Mathematik-Matura Jänner 2016 · AHS Teil 1 – Lösungen

AHS
15. Jänner 2016
Mathematik
Teil-1-Aufgaben
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung

2
Aufgabe 1
Aussagen über Zahlen
Lösungserwartung:
Jede reelle Zahl ist eine komplexe Zahl.
Jede natürliche Zahl ist eine reelle Zahl.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen
Aussagen angekreuzt sind.

3
Aufgabe 2
Quadratische Gleichung
Lösungserwartung:
d = –2
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.

4
Aufgabe 3
Gleichungssystem
Lösungserwartung:
b =
9
2
c =
21
2
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe der korrekten Werte von b und c . Andere korrekte Schreibweisen der
Ergebnisse sind ebenfalls als richtig zu werten.

5
Aufgabe 4
Normalvektoren
Lösungserwartung:
z
b
= –9
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.

6
Aufgabe 5
Gleichung einer Geraden
Lösungserwartung:
h : 3 x + y = 8
oder:
h : X =
( )
1
5
+ t ·
( )
1
–3
mit t ∈ ℝ
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Gleichung bzw. eine korrekte Parameterdarstellung der Geraden h ,
wobei „ t ∈ ℝ “ nicht angegeben sein muss.
Äquivalente Gleichungen bzw. äquivalente Parameterdarstellungen der Geraden h sind ebenfalls
als richtig zu werten.

7
Aufgabe 6
Standseilbahn Salzburg
Lösungserwartung:
sin( α ) =
96,6
198,5
⇒ α ≈ 29,12°
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit Grad nicht angeführt sein muss. Eine korrekte
Angabe in einer anderen Einheit ist ebenfalls als richtig zu werten.
Toleranzintervall: [29°; 30°]

8
Aufgabe 7
Asymptotisches Verhalten
Lösungserwartung:
f
1
( x ) =
2
––
x
f
2
( x ) = 2
x
f
4
( x ) =
(
1
––
2
)
x
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich alle laut Lösungserwartung richtigen
Funktionsgleichungen angekreuzt sind.

9
Aufgabe 8
Gleichung einer Funktion
Lösungserwartung:
f ( x ) = –2 x + 12
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Funktionsgleichung. Äquivalente Funktionsgleichungen sind ebenfalls
als richtig zu werten.

10
Aufgabe 9
Heizungstage
Lösungserwartung:
d ( x ) =
1 500
x
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für einen korrekten Term. Äquivalente Terme sind ebenfalls als richtig zu werten.

11
Aufgabe 10
Eigenschaften von Polynomfunktionen 3. Grades
Lösungserwartung:
Es gibt Polynomfunktionen 3. Grades, die keine lokale
Extremstelle haben.
Es gibt Polynomfunktionen 3. Grades, die genau zwei
verschiedene reelle Nullstellen haben.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen
Antwortmöglichkeiten angekreuzt sind.

12
Aufgabe 11
Eigenschaften einer Exponentialfunktion
Lösungserwartung:
Die Funktion f ist im Intervall [0; 5] streng monoton steigend.
Der Funktionswert f ( x ) ist positiv für alle x ∈ ℝ .
Wenn man den Wert des Arguments x um 1 vergrößert, wird der
zugehörige Funktionswert um 97 % größer.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich alle laut Lösungserwartung richtigen
Aussagen angekreuzt sind.

13
Aufgabe 12
Parameter einer Sinusfunktion
Lösungserwartung:
s ( x ), s
1
( x )
s
x
0 π 2π –2π –π
0
3
2
1
–2
–1
–3
2
π
2
3π
2
π
–
2
3π
–
s
1
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Skizze, wobei der Verlauf des Graphen der Funktion s
1
mit der
Funktionsgleichung s
1
( x ) = 2 ∙ sin( x ) erkennbar sein muss.

14
Aufgabe 13
Mittlere Geschwindigkeit
Lösungserwartung:
Die mittlere Geschwindigkeit des Körpers im Zeitintervall [2 s; 4 s] beträgt ca. 20 m/s.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit nicht angeführt sein muss.
Toleranzintervall: [19 m/s; 21 m/s]

15
Aufgabe 14
Reelle Funktion
Lösungserwartung:
f ′ ( x ) = 12 x
2
– 4 x + 5
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Funktionsgleichung der Ableitungsfunktion f ′ . Äquivalente Funktionsgleichungen sind ebenfalls als richtig zu werten.

16
Aufgabe 15
Eigenschaften der Ableitungsfunktion einer Polynomfunktion 3. Grades
Lösungserwartung:
Die Funktionswerte der Funktion f ′ sind im Intervall (0; 2) negativ.
Die Funktion f ′ hat an der Stelle x = 0 eine Nullstelle.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen
Aussagen angekreuzt sind.

17
Aufgabe 16
Lokale Extremstellen
Lösungserwartung:
Die Stellen x
1
= 1 und x
2
= 3 sind lokale Extremstellen der Funktion f .
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die korrekte Angabe beider Stellen.

18
Aufgabe 17
Stammfunktion
Lösungserwartung:
F ( x ) = −
ℯ
2 ∙ x
2
+ −
1
2
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die laut Lösungserwartung richtige
Antwortmöglichkeit angekreuzt ist.

19
Aufgabe 18
Wasserversorgung
Lösungserwartung:
Der Ausdruck gibt die Wassermenge (in m
3
) an, die vom Zeitpunkt t = 10 bis zum Zeitpunkt t = 40
durch die Leitung fließt.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Interpretation des Ausdrucks.

20
Aufgabe 19
Körpergrößen
Lösungserwartung:
Mindestens eine Schülerin bzw. ein Schüler ist genau 185 cm groß.
Höchstens 50 % der Schüler/innen sind kleiner als 170 cm.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen
Aussagen angekreuzt sind.

21
Aufgabe 20
Median und Modus
Lösungserwartung:
Median: 11
Modus: 14
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die korrekte Angabe beider Kennzahlen.

22
Aufgabe 21
Augensumme
Lösungserwartung:
Die Aussage ist wahr.
Mögliche Begründung:
Augensumme 5: (1; 4), (2; 3), (3; 2), (4; 1) ⇒ 4 Möglichkeiten
Augensumme 9: (3; 6), (4; 5), (5; 4), (6; 3) ⇒ 4 Möglichkeiten
P („Augensumme 5“) =
4
36
P („Augensumme 9“) =
4
36
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine richtige Beurteilung der Aussage und eine (sinngemäß) korrekte Begründung.
Andere korrekte Begründungen sind ebenfalls als richtig zu werten.

23
Aufgabe 22
Maturaball-Glücksspiele
Lösungserwartung:
2
10
·
x
1 000
= 0,03 ⇒ x = 150
Es gibt 150 Gewinnlose.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.

24
Aufgabe 23
Erwartungswert
Lösungserwartung:
E ( X ) = 2,8
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.
Toleranzintervall: [2,65; 2,95]

25
Aufgabe 24
Breite eines Konfidenzintervalls
Lösungserwartung:
Das Konfidenzintervall wäre breiter, wenn man ein höheres
Konfidenzniveau (eine höhere Sicherheit) gewählt hätte.
Das Konfidenzintervall wäre breiter, wenn der Anteil der Befürworter/innen und der Anteil der Gegner/innen in der Stichprobe
gleich groß gewesen wären.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen
Aussagen angekreuzt sind.