Mathematik-Matura Mai 2016 · AHS Teil 1 – Lösungen

AHS
10. Mai 2016
Mathematik
Teil-1-Aufgaben
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung
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2
Aufgabe 1
Menge von Zahlen
Lösungserwartung:
Es gibt unendlich viele Zahlen in der Menge M , die kleiner als 2,1 sind.
Alle Elemente der Menge M können in der Form
a
b
geschrieben werden,
wobei a und b ganze Zahlen sind und b ≠ 0 ist.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen
Aussagen angekreuzt sind.
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3
Aufgabe 2
Äquivalenzumformung
Lösungserwartung:
Mögliche Erklärungen:
Die Gleichung x
2
– 5 x = 0 hat die Lösungen x
1
= 5 und x
2
= 0 (die Lösungsmenge L = {0; 5}). Die
Gleichung x – 5 = 0 hat aber nur mehr die Lösung x = 5 (die Lösungsmenge L = {5}). Durch die
durchgeführte Umformung wurde die Lösungsmenge verändert, daher ist dies keine Äquivalenzumformung.
oder:
Bei der Division durch x würde im Fall x = 0 durch null dividiert werden, was keine zulässige
Rechenoperation ist.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Erklärung.
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4
Aufgabe 3
Treibstoffkosten
Lösungserwartung:
K = x ·
y
100
· a
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für einen korrekten Term. Äquivalente Terme sind als richtig zu werten.
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5
Aufgabe 4
Quadratische Gleichung
Lösungserwartung:
p = –4
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.
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6
Aufgabe 5
Vektoraddition
Lösungserwartung:
v
v
1
v
2
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Darstellung von v
2
, wobei der gesuchte Vektor auch von anderen Ausgangspunkten aus gezeichnet werden kann.
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7
Aufgabe 6
Vermessung einer unzugänglichen Steilwand
Lösungserwartung:
Mögliche Vorgehensweise:
tan( α ) =
BC
e
⇒ BC ≈ 2,67 m
tan( β ) =
BD
e
⇒ BD ≈ 4,69 m
h = BD – BC ≈ 2,02 m
Die Höhe h ist ca. 2,02 m.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „m“ nicht angegeben sein muss.
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis
aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.
Toleranzintervall: [2 m; 2,1 m]
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8
Aufgabe 7
Funktionseigenschaften erkennen
Lösungserwartung:
Die Funktion f ist im Intervall (2; 3) monoton steigend.
Die Funktion f ändert im Intervall (–1; 1) das Krümmungsverhalten.
Die Funktion f ändert im Intervall (–3; 0) das Monotonieverhalten.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich alle laut Lösungserwartung richtigen Aussagen angekreuzt sind.
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9
Aufgabe 8
Kosten, Erlös und Gewinn
Lösungserwartung:
E ( x ), G ( x ), K ( x )
x
G
E
K
x
1
x
2
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn der Graph einer linearen Kostenfunktion skizziert wurde
und dieser den Graphen der Erlösfunktion E an den Stellen x
1
und x
2
schneidet.
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10
Aufgabe 9
Erwärmung von Wasser
Lösungserwartung:
T ( t ) = 0,19 · t + 35,6
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Äquivalente Lösungen wie z. B. T ( t ) =
41,3 – 35,6
30
· t + 35,6
sind als richtig zu werten.
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11
Aufgabe 10
Potenzfunktionen
Lösungserwartung:
f ( x )
x
f
E
f ( x )
x
f
F
f ( x )
x
f
B
f ( x )
x
f
C
A a > 0, z = 1
B a > 0, z = 2
C a > 0, z = 3
D a < 0, z = 1
E a < 0, z = 2
F a < 0, z = 3
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn jedem der vier Graphen ausschließlich der laut
Lösungserwartung richtige Buchstabe zugeordnet ist.
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12
Aufgabe 11
Ausbreitung eines Ölteppichs
Lösungserwartung:
1,5 · 1,05
d
= 2 ⇒ d = 5,896... ⇒ Nach 6 Tagen ist der Ölteppich erstmals größer als 2 km
2
.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „Tage“ nicht angeführt sein muss.
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis
aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.
Toleranzintervall: [5,89; 6]
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Aufgabe 12
Parameter von Exponentialfunktionen
Lösungserwartung:
1
c > d
2
a < b
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn für jede der beiden Lücken ausschließlich der laut
Lösungserwartung richtige Satzteil angekreuzt ist.
