Mathematik-Matura September 2015 · HTL Cluster T2 – Lösungen

BHS
21. September 2015
Angewandte Mathematik
Teil A + Teil B (Cluster 2)
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung

2
Korrektur- und Beurteilungsanleitung
zur standardisierten schriftlichen Reife- und Diplomprüfung
in Angewandter Mathematik
(Detaillierte Informationen dazu finden Sie für den BHS-Bereich im Erlass mit der Geschäftszahl
BMBF-17.200/0166-II/2014 des Bundesministeriums für Bildung und Frauen.)
Kompetenzbereiche
Im Beurteilungsmodell für die Angewandte Mathematik wird zwischen zwei Kompetenzbereichen
unterschieden:
n Kompetenzbereich A ( KA ) umfasst die unabhängig
1
erreichbaren Punkte der Komplexitätsstufen 1 und 2 aus dem Kompetenzstufenraster.
n Kompetenzbereich B ( KB ) umfasst die abhängig erreichbaren Punkte und die Punkte der
Komplexitätsstufe 3 und 4 aus dem Kompetenzstufenraster.
Die Summe der unabhängig erreichbaren Punkte aus den Komplexitätsstufen 1 und 2 ( KA ) stellt die
„wesentlichen Bereiche“ eines Klausurheftes dar.
Beurteilung
Als Hilfsmittel für die Beurteilung wird ein auf ein Punktesystem basierender Beurteilungsschlüssel angegeben. Je nach gewichteter Schwierigkeit der vergebenen Punkte in den „wesentlichen
Bereichen“ wird festgelegt, ab wann die „wesentlichen Bereiche überwiegend“ (Genügend) erfüllt
sind, d. h., gemäß einem Punkteschema müssen Punkte aus dem Kompetenzbereich A unter Einbeziehung von Punkten aus dem Kompetenzbereich B in ausreichender Anzahl abhängig von der
Zusammenstellung der Klausurhefte gelöst werden. Darauf aufbauend wird die für die übrigen Notenstufen zu erreichende Punktezahl festgelegt.
Nach der Punkteermittlung soll die Arbeit der Kandidatin / des Kandidaten nochmals ganzheitlich
qualitativ betrachtet werden. Unter Zuhilfenahme des Punkteschemas und der ganzheitlichen Betrachtung ist ein verbal begründeter Beurteilungsvorschlag der Prüferin / des Prüfers zu erstellen,
wobei die Ergebnisse der Kompetenzbereiche A und B in der Argumentation zu verwenden sind.
Beurteilungsschlüssel für die vorliegende Klausur:
45–50 Punkte Sehr gut
39–44 Punkte Gut
33–38 Punkte Befriedigend
23–32 Punkte Genügend
0–22 Punkte Nicht genügend
1
Unabhängige Punkte sind solche, für die keine mathematische Vorleistung erbracht werden muss. Als mathematische Vorleistung gilt z. B. das Aufstellen einer Gleichung (unabhängiger Punkt) mit anschließender Berechnung (abhängiger Punkt).

