Mathematik-Matura Jänner 2016 · AHS Teil 2 – Aufgaben

AHS
15. Jänner 2016
Mathematik
Teil-2-Aufgaben
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung
Name:
Klasse:

2
Hinweise zur Aufgabenbearbeitung
Sehr geehrte Kandidatin! Sehr geehrter Kandidat!
Das vorliegende Aufgabenheft zu Teil 2 enthält fünf Aufgaben mit je zwei bis vier Teilaufgaben, wobei alle Teilaufgaben unabhängig voneinander bearbeitbar sind. Ihnen stehen dafür insgesamt 150 Minuten an reiner Arbeitszeit zur Verfügung.
Verwenden Sie einen nicht radierbaren, blau oder schwarz schreibenden Stift! Bei Konstruktionsaufgaben ist
auch die Verwendung eines Bleistifts möglich.
Verwenden Sie zur Bearbeitung dieser Aufgaben dieses Aufgabenheft und die Ihnen zur Verfügung gestellten
Blätter! Schreiben Sie Ihren Namen auf der ersten Seite des Aufgabenheftes in das dafür vorgesehene Feld und
auf jedes verwendete Blatt! Geben Sie bei der Beantwortung jeder Teilaufgabe deren Bezeichnung an!
In die Beurteilung wird alles einbezogen, was nicht durchgestrichen ist. Die Lösung muss dabei klar ersichtlich
sein. Wenn die Lösung nicht klar ersichtlich ist oder verschiedene Lösungen angegeben sind, gilt die Aufgabe
als nicht gelöst. Streichen Sie Ihre Notizen durch.
Sie dürfen eine approbierte Formelsammlung sowie die gewohnten elektronischen Hilfsmittel verwenden.
Abzugeben sind das Aufgabenheft und alle von Ihnen verwendeten Blätter.
Beurteilung
Jede Aufgabe in Teil 1 wird mit 0 Punkten oder 1 Punkt bewertet, jede Teilaufgabe in Teil 2 mit 0, 1 oder 2 Punkten. Die mit A gekennzeichneten Aufgabenstellungen werden mit 0 Punkten oder 1 Punkt bewertet.
– Werden im Teil 1 mindestens 16 von 24 Aufgaben richtig gelöst, wird die Arbeit positiv bewertet.
– Werden im Teil 1 weniger als 16 von 24 Aufgaben richtig gelöst, werden mit A markierte Aufgabenstellungen
aus Teil 2 zum Ausgleich (für den laut LBVO „wesentlichen Bereich“) herangezogen.
Werden unter Berücksichtigung der mit A markierten Aufgabenstellungen aus Teil 2 mindestens 16 Aufgaben
richtig gelöst, wird die Arbeit positiv bewertet.
Werden auch unter Berücksichtigung der mit A markierten Aufgabenstellungen aus Teil 2 weniger als 16 Aufgaben richtig gelöst, wird die Arbeit mit „Nicht genügend“ beurteilt.
– Werden im Teil 1 mindestens 16 Punkte (mit Berücksichtigung der Ausgleichspunkte A ) erreicht, so gilt folgender Beurteilungsschlüssel:
Genügend 16– 23 Punkte
Befriedigend 24– 32 Punkte
Gut 33– 40 Punkte
Sehr gut 41– 48 Punkte
Erläuterung der Antwortformate
Die Aufgaben haben einerseits freie Antwortformate ; dabei schreiben Sie Ihre Antwort direkt unter die jeweilige
Aufgabenstellung in das Aufgabenheft oder auf die zur Verfügung gestellten Blätter. Weitere Antwortformate, die in
der Klausur zum Einsatz kommen können, werden im Folgenden vorgestellt:
Zuordnungsformat: Dieses Antwortformat ist durch mehrere Aussagen (bzw. Tabellen oder Abbildungen) gekennzeichnet, denen mehrere Antwortmöglichkeiten gegenüberstehen. Bearbeiten Sie Aufgaben dieses Formats
korrekt, indem Sie die Antwortmöglichkeiten durch Eintragen der entsprechenden Buchstaben den jeweils zutreffenden Aussagen zuordnen!
Beispiel:
Gegeben sind zwei Gleichungen.
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den zwei Gleichungen jeweils die
entsprechende Bezeichnung (aus A bis D) zu!
1 + 1 = 2 A
2 ∙ 2 = 4 C
A Addition
B Division
C Multiplikation
D Subtraktion

