Mathematik-Matura September 2015 · HTL Cluster T2 – Aufgaben

Name:
Klasse/Jahrgang:
BHS
21. September 2015
Angewandte Mathematik
Teil A + Teil B (Cluster 2)
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung

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Hinweise zur Aufgabenbearbeitung
Das vorliegende Aufgabenheft (Teil A und Teil B) enthält acht Aufgaben mit unterschiedlich vielen Teil aufgaben. Die
Teilaufgaben sind unabhängig voneinander bearbeitbar. Ihnen stehen insgesamt 270 Minuten an reiner Arbeitszeit
für Teil A und Teil B zur Verfügung.
Verwenden Sie für die Bearbeitung einen nicht radierbaren, blau oder schwarz schreibenden Stift.
Verwenden Sie für die Bearbeitung ausschließlich das Aufgabenheft und die Ihnen zur Verfügung gestellten Antwortblätter. Schreiben Sie Ihren Namen in das dafür vorgesehene Feld auf der ersten Seite des Aufgabenheftes
und auf jedes Antwortblatt. Geben Sie bei der Beantwortung jeder Teilaufgabe deren Bezeichnung an.
In die Beurteilung wird alles einbezogen, was nicht durchgestrichen ist. Streichen Sie Notizen durch.
Die Verwendung eines durch die Schulbuchaktion approbierten Formelheftes und elektronischer Hilfsmittel (grafikfähige Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) ist erlaubt, sofern keine Kommunikation nach
außen getragen werden kann und keine Eigendaten in die elektronischen Hilfsmittel implementiert sind. Handbücher zu den elektronischen Hilfsmitteln sind in der Original-Druckversion oder in im elektronischen Hilfsmittel
integrierter Form zulässig.
Abzugeben sind das Aufgabenheft und alle von Ihnen verwendeten Antwortblätter.
Es gilt folgender Beurteilungsschlüssel:
45– 50 Punkte Sehr gut
39– 44 Punkte Gut
33– 38 Punkte Befriedigend
23– 32 Punkte Genügend
0–22 Punkte Nicht genügend
Handreichung für die Bearbeitung der SRDP in Angewandter Mathematik
– Jede Berechnung ist mit einem nachvollziehbaren Rechenansatz und einer nachvollziehbaren Dokumentation des Technologieeinsatzes (die verwendeten Ausgangsparameter und die verwendete
Technologiefunktion müssen angegeben werden) durchzuführen.
– Selbst gewählte Variablen sind zu erklären und gegebenenfalls mit Einheiten zu benennen.
– Ergebnisse sind eindeutig hervorzuheben.
– Ergebnisse sind mit entsprechenden Einheiten anzugeben.
– Werden Diagramme und Skizzen als Lösungen erstellt, so sind die Achsen zu skalieren und zu beschriften.
– Werden geometrische Skizzen erstellt, so sind die lösungsrelevanten Teile zu beschriften.
– Vermeiden Sie frühzeitiges Runden.
– Legen Sie allfällige Computerausdrucke der Lösung mit Ihrem Namen beschriftet bei.
– Wird eine Aufgabe mehrfach gerechnet, so sind alle Lösungswege bis auf einen zu streichen.
Viel Erfolg!

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Aufgabe 1
Vergnügungspark
Ein kürzlich eröffneter Vergnügungspark ist ein beliebtes Ausflugsziel in der Region.
a) Beim Eingang zum Vergnügnungspark steht ein Torbogen. Dieser wird durch einen Teil des
Graphen der Funktion mit folgender Gleichung beschrieben:
y = 9 – x
2
x , y ... Koordinaten in Metern (m)
Dabei wird der ebene Boden durch die x -Achse beschrieben.
Bei einer Parade muss ein 4 Meter hoher Festwagen durch den Torbogen geschoben werden.
Nach oben hin muss ein senkrechter Minimalabstand von 10 cm eingehalten werden (siehe
Skizze – nicht maßstabgetreu).
Festwagen
x in m
y in m
4 m
10 cm 10 cm
0 –3 3
b
– Berechnen Sie, welche Breite b der Festwagen maximal haben darf. [1 Punkt]
Vor der Parade wird das Tor mit einer Folie verschlossen.
– Berechnen Sie den Flächeninhalt der dazu benötigten Folie. [1 Punkt]
b) Eine der Hauptattraktionen ist die Hochschaubahn. Ein Teilstück kann durch die Polynomfunktion modelliert werden, deren Graph in der folgenden Abbildung zu sehen ist:
x
y
– Erklären Sie, welchen Grad diese Polynomfunktion mindestens haben muss. [1 Punkt]