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Handreichung zur Korrektur
der standardisierten schriftlichen Reife- und Diplomprüfung
in Angewandter Mathematik
1. In der Lösungserwartung ist nur ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen.
2. Der Lösungsschlüssel ist verbindlich anzuwenden unter Beachtung folgender Vorgangsweisen:
a. Grundsätzlich sind Punkte nur zu vergeben, wenn die abgefragte Handlungskompetenz in
der Bearbeitung als vollständig erfüllt zu erkennen ist.
b. Berechnungen ohne nachvollziehbaren Rechenansatz bzw. ohne nachvollziehbare Dokumentation des Technologieeinsatzes (verwendete Ausgangsparameter und die verwendete
Technologiefunktion müssen angegeben sein) sind mit null Punkten zu bewerten.
c. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen bzw. Lösungswege von der Kandidatin / vom
Kandidaten angeboten und nicht alle diese Lösungen bzw. Lösungswege sind korrekt, so
ist diese Teilaufgabe mit null Punkten zu bewerten.
d. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Das heißt zum Beispiel :
Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu vergeben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht vereinfacht.
e. Werden von der Kandidatin / vom Kandidaten kombinierte Handlungsanweisungen in einem
Lösungsschritt erbracht, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der Lösungsschlüssel
Einzelschritte vorgibt.
f. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als solche
identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner Vereinfachung
der Aufgabenstellung führen.
g. Rundungsfehler können vernachlässigt werden, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert ist.
h. Jedes Diagramm bzw. jede Skizze, die Lösung einer Handlungsanweisung ist, muss eine
qualitative Achsenbeschriftung enthalten, andernfalls ist dies mit null Punkten zu bewerten.
i. Die Angabe von Einheiten kann bei der Punktevergabe vernachlässigt werden, sofern sie im
Lösungsschlüssel nicht explizit eingefordert wird.
3. Sind Sie sich als Korrektor/in über die Punktevergabe nicht schlüssig, können Sie eine Korrekturanfrage an das BIFIE (via Telefon-Hotline oder Online-Helpdesk) stellen.

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Aufgabe 1
Vergnügungspark
Möglicher Lösungsweg
a) 4,1 = 9 – x
2
x
2
= 4,9
x = ±2,213…
Der Festwagen darf rund 4,42 m breit sein.
∫
3
–3
(9 – x
2
)d x = 36
Der Flächeninhalt der benötigten Folie beträgt 36 m
2
.
b) Diese Polynomfunktion hat im dargestellten Intervall 2 lokale Extremstellen. Somit muss
die 1. Ableitung dieser Funktion 2 Nullstellen haben, also mindestens eine Polynomfunktion
2. Grades sein. Somit muss die gegebene Polynomfunktion mindestens Grad 3 haben.
oder:
Eine Gerade parallel zur x -Achse hat 3 Schnittpunkte mit dem Graphen der Funktion. Somit
muss die gegebene Polynomfunktion mindestens Grad 3 haben.
oder:
Der Graph ist keine Gerade und keine Parabel. Somit muss die gegebene Polynomfunktion
mindestens Grad 3 haben.
c) rechtwinkeliges Dreieck FPS : tan( β ) =
SP
a
⇒ SP = a ∙ tan( β )
rechtwinkeliges Dreieck FQS : tan( α ) =
SQ
a
⇒ SQ = a ∙ tan( α )
h = SP – SQ
h = a ∙ tan( β ) – a ∙ tan( α ) = a ∙ (tan( β ) – tan( α ))
Lösungsschlüssel
a) 1 × B1: für die richtige Berechnung der Breite b (KA)
1 × B2: für die richtige Berechnung des Flächeninhalts (KA)
b) 1 × D: für eine richtige Argumentation (KA)
c) 1 × A: für das richtige Erstellen der Formel (KA)

5
Aufgabe 2
Luftdruck – Höhenformel
Möglicher Lösungsweg
a) p (0) = p 0 ∙ ℯ
–
0
7 991
= p 0 ∙ 1 = p 0
p
0
2
= p 0 ∙ ℯ
–
h
7 991
h = 7 991 ∙ ln(2) = 5 538,9…
Bei einer Seehöhe von rund 5 539 m beträgt der Luftdruck genau die Hälfte von p 0 .
b) f ( h ) = 1 013 –
1
10
∙ h
c) Modellierung durch eine lineare Funktion g mit g ( x ) = a · x + b :
1 040 = a ∙ 990 + b
930 = a ∙ 1 980 + b
g ( x ) = –
1
9
∙ x + 1 150
g (1 300) =
9 050
9
≈ 1 006
Der Luftdruck in einer Höhe von 1 300 m über dem Meeresspiegel beträgt rund 1 006 hPa.
Lösungsschlüssel
a) 1 × D: für einen richtigen Nachweis (KA)
1 × A: für den richtigen Lösungsansatz zur Berechnung (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung der Seehöhe (KB)
b) 1 × A: für das richtige Aufstellen der Funktion (KA)
c) 1 × A: für einen richtigen Ansatz (z. B. mithilfe einer linearen Funktion bzw. ähnlicher Dreiecke)
(KA)
1 × B: für die richtige Bestimmung des Luftdrucks (KB)