3
Konstruktionsformat: Eine Aufgabe und deren Aufgabenstellung sind vorgegeben. Die Aufgabe erfordert die Ergänzung von Punkten, Geraden und/oder Kurven im Aufgabenheft.
Beispiel:
Gegeben ist eine lineare Funktion f mit f ( x ) = k · x + d.
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie den Graphen einer linearen Funktion mit den Bedingungen k = –2 und d > 0 in das vorgegebene
Koordinatensystem ein!
f ( x )
f
x
Multiple-Choice-Format in der Variante „1 aus 6“: Dieses Antwortformat ist durch einen Fragenstamm und
sechs Antwortmöglichkeiten gekennzeichnet, wobei eine Antwortmöglichkeit auszuwählen ist. Bearbeiten Sie
Aufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die einzige zutreffende Antwortmöglichkeit ankreuzen!
Beispiel:
Welche Gleichung ist korrekt?
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende Gleichung an!
1 + 1 = 1 a
2 + 2 = 2 a
3 + 3 = 3 a
4 + 4 = 8 T
5 + 5 = 5 a
6 + 6 = 6 a
Multiple-Choice-Format in der Variante „2 aus 5“: Dieses Antwortformat ist durch einen Fragenstamm und fünf
Antwortmöglichkeiten gekennzeichnet, wobei zwei Antwortmöglichkeiten auszuwählen sind. Bearbeiten Sie Aufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die beiden zutreffenden Antwortmöglichkeiten ankreuzen!
Beispiel:
Welche Gleichungen sind korrekt?
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Gleichungen an!
1 + 1 = 1 a
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 3 a
4 + 4 = 8 T
5 + 5 = 5 a

4
Multiple-Choice-Format in der Variante „x aus 5“: Dieses Antwortformat ist durch einen Fragenstamm und fünf
Antwortmöglichkeiten gekennzeichnet, wobei eine, zwei, drei, vier oder fünf Antwortmöglichkeiten auszuwählen sind. In der Aufgabenstellung finden Sie stets die Aufforderung „Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n)/
Gleichung(en)/... an!“. Bearbeiten Sie Aufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die zutreffende Antwortmöglichkeit/die zutreffenden Antwortmöglichkeiten ankreuzen!
Beispiel:
Welche der gegebenen Gleichungen ist/sind korrekt?
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Gleichung(en) an!
1 + 1 = 2 T
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 6 T
4 + 4 = 4 a
5 + 5 = 10 T
Lückentext: Dieses Antwortformat ist durch einen Satz mit zwei Lücken gekennzeichnet, das heißt, im Aufgabentext sind zwei Stellen ausgewiesen, die ergänzt werden müssen. Für jede Lücke werden je drei Antwortmöglichkeiten vorgegeben. Bearbeiten Sie Aufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die Lücken durch Ankreuzen der
beiden zutreffenden Antwortmöglichkeiten füllen!
Beispiel:
Gegeben sind 3 Gleichungen.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte
Aussage entsteht!
Die Gleichung
1
wird als Zusammenzählung oder
2
bezeichnet.
1
1 – 1 = 0 a
1 + 1 = 2 T
1 ∙ 1 = 1 a
2
Multiplikation a
Subtraktion a
Addition T
So ändern Sie Ihre Antwort bei Aufgaben zum Ankreuzen:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr gültigen Antwort.
2. Kreuzen Sie dann das gewünschte Kästchen an.
1 + 1 = 3 a
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 a
4 + 4 = 4 a
5 + 5 = 9 T
So wählen Sie eine bereits übermalte Antwort:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr gültigen Antwort.
2. Kreisen Sie das gewünschte übermalte Kästchen ein.
1 + 1 = 3 a
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 a
4 + 4 = 4 a
5 + 5 = 9 a
Wenn Sie jetzt noch Fragen haben, wenden Sie sich bitte an Ihre Lehrerin/Ihren Lehrer!
Viel Erfolg bei der Bearbeitung!
Hier wurde zuerst die Antwort „2 + 2 = 4“
übermalt und dann wieder gewählt.
Hier wurde zuerst die Antwort „5 + 5 = 9“
gewählt und dann auf „2 + 2 = 4“ geändert.

