Tonnen
schwer und bestehen aus jeweils acht Wagen. Im Rahmen von Zulassungsfahrten müssen
Beschleunigungs- und Bremstests absolviert werden. Ergebnisse dieser Tests können grafisch
dargestellt werden.
Aufgabenstellung:
a) Die Daten eines Beschleunigungstests vom Stillstand bis zur Höchstgeschwindigkeit (die Geschwindigkeit v
1
( t ) ist in Metern pro Sekunde und die Zeit t in Sekunden angegeben) sind im
nachstehenden Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm näherungsweise dargestellt.
t in s
v
1
( t ) in m/s
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700
v
1
Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate der Geschwindigkeit im Zeitintervall [0 s; 700 s]
und geben Sie einen Zeitpunkt an, zu dem die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit größer ist als die ermittelte mittlere Änderungsrate!
A Interpretieren Sie das bestimmte Integral ∫
700
0
v
1
( t ) d t im gegebenen Kontext!
b) Bei einem Bremstest werden Daten aufgezeichnet. Diesen Daten kann man für den zurückgelegten Weg s ( t ) entnehmen: s ( t ) = 70 · t – 0,25 · t
2
mit t in Sekunden und s ( t ) in Metern ab
Bremsbeginn.
Geben Sie die Zeit-Geschwindigkeit-Funktion v
2
für den Bremstest in Form von
v
2
( t ) = k · t + d an und deuten Sie die auftretenden Parameter k und d im gegebenen Kontext!
Bestimmen Sie die Länge derjenigen Strecke, die der ICE vom Bremsbeginn bis zum Stillstand zurücklegt!
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Aufgabe 2
ZAMG-Wetterballon
Ein Wetterballon ist ein mit Helium oder Wasserstoff befüllter Ballon, der in der Meteorologie zum
Transport von Radiosonden (Messgeräten) verwendet wird. Die Zentralanstalt für Meteorologie
und Geodynamik (ZAMG) lässt an 365 Tagen im Jahr zwei Mal am Tag einen Wetterballon von der
Wetterstation Hohe Warte aufsteigen. Während des Aufstiegs werden kontinuierlich Messungen
von Temperatur, Luftfeuchtigkeit, Luftdruck, Windrichtung und Windgeschwindigkeit durchgeführt.
Die bei einem konkreten Aufstieg eines Wetterballons gemessenen Werte für den Luftdruck und
die Temperatur in der Höhe h über dem Meeresspiegel liegen in der nachstehenden Tabelle vor.
Höhe h des Ballons über
dem Meeresspiegel (in m)
Luftdruck p (in hPa) Temperatur (in °C)
1 000 906 1,9
2 000 800 –3,3
3 000 704 –8,3
4 000 618 –14,5
5 000 544 –21,9
6 000 479 –30,7
7 000 421 –39,5
8 000 370 –48,3
Aufgabenstellung:
a) A Bestimmen Sie die relative (prozentuelle) Änderung des Luftdrucks bei einem Anstieg des
Wetterballons von 1 000 m auf 2 000 m!
Die Abhängigkeit des Luftdrucks von der Höhe kann näherungsweise durch eine Exponential funktion beschrieben werden. Beschreiben Sie, wie dies anhand obiger Tabelle begründet
werden kann!
b) Die Temperatur in Abhängigkeit von der Höhe lässt sich im Höhenintervall [5 000 m; 8 000 m]
durch eine lineare Funktion T beschreiben.
Begründen Sie dies anhand der in der obigen Tabelle angegebenen Werte!
Berechnen Sie für diese Funktion T mit T ( h ) = k · h + d die Werte der Parameter k und d !
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c) Das Volumen des Wetterballons ist näherungsweise indirekt proportional zum Luftdruck p .
In 1 000 Metern Höhe hat der Wetterballon ein Volumen von 3 m
3
.
Beschreiben Sie die funktionale Abhängigkeit des Volumens (in m
3
) vom Luftdruck (in hPa)
durch eine Gleichung!
V ( p ) =
Berechnen Sie die absolute Änderung des Ballonvolumens im Höhenintervall
[1 000 m; 2 000 m]!
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Aufgabe 3
Einkommensteuer
Erwerbstätige Personen müssen einen Teil ihrer Einkünfte in Form von Einkommensteuer an den
Staat abführen. Im Steuermodell für das Kalenderjahr 2015 unterscheidet man vier Steuerklassen
mit den sogenannten Steuersätzen: 0 %, 36,5 %, 43,2 % und 50 %.
Modellhaft wird angenommen:
Jahresnettoeinkommen = steuerpflichtiges Jahreseinkommen – Einkommensteuer
Die Berechnung der Einkommensteuer bezieht sich auf das steuerpflichtige Jahreseinkommen
und unterliegt für das Kalenderjahr 2015 den folgenden Regeln:
• Einkommen bzw. Einkommensteile bis € 11.000 sind steuerfrei.
• Einkommensteile über € 11.000 bis € 25.000 werden mit 36,5 % besteuert. Das heißt: Liegt
das Einkommen über € 11.000, sind die ersten verdienten € 11.000 steuerfrei, die darüber hinausgehenden Einkommensteile bis € 25.000 werden mit 36,5 % besteuert.
• Einkommensteile über € 25.000 bis € 60.000 werden mit 43,2 % (genau: 43
3
14
%) besteuert.
• Einkommensteile über € 60.000 werden mit 50 % besteuert.
Am 7. Juli 2015 wurde vom Nationalrat das Steuerreformgesetz 2015/2016 beschlossen. Das ab
dem 1. Jänner 2016 gültige Steuermodell ist ein Modell mit sieben Steuersätzen.