6
Aufgabe 3
Produktion von Rucksäcken
Möglicher Lösungsweg
a) Es wird die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis berechnet, dass ein zufällig kontrollierter Rucksack Nahtfehler, aber keine der beiden anderen Fehlerarten aufweist.
b) P („mindestens 1 Fehler“) = 1 – P („kein Fehler“) = 1 – 0,98 ∙ 0,97 ∙ 0,99 = 0,0589... ≈ 5,9 %
Bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Rucksack
mindestens 1 dieser 3 Fehler aufweist, muss bei der Verwendung der Gegenwahrscheinlichkeit nur 1 Ereignis, nämlich das Ereignis, dass kein Fehler auftritt, betrachtet werden.
Bei einer direkten Berechnung müssten die Wahrscheinlichkeiten für eine Vielzahl von Ereignissen berechnet und addiert werden.
c) Berechnung mittels Binomialverteilung: n = 100 und p = 0,03
P ( X < 3) = 0,41977… ≈ 41,98 %
Lösungsschlüssel
a) 1 × C: für die richtige Angabe des Ereignisses (es muss auch klar erkennbar sein, dass die
beiden anderen Fehlerarten nicht auftreten) (KA)
b) 1 × B: für die richtige Berechnung der Wahrscheinlichkeit (KA)
1 × D: für die richtige Erklärung zur Gegenwahrscheinlichkeit (KB)
c) 1 × A: für das Erkennen des richtigen Wahrscheinlichkeitsmodells (Binomialverteilung) (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung der Wahrscheinlichkeit (KB)

7
Aufgabe 4
Tennis
Möglicher Lösungsweg
a) Aufschlaggeschwindigkeit, die von (mindestens) 25 % der Teilnehmer nicht übertroffen wurde:
120 km/h
Quartilsabstand: 30 km/h
b) ähnliche Dreiecke:
2,3
6,4 + 6,4 + 5,5
=
h
6,4
h = 0,80… m ≈ 0,8 m
Der Ball ist beim Netz in einer Höhe von rund 0,8 m.
Somit geht der Ball ins Netz.
c) f ′ (0) =
2
5
arctan (
2
5
) = 21,801…° ≈ 21,80°
Der Ball befindet sich im Abschlagpunkt in einer Höhe von
21
50
Metern.
Lösungsschlüssel
a) 1 × C1: für das richtige Ablesen der Aufschlaggeschwindigkeit (KA)
1 × C2: für das richtige Ablesen des Quartilsabstands (KA)
b) 1 × D: für die richtige Überprüfung (KA)
c) 1 × B: für die richtige Berechnung des Steigungswinkels (KA)
1 × C: für die richtige Interpretation der Zahl
21
50
(KA)

8
Aufgabe 5
Leistung einer Solaranlage
Möglicher Lösungsweg
a) P ′ (6) = 0
0 =
7
162
∙ 6
3
–
7
9
∙ 6
2
+ 2 · a ∙ 6
a =
14
9
b)
∫
12
0
(0,007 ∙ t
4
– 0,165 ∙ t
3
+ 0,972 ∙ t
2
+ 1,221)d t = 67,5288
Die Solaranlage liefert an diesem Tag rund 67,53 kWh Energie.
c) An der Wendestelle x 0 einer Funktion f gilt stets: f ″ ( x 0 ) = 0.
Die 2. Ableitung einer Polynomfunktion 3. Grades ist eine lineare Funktion, die genau 1 Nullstelle mit Vorzeichenwechsel hat. Daher hat die Polynomfunktion 3. Grades genau 1 Wende stelle.
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für den richtigen Ansatz zur Berechnung des Koeffizienten a (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung des Koeffizienten a (KB)
b) 1 × B: für die richtige Berechnung des Integrals (KA)
c) 1 × D: für eine richtige Begründung (KB)