5
Aufgabe 1
Quadratische Gleichungen und ihre Lösungen
Gegeben sind eine (normierte) quadratische Gleichung x
2
+ p ∙ x + q = 0 mit p , q ∈ ℝ und die
zugehörige Polynomfunktion f mit f ( x ) = x
2
+ p ∙ x + q .
Aufgabenstellung:
a) Lässt sich die Gleichung x
2
+ p ∙ x + q = 0 in der Form ( x – z ) · ( x –
1
z
) = 0 mit z ∈ ℝ und
z ≠ 0 schreiben, dann spricht man von einer reziproken quadratischen Gleichung.
Geben Sie mithilfe von Gleichungen an, wie die Parameter p und q jeweils von z abhängen!
Bestimmen Sie die Werte für z , für die die reziproke quadratische Gleichung genau eine Lösung besitzt. Geben Sie für jeden dieser Werte von z jeweils die lokalen Minimumstellen von f
an!
b) Wählt man in der gegebenen Funktionsgleichung den Wert q = –1, dann erhält man eine
Polynomfunktion zweiten Grades f mit f ( x ) = x
2
+ p ∙ x – 1.
A Begründen Sie rechnerisch, warum die Gleichung f ( x ) = 0 genau zwei verschiedene Lösungen in ℝ haben muss!
Begründen Sie, warum die Funktion f eine positive und eine negative Nullstelle haben muss!
c) Für q = p –
1
3
erhält man eine Funktion f mit f ( x ) = x
2
+ p · x + p –
1
3
.
Bestimmen Sie für diese Funktion f denjenigen Wert für p , für den
∫
1
–1
f ( x ) d x = –6 gilt!
Geben Sie an, ob für dieses p die Gleichung
∫
0
–1
f ( x ) d x =
∫
1
0
f ( x ) d x eine wahre Aus sage ergibt,
und begründen Sie Ihre Entscheidung!

6
Aufgabe 2
Design-Center Linz
Das Design-Center ist eines der modernen Wahrzeichen
der Stadt Linz. Erbaut wurde es von Juli 1991 bis Ende
Oktober 1993. Im Jänner 1994 wurde es als Veranstaltungs- und Messezentrum in Betrieb genommen.
Die Träger der Konstruktion lassen sich in guter Näherung
durch Parabelbögen beschreiben. Die Spannweite der Bögen beträgt ungefähr 72 m, die maximale Höhe der Bögen
liegt bei ca. 13 m. Die Grundfläche des Design-Centers ist
ein Rechteck mit 200 m Länge und 72 m Breite.
Bildquelle: http://www.linz.at/images/dc_druck.jpg
[09.09.2015]
Aufgabenstellung:
a) Zur Modellierung der parabelförmigen Träger wurde, wie in der folgenden Grafik dargestellt,
ein Koordinatensystem durch die Frontansicht des Design-Centers gelegt:
y
x
f
A Geben Sie eine Gleichung der Polynomfunktion zweiten Grades f an, welche diese Parabel
beschreibt!
Geben Sie an, was durch 200 ∙ 2 ∙
∫
0
36
f ( x ) d x in Bezug auf das Design-Center berechnet wird!
b) Die Baukosten für das Design-Center betrugen zur Zeit der Baufertigstellung (1993) umgerechnet
ca. € 66 Mio.
Der Baukostenindex ist ein Maß für die Entwicklung derjenigen Kosten, die Bauunternehmern
bei der Ausführung von Bauleistungen durch Veränderungen der Kostengrundlagen (Material
und Arbeit) entstehen. Er gibt z. B. an, wie stark die Kosten für Hochbauten pro Jahr steigen.
Berechnen Sie unter der Annahme, dass der Baukostenindex für Österreich 3,5 % pro Jahr
beträgt, die Höhe der Baukosten für das Design-Center, wenn es erst 10 Jahre später gebaut
worden wäre!
f ( x )
x
f