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c) Im Vergnügungspark gibt es ein Kino.
Fiona sitzt a Meter von der Leinwand entfernt (Punkt F ). Der Höhenwinkel zum unteren Ende
der Leinwand (Punkt Q ) wird mit α bezeichnet, der Höhenwinkel zum oberen Ende der Leinwand (Punkt P ) wird mit β bezeichnet.
α
β
h
P
S
Q
a
F
– Erstellen Sie eine Formel für die Berechnung der Höhe h der Leinwand aus a , α und β .
[1 Punkt]

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Aufgabe 2
Luftdruck – Höhenformel
Der Luftdruck nimmt mit zunehmender Höhe über dem Meeresspiegel (Seehöhe) ab. Der
Zu sammen hang kann durch Exponentialfunktionen oder näherungsweise durch lineare
Funktionen be schrieben werden.
a) Ein Modell zur Beschreibung des Zusammenhangs zwischen der Höhe über dem Meeresspiegel und dem Luftdruck ist die barometrische Höhenformel :
p ( h ) = p
0
∙ ℯ
–
h
7 991
h ... Höhe über dem Meeresspiegel in Metern (m)
p ( h ) ... Luftdruck in der Höhe h in Hektopascal (hPa)
– Zeigen Sie, dass p
0
der Luftdruck auf der Höhe des Meeresspiegels ist. [1 Punkt]
– Berechnen Sie diejenige Seehöhe, bei der der Luftdruck genau die Hälfte von p
0
beträgt.
[2 Punkte]
b) Ein vereinfachtes Modell des Zusammenhangs zwischen der Höhe über dem Meeresspiegel
und dem Luftdruck nimmt eine konstante Abnahme des Luftdrucks um 10 hPa pro 100 Höhenmeter an. Der Luftdruck auf Höhe des Meeresspiegels beträgt rund 1013 hPa.
Verwenden Sie die folgenden Bezeichnungen:
h ... Höhe über dem Meeresspiegel in m
f ( h ) ... Luftdruck in der Höhe h in hPa
– Stellen Sie die Gleichung der Funktion f auf, die diesen Zusammenhang im vereinfachten
Modell beschreibt. [1 Punkt]
c) Zu Beginn des Jahres 2013 wurden im Schigebiet Kaprun-Kitzsteinhorn folgende Werte für
den Luftdruck gemessen:
Seehöhe Luftdruck
990 m 1040 hPa
1980 m 930 hPa
– Bestimmen Sie mithilfe eines linearen Modells aus diesen Daten den Luftdruck in einer Höhe
von 1 300 m über dem Meeresspiegel. [2 Punkte]

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Aufgabe 3
Produktion von Rucksäcken
Bei der Produktion von Rucksäcken treten erfahrungsgemäß 3 verschiedene Fehlerarten
un abhängig voneinander auf.
P („Nahtfehler“) = 2 %
P („Reißverschlussdefekt“) = 3 %
P („Farbfehler“) = 1 %
a) Ein Rucksack wird zufällig ausgewählt und überprüft. Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis E
wird mit P ( E ) = 0,02 · 0,97 · 0,99 berechnet.
– Geben Sie ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit so berechnet wird. [1 Punkt]
b) – Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Rucksack mindestens
1 dieser 3 Fehlerarten aufweist. [1 Punkt]
– Erklären Sie, warum die Berechnung mittels Gegenwahrscheinlichkeit hier weniger aufwendig ist. [1 Punkt]
c) – Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Zufallsstichprobe von 100 Stück weniger als 3 Rucksäcke mit Reißverschlussdefekt vorhanden sind. [2 Punkte]

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Aufgabe 4
Tennis
Im Rahmen der Nachwuchsförderung wurden die Leistungen der Teilnehmer eines Knaben-
Tennisturniers genauer beobachtet.
a) Für die Auswertung der Daten der Aufschlaggeschwindigkeit der Teilnehmer wurde der nachstehende Boxplot erstellt.
– Lesen Sie diejenige Aufschlaggeschwindigkeit ab, die von (mindestens) 25 % der Teilnehmer
nicht übertroffen wurde. [1 Punkt]
– Lesen Sie den Quartilsabstand ab. [1 Punkt]
b) Ein Spieler trifft beim Aufschlag den Ball in einer Höhe von 2,3 m im Punkt A genau über der
Mitte der Grundlinie. Er visiert den Punkt B (Mitte der Aufschlaglinie) an. Um nicht ins Netz
zu gehen, muss der Ball das Netz in einer Höhe von mindestens 1 Meter (über dem Boden)
überqueren.
Die Flugbahn des Tennisballes beim Aufschlag kann modellhaft mittels einer Gerade beschrieben werden.
Netz
Aufschlaglinie
Grundlinie
2,3 m
A
B
6,4 m 6,4 m 5,5 m
– Überprüfen Sie nachweislich, ob der Ball bei diesem Aufschlag über das Netz geht.
[1 Punkt]