9
Aufgabe 6 (Teil B)
Riesenräder
Möglicher Lösungsweg
a) Durchmesser: d = 121 m
Aus der Periodendauer T = 30 min ergibt sich:
ω =
2π
30
min
–1
≈ 0,21 min
–1
Verschiebung nach oben: c = 74,5 m
b) 60 = 30,48 · sin(0,02464 · t ) + 34,27
t 1 = 40,78… s ≈ 41 s
t 2 = 86,71… s ≈ 87 s
t 2 – t 1 ≈ 46 s
Die Gondel erreicht nach etwa 41 Sekunden erstmals 60 Meter und befindet sich rund 46 Sekunden lang in einer Höhe von mindestens 60 Metern.
c) Mit ω =
2π
T
erhält man für die Zeitdauer einer Umdrehung: T = 120 s.
Umfang des Kreises: u = 30π m
v =
30π
120
m/s ≈ 0,785 m/s ≈ 2,827 km/h
Da es 12 gleichmäßig verteilte Gondeln gibt, beträgt der Winkel zwischen je 2 benachbarten
Gondeln 30°. φ wird gegen den Uhrzeigersinn von der „rechten horizontalen Lage“ aus gemessen. Der Winkel beträgt daher –30° bzw. 330°, im Bogenmaß also –
π
6
bzw.
11π
6
.
Lösungsschlüssel
a) 1 × C: für das richtige Ablesen des Durchmessers (KA)
1 × B1: für die richtige Ermittlung der Winkelgeschwindigkeit (KA)
1 × B2: für die richtige Ermittlung des Parameters c (KA)
b) 1 × B1: für die richtige Ermittlung des Zeitpunkts (KA)
1 × B2: für die richtige Bestimmung der Zeitdauer (KB)
c) 1 × A: für eine richtige Modellbildung zur Berechnung der Geschwindigkeit (KB)
1 × B: für die richtige Berechnung der Geschwindigkeit in km/h (KB)
1 × C: für die richtige Dokumentation zur Ermittlung des Parameters φ
(auch eine Beschreibung mit einem Winkel in Grad ist als richtig zu werten) (KB)

10
Aufgabe 7 (Teil B)
Länge eines Werkstücks
Möglicher Lösungsweg
a) Die Parameter sind: μ X
_
= 72,3 mm und σ X
_
=
0,5
7 √
mm.
Zweiseitigen 95-%-Zufallsstreubereich mithilfe der Normalverteilung bestimmen:
μ ± u 0,975 ∙ σ X
_
u 0,975 = 1,959…
Daraus ergibt sich folgender Zufallsstreubereich in mm: [71,9; 72,7].
Eine Halbierung der Breite erfordert die Vervierfachung des Stichprobenumfangs.
Die Standardabweichung der Stichprobe ist umso kleiner, je größer der Stichprobenumfang
n ist. Daher ist der Graph der Dichtefunktion für n = 7 schmäler als für n = 5. Da der gesamte
Flächeninhalt unter dem Graphen der Dichtefunktion immer 1 beträgt, muss das Maximum für
n = 7 größer sein als für n = 5.
b) P („Werkstück wird aussortiert“) = 1 – P (71,4 ≤ X ≤ 73,2) = 0,0718… ≈ 7,2 %
σ =
x
ob
– μ
u
0,99
=
73,2 – 72,3
2,326...
= 0,38… ≈ 0,4
Damit der Ausschussanteil 2 % beträgt, müsste die Standardabweichung rund 0,4 mm sein.
c) Der gesamte Flächeninhalt unter dem Graphen der Dichtefunktion beträgt 1. Der Graph der
Dichtefunktion ist symmetrisch bezüglich des Erwartungswerts μ .
Daher gilt: G ( μ ) =
∫
μ
–∞
g ( x ) d x = 0,5.
X
1 – G (51)
52,4 52 51,6 51,2 50,8 50,4 50 49,6 49,2 48,8 48,4 48 47,6 52,8
σ = 0,8 mm
Toleranzbereich: [0,6; 1,0]