Das 2015 gültige Modell (mit vier Steuerklassen) und das ab 2016 gültige Modell (mit sieben
Steuerklassen) sind in der nachstehenden Grafik dargestellt.
43,2 %
42 %
48 %
50 %
50 %
55 %
50 %
36,5 %
25 %
35 %
steuerpflichtiges Einkommen pro Jahr in Euro
gültig für das Kalenderjahr 2015
gültig ab dem Kalenderjahr 2016
Steuersatz in %
50,0
40,0
30,0
20,0
10,0
60,0
0,0
90.000 60.000 31.000 25.000 18.000 11.000
1.000.000
Datenquelle: http://www.parlament.gv.at/ZUSD/BUDGET/BD_-_Steuerreform_2015_und_2016.pdf, S. 15 [11.11.2015]
Aufgabenstellung:
a) A Berechnen Sie mithilfe der 2015 geltenden Steuersätze das Jahresnettoeinkommen einer
Person, deren steuerpflichtiges Jahreseinkommen € 20.000 beträgt!
Geben Sie (für das Jahr 2015) eine Formel für das Jahresnettoeinkommen N einer Person an,
deren steuerpflichtiges Jahreseinkommen E zwischen € 11.000 und € 25.000 liegt!
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b) Der sogenannte Durchschnittssteuersatz ist wie folgt definiert:
Durchschnittssteuersatz =
gezahlte Einkommensteuer
steuerpflichtiges Jahreseinkommen
Jemand bezog im Jahr 2015 ein steuerpflichtiges Jahreseinkommen von € 40.000.
Berechnen Sie für diese Person für das Jahr 2015 den Durchschnittssteuersatz!
Interpretieren Sie unter Verwendung der gegebenen Grafik, was für diese Person mit dem
Term 7 000 · 0,115 + 7 000 · 0,015 + 6 000 · 0,082 + 9 000 · 0,012 berechnet wird!
c) Jemand behauptet:
(1) „Bei einem steuerpflichtigen Jahreseinkommen von € 100.000 tritt trotz der Gesetzesänderung keine Veränderung hinsichtlich der abzuführenden Einkommensteuer ein.“
(2) „Der Steuersatz für steuerpflichtige Jahreseinkommen von über € 11.000 bis € 18.000
ändert sich um 11,5 Prozent.“
Sind diese Behauptungen richtig? Formulieren Sie jeweils eine mathematisch begründete
Antwort!
d) Das Bundesministerium für Finanzen gibt auf seiner Website die Berechnung der Einkommensteuer 2015 (ESt) für die Einkommensklasse über € 25.000 bis € 60.000 steuerpflichtiger
Jahreseinkommen mit folgender Formel an:
ESt =
(steuerpflichtiges Jahreseinkommen – 25 000) · 15 125
35 000
+ 5 110
Deuten Sie den Faktor
15 125
35 000
und den Summanden 5 110 im Hinblick auf die Berechnung
der Einkommensteuer!
Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der Einkommensteuer (ESt
neu
) für ein steuerpflichtiges
Jahreseinkommen von über € 31.000 bis € 60.000 für das ab 2016 gültige Steuermodell auf!
ESt
neu
=
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Aufgabe 4
Würfel mit unterschiedlichen Zahlen
Gegeben sind die Netze von drei fairen Würfeln, deren Seitenflächen auf unterschiedliche Weise
mit verschiedenen Zahlen beschriftet sind. (Ein Würfel ist „fair“, wenn die Wahrscheinlichkeit, nach
einem Wurf nach oben zu zeigen, für alle Seitenflächen gleich groß ist.)
3
3
1 2 1 2
Würfel A
5
5
–1 2 –1 2
Würfel B
0
6
6 6 0 0
Würfel C
Aufgabenstellung:
a) Herr Fischer wirft Würfel A zweimal. Die Zufallsvariable X gibt die Summe der beiden geworfenen Zahlen an. Die Zufallsvariable X kann die Werte 2, 3, 4, 5 und 6 annehmen.
Frau Fischer wirft die Würfel A und B . Die Zufallsvariable Y gibt die Summe der beiden geworfenen Zahlen an.
A Geben Sie für die Zufallsvariable Y alle möglichen Werte an!
mögliche Werte für Y : _________________________________________________________
Es gibt Werte der Zufallsvariablen, die bei Herrn Fischer wahrscheinlicher auftreten als bei Frau
Fischer. Geben Sie denjenigen Wert an, bei dem der Unterschied der beiden Wahrscheinlichkeiten am größten ist, und berechnen Sie diesen Unterschied!
b) Bei einem Spiel wird Würfel B dreimal geworfen. Der Einsatz des Spiels für eine Spielerin / einen Spieler beträgt € 2. Die jeweilige Auszahlung ist von der Summe der drei geworfenen
Zahlen abhängig und wird in der nachstehenden Tabelle teilweise angegeben.
Summe der drei geworfenen Zahlen Auszahlung an die Spielerin / den Spieler
positiv 0
null 2
negativ ?
Eine Person spielt dieses Spiel fünfmal. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass dabei
genau zweimal die Summe der drei geworfenen Zahlen genau null ist!
Berechnen Sie, welchen Betrag der Anbieter des Spiels für das Würfeln einer negativen Summe höchstens auszahlen darf, um langfristig mit keinem Verlust rechnen zu müssen!
c) Peter wirft den Würfel C 100-mal. Die Zufallsvariable Z beschreibt die Anzahl der gewürfelten
Sechser.
Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von Z !
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der geworfenen Zahlen größer als 350 ist!
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