7
Die nachstehende Tabelle gibt Auskunft über die Entwicklung des Baukostenindex der Gesamtbaukosten für den Wohnhaus- und Siedlungsbau im Zeitraum von fünf aufeinanderfolgenden Jahren.
Jahr Baukostenindex
2010 +3,2 %
2011 +2,3 %
2012 +2,1 %
2013 +1,9 %
2014 +1,1 %
Quelle: http://www.statistik.at/web_de/statistiken/wirtschaft/preise/baukostenindex/index.html [30.10.2015]
Jemand interessiert sich für den durchschnittlichen Baukostenindex in diesen fünf Jahren. Zur
Abschätzung führt er die folgende Rechnung aus:
3,2 + 2,3 + 2,1 + 1,9 + 1,1
5
= 2,12
Die Vorgehensweise ist für die Berechnung des durchschnittlichen Baukostenindex allerdings
nicht ganz korrekt. Geben Sie an, wie diese Berechnung korrekt zu erfolgen hätte!

8
Aufgabe 3
Schiefer Turm von Pisa
Der Schiefe Turm von Pisa zählt zu den bekanntesten Gebäuden der Welt.
Historisch nicht verbürgt sind Galileo Galileis (1564 – 1642) Fallversuche aus verschiedenen Höhen
des Schiefen Turms von Pisa. Tatsache ist jedoch, dass Galilei die Gesetze des freien Falls erforscht
hat. Die Fallzeit eines Körpers aus der Höhe h
0
ist bei Vernachlässigung des Luftwiderstandes (im
Vakuum) unabhängig von seiner Form und seiner Masse.
Modellhaft kann die Höhe des fallenden Körpers in Abhängigkeit von der Zeit näherungsweise
durch die Funktion h mit der Gleichung h ( t ) = h
0
– 5 t ² beschrieben werden. Die Höhe h ( t ) wird in
Metern und die Zeit t in Sekunden gemessen.
Aufgabenstellung:
a) Ein Körper fällt im Vakuum aus einer Höhe h
0
= 45 m.
A Berechnen Sie seine Geschwindigkeit in m/s zum Zeitpunkt t
1
des Aufpralls!
Begründen Sie, warum der Betrag der Geschwindigkeit dieses Körpers im Intervall [0; t
1
]
monoton steigt!
b) In der unten stehenden Abbildung ist der Graph der Funktion h für h
0
= 45 m dargestellt.
Bestimmen Sie die Steigung der Sekante s durch die Punkte A = (0|45) und B = (3|0) und
deuten Sie diesen Wert im Hinblick auf die Bewegung des Körpers!
h
t
s
P
t in s
h ( t ) in m
A
B
7 6 5 4 3 2 1 0 8
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
55
Die Tangente t im Punkt P = (1,5 | h (1,5)) ist parallel zur Sekante s . Interpretieren Sie diese Tat sache im Hinblick auf die Bewegung des Körpers!

9
Aufgabe 4
Reaktionstest
Bei einem Reaktionstest am Computer werden der getesteten Person am Bildschirm nacheinander 20 Muster gezeigt, die klassifiziert werden müssen. Protokolliert werden die für die 20 Reaktionen insgesamt benötigte Reaktionszeit t sowie die Anzahl f der dabei auftretenden fehlerhaften
Klassifikationen.
In der nachstehenden Tabelle sind die Ergebnisse eines Reaktionstests am Computer einer Testperson in einer Serie von zehn Testdurchgängen angegeben.
Nummer der Testdurchführung t (in Sekunden) f
1* t
1
= 22,3 f
1
= 3
2 t
2
= 24,6 f
2
= 2
3 t
3
= 21,8 f
3
= 3
4 t
4
= 23,5 f
4
= 1
5 t
5
= 32,8 f
5
= 5
6 t
6
= 21,7 f
6
= 4
7 t
7
= 22,6 f
7
= 3
8 t
8
= 22,8 f
8
= 2
9 t
9
= 35,4 f
9
= 3
10 t
10
= 22,5 f
10
= 1
* Erläuterung: Die Person benötigte bei der ersten Testdurchführung
22,3 Sekunden, drei ihrer Klassifikationen waren falsch.
Aufgabenstellung:
a) A Berechnen Sie das arithmetische Mittel t
–
der zehn Reaktionszeiten t
1
, t
2
, … , t
10
sowie die
Standardabweichung s
t
dieser zehn Werte!
Die getestete Person absolviert zwei weitere Testdurchgänge und erreicht dabei die Zeiten t
11
und t
12
. Das arithmetische Mittel der neuen Datenreihe t
1
, t
2
, … , t
10
, t
11
, t
12
wird mit t
–
neu
bezeichnet, die entsprechende Standardabweichung mit s
neu
. Geben Sie Werte für t
11
und t
12
so
an, dass t
11
≠ t
12
, t
–
neu
= t
–
und s
neu
< s
t
gilt!

10
b) Im Laufe einer Diskussion vertritt eine Person die Meinung, dass das arithmetische Mittel der
10 Reaktionszeiten die gegebene Datenliste nicht optimal beschreibt. Geben Sie ein mögliches
Argument an, das diese Meinung stützt, und nennen Sie ein alternatives statistisches Zentralmaß!
Die Datenreihe der 500 Reaktionszeiten von insgesamt 50 Testpersonen wird durch das
nachstehende Kastenschaubild dargestellt.
35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 36
35,8 27,9 23,0 22,4 21,4
Entscheiden Sie, ob die folgende Aussage jedenfalls korrekt ist: „Höchstens 125 der 500 Reaktionszeiten betragen höchstens 22,4 s.“ Begründen Sie Ihre Entscheidung!
c) Die Zufallsvariable H ordnet jedem Testdurchgang, bei dem einer bestimmten Person 20 Bilder vorgelegt werden, die Anzahl der dabei auftretenden fehlerhaften Reaktionen zu.
Nennen Sie unter Bezugnahme auf den dargelegten Sachverhalt die Voraussetzungen, die
für den Reaktionstest als erfüllt angesehen werden müssen, damit die Zufallsvariable H durch
eine Binomialverteilung beschrieben werden kann!
Berechnen Sie P ( H > 2), wenn die getestete Person mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 0,15
fehlerhaft reagiert!

11
Aufgabe 5
Überraschungseier
Ein italienischer Süßwarenhersteller erzeugt das Produkt Kinder Überraschung (auch als „Überraschungsei“ bekannt). Das Ei soll aus 20 g Schokolade bestehen. Im Inneren des Eies befindet
sich in einer gelben Kapsel ein Spielzeug. Diese Kapsel hat näherungsweise die Form eines Drehzylinders, auf dessen Grund- und Deckfläche Halbkugeln aufgesetzt werden. Das Volumen der
Kapsel beträgt ungefähr 36 cm³ und deren Oberfläche 55 cm².
Bildquelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Überraschungsei.jpg [01.06.2015] (Urheber: A. Kniesel, Lizenz: CC BY-SA 3.0)
Aufgabenstellung:
a) Bei der Qualitätskontrolle gelten Schokoladeneier, deren Masse um mehr als 0,5 g vom
Sollwert 20 g abweichen, als Ausschuss. Bei einer Kontrolle wurden nach dem Zufallsprinzip
500 Schokoladeneier einer Produktionsserie ausgewählt und überprüft. Dabei wurden 15 als
Ausschuss aussortiert.
Geben Sie ein symmetrisches 90-%-Konfidenzintervall für den relativen Anteil p an Ausschusseiern in der gesamten Produktionsserie an!
Geben Sie an, durch welche Maßnahme man die Breite des Konfidenzintervalls bei vorgegebenem Konfidenzniveau (Sicherheit) verringern kann!
b) Der Hersteller überlegt, die gelbe Kapsel in Zukunft nur in Form eines Drehzylinders ohne
aufgesetzte Halbkugeln zu produzieren. Das Volumen V der Kapsel soll dabei unverändert
bleiben, ebenso wie die Form des Schokoladeneies. Die Oberfläche O ( r ) des angedachten
Drehzylinders kann in Abhängigkeit vom Radius r durch die Funktion O mit der Gleichung
O ( r ) = 2 r
2
π + 2 ∙ V ∙ r
–1
beschrieben werden. Der Radius r darf dabei nur Werte im Bereich
(0 cm; 1,9 cm] annehmen, damit der Zylinder in das Schokoladenei passt.
Berechnen Sie die minimal mögliche Oberfläche der geplanten zylindrischen Kapsel!
Weisen Sie durch Differenzialrechnung nach, dass an der berechneten Stelle tatsächlich ein
Minimum vorliegt!