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14
Aufgabe 13
Mittlere Änderungsrate interpretieren
Lösungserwartung:
f ( x
2
) > f ( x
1
)
f ( x
2
) – f ( x
1
) = 5 · ( x
2
– x
1
)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen
Aussagen angekreuzt sind.
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15
Aufgabe 14
Kapitalsparbuch
Lösungserwartung:
Frau Fröhlich zahlt jährlich € 5.000 auf ihr Kapitalsparbuch ein.
Der relative jährliche Zuwachs des am Ausdruck ausgewiesenen
Kapitals ist größer als 3 %.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen
Aussagen angekreuzt sind.
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Aufgabe 15
Funktionen und Ableitungsfunktionen
Lösungserwartung:
A
g 1 ( x )
x
g 1
0 1 2 –1 –2
0
1
2
3
4
5
–1
B
g 2 ( x )
x
g 2
0 1 2 –1 –2
0
1
2
3
4
5
–1
C
g 3 ( x )
x
g 3
0 1 2 –1 –2
0
1
2
3
4
5
–1
D
g 4 ( x )
x
g 4
0 1 2 –1 –2
0
1
2
3
4
5
–1
E
g 5 ( x )
x
g 5
0 1 2 –1 –2
0
1
2
3
4
5
–1
F
g 6 ( x )
x
g 6
0 1 2 –1 –2
0
1
2
3
4
5
–1
f 1 ( x )
x
f 1
0 1 2 –1 –2
0
1
2
3
4
5
6
–1
E
f 2 ( x )
x
f 2
0 1 2 –1 –2
0
1
2
3
4
5
6
–1
A
f 3 ( x )
x
f 3
0 1 2 –1 –2
0
1
2
3
4
5
6
–1
F
f 4 ( x )
x
f 4
0 1 2 –1 –2
0
1
2
3
4
5
6
–1
D
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn jedem der vier Graphen ausschließlich der laut
Lösungserwartung richtige Buchstabe zugeordnet ist.
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17
Aufgabe 16
Nachweis eines lokalen Minimums
Lösungserwartung:
Möglicher rechnerischer Nachweis:
p ″ ( x ) = 6 x
p ″ (1) = 6 > 0 ⇒ An der Stelle 1 liegt ein lokales Minimum vor.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für einen korrekten rechnerischen Nachweis. Andere korrekte rechnerische Nachweise
sind ebenfalls als richtig zu werten.
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18
Aufgabe 17
Arbeit beim Verschieben eines Massestücks
Lösungserwartung:
W =
∫
4
0
5
16
· s
2
d s +
5 · 11
2
W ≈ 34,17 J
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen des Ergebnisses sind ebenfalls als richtig
zu werten.
Toleranzintervall: [34 J; 35 J]
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19
Aufgabe 18
Integral
Lösungserwartung:
b = – c
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe einer korrekten Relation zwischen b und c . Äquivalente Relationen sind als
richtig zu werten, ebenso konkrete Beispiele wie b = –5 und c = 5.
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20
Aufgabe 19
Beladung von LKW
Lösungserwartung:
Überladung (in Tonnen)
0 1 2 3 4 5 6
10
20
30
40
50
60
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für ein korrekt dargestelltes Diagramm.
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21
Aufgabe 20
Eishockeytore
Lösungserwartung:
Der Median der Datenliste ist 6.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.
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22
Aufgabe 21
Zollkontrolle
Lösungserwartung:
2
10
·
1
9
· 3 =
1
15
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen des Ergebnisses (als Dezimalzahl oder in
Prozent) sind ebenfalls als richtig zu werten.
Toleranzintervall: [0,066; 0,07] bzw. [6,6 %; 7 %]
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23
Aufgabe 22
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Lösungserwartung:
P ( X = x
2
) = 0,2
P ( X = x
3
) = 0,4
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe der korrekten Werte beider Wahrscheinlichkeiten. Andere Schreibweisen
der Ergebnisse (als Bruch oder in Prozent) sind ebenfalls als richtig zu werten.
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24
Aufgabe 23
Verschiedenfärbige Kugeln
Lösungserwartung:
Es werden genau zwei schwarze Kugeln gezogen.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die laut Lösungserwartung richtige Aussage angekreuzt ist.
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25
Aufgabe 24
Vergleich zweier Konfidenzintervalle
Lösungserwartung:
1
γ
1
> γ
2
2
n
1
< n
2
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn für jede der beiden Lücken ausschließlich der laut
Lösungserwartung richtige Satzteil angekreuzt ist.
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