11
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für die richtige Angabe der Parameter (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung des Zufallsstreubereichs (KB)
1 × C: für eine richtige Beschreibung (KB)
1 × D: für eine richtige Begründung (KB)
b) 1 × B1: für die richtige Berechnung der Wahrscheinlichkeit (KA)
1 × B2: für die richtige Berechnung der Standardabweichung (KB)
c) 1 × D: für eine richtige Begründung (KA)
1 × A: für das richtige Veranschaulichen der Wahrscheinlichkeit als Fläche (KA)
1 × C: für das richtige Ablesen der Standardabweichung im Toleranzbereich [0,6; 1,0] (KA)

12
Aufgabe 8 (Teil B)
Periodische Spannungen
Möglicher Lösungsweg
a) Die beiden grau unterlegten Flächeninhalte sind gleich groß, d. h., über eine Periodendauer
beträgt die Höhe des flächengleichen Rechtecks 5 V.
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 –1 –2 –3 0 11
0
7
6
5
4
3
2
1
8 Spannung in V
Zeit in ms
Die gegebene periodische Funktion unterscheidet sich von einer ungeraden Funktion nur um
eine Verschiebung entlang der senkrechten Achse. Die Fourier-Reihe der skizzierten Funktion
enthält daher, wie eine ungerade Funktion, keine Cosinusanteile.
b) Der Spannungsverlauf kann im Intervall [0; 8] durch eine stückweise lineare Funktion beschrieben werden:
u ( t ) =
5
2
∙ t für 0 ≤ t < 2
u ( t ) =
40 – 5 t
6
für 2 ≤ t < 8
t … Zeit in ms
u ( t ) … Spannung zur Zeit t in V
Mit T = 8 und ω =
2π
T
=
π
4
ergibt sich für a 3 :
a 3 =
2
T
∙ ( ∫
2
0
5
2
∙ t ∙ cos(3 ∙ ω ∙ t ) d t +
∫
8
2
(
40 – 5 t
6
) ∙ cos(3 ∙ ω ∙ t ) d t ) = – 0,1501…

13
c) homogene Differenzialgleichung: R ∙
d q
d t
+
q
C
= 0
d q
q
= –
1
R ∙ C
∙ d t
ln| q ( t )| = –
1
R ∙ C
∙ t + K 1
q ( t ) = K ∙ ℯ
–
1
R · C
∙ t
Ladung in mC
stationärer Lösungsanteil
Zeit in s
0 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 4
0,5
0
–0,5
1
–1
q 0 = 0,5 mC
Lösungsschlüssel
a) 1 × D1: für eine richtige Begründung, warum der Gleichanteil der dargestellten Spannung 5 V
beträgt (KA)
1 × D2: für eine richtige Argumentation bezüglich Symmetrie und Verschiebung (KA)
b) 1 × A1: für das richtige Aufstellen der Funktionsgleichung für 0 ≤ t < 2 (KA)
1 × A2: für das richtige Aufstellen der Funktionsgleichung für 2 ≤ t < 8 (KA)
1 × A3: für den richtigen Ansatz zur Berechnung von a 3 (Aufstellen der richtigen Formel) (KB)
1 × B: für die richtige Berechnung von a 3 (KB)
c) 1 × B: für das richtige Lösen der homogenen Differenzialgleichung (KA)
1 × C1: für das richtige Kennzeichnen des stationären Lösungsanteils (KA)
1 × C2: für das richtige Ablesen des Anfangswertes (KB)