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c) Mithilfe einer Videoanalyse wird ein Grundlinienschlag modelliert.
Die Flugbahn zwischen dem Abschlagpunkt und dem Punkt, in dem der Ball auf dem Boden
aufkommt, kann durch die Funktion f beschrieben werden:
f ( x ) = –
1
50
∙ x
2
+
2
5
∙ x +
21
50
mit x ≥ 0
x ... horizontale Entfernung zum Abschlagpunkt in Metern (m)
f ( x ) ... Höhe des Balles über dem Boden in m
– Berechnen Sie den Steigungswinkel im Abschlagpunkt. [1 Punkt]
– Interpretieren Sie die Bedeutung der obigen Zahl
21
50
für die Flugbahn. [1 Punkt]

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Aufgabe 5
Leistung einer Solaranlage
a) Die Leistung einer Solaranlage lässt sich näherungsweise mithilfe der Funktion P beschreiben:
P ( t ) =
7
648
∙ t
4
–
7
27
∙ t
3
+ a ∙ t
2
mit 0 ≤ t ≤ 12
t ... Zeit in Stunden (h), wobei t = 0 der Uhrzeit 7 Uhr entspricht
P ( t ) ... Leistung zur Zeit t in Kilowatt (kW)
Die Leistung ist um 13 Uhr am höchsten.
– Berechnen Sie den Koeffizienten a . [2 Punkte]
b) Eine andere Solaranlage wird an einem bestimmten Tag von 7 Uhr bis 19 Uhr betrieben und
ihre Leistung durch die Funktion P beschrieben, wobei gilt:
P ( t ) = 0,007 ∙ t
4
– 0,165 ∙ t
3
+ 0,972 ∙ t
2
+ 1,221 mit 0 ≤ t ≤ 12
t ... Zeit in Stunden (h), wobei t = 0 der Uhrzeit 7 Uhr entspricht
P ( t ) ... Leistung der Solaranlage zur Zeit t in kW
Die in einem Zeitintervall von der Solaranlage gelieferte Energie wird mithilfe des Integrals der
Leistung in diesem Zeitintervall berechnet.
– Berechnen Sie die an diesem Tag von der Solaranlage gelieferte Energie. [1 Punkt]
c) – Begründen Sie mithilfe der Differenzialrechnung, warum eine Polynomfunktion 3. Grades
genau 1 Wendestelle hat. [1 Punkt]

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Aufgabe 6 (Teil B)
Riesenräder
Dreht sich ein Riesenrad mit konstanter Geschwindigkeit, so gilt für die Höhe h ( t ), in der sich
eine Gondel zum Zeitpunkt t über dem Boden befindet:
h ( t ) = A ∙ sin( ω ∙ t + φ ) + c
a) Das London Eye, eines der größten Riesenräder, dreht sich so langsam, dass es für das
Ein- und Aussteigen der Fahrgäste nicht anhalten muss.
Der Graph der Funktion h ist in folgender Abbildung dargestellt:
t in min
h
h ( t ) in m
0 45 40 35 30 25 20 15 10 5 50
0
120
100
80
60
40
20
140
135
14
– Lesen Sie den Durchmesser des Riesenrades ab. [1 Punkt]
– Ermitteln Sie den Parameter ω . [1 Punkt]
– Ermitteln Sie den Parameter c . [1 Punkt]
b) Dreht sich das Wiener Riesenrad ohne Zwischenstopps, so gilt für die Höhe h ( t ), in der sich
eine Gondel zum Zeitpunkt t über dem Boden befindet:
h ( t ) = 30,48 · sin(0,02464 · t ) + 34,27
t ... Zeit seit Beginn der Beobachtung in Sekunden (s)
h ( t ) ... Höhe, in der sich diese Gondel zum Zeitpunkt t befindet, in Metern (m)
– Ermitteln Sie denjenigen Zeitpunkt, zu dem diese Gondel erstmals eine Höhe von 60 m
erreicht. [1 Punkt]
– Bestimmen Sie die Zeitdauer, während derer sich die Gondel im Laufe einer Umdrehung in
einer Höhe von mindestens 60 m befindet. [1 Punkt]

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c) Ein Riesenrad mit 12 gleichmäßig verteilten Gondeln dreht sich mit konstanter Geschwindigkeit gegen den Uhr zeigersinn. Die Höhe h ( t ), in der sich eine Gondel zum Zeitpunkt t über
dem Boden befindet, ist:
h ( t ) = 15 ∙ sin
(
π
60
∙ t + φ
)
+ 20
t ... Zeit seit Beginn der Beobachtung in s
h ( t ) ... Höhe, in der sich eine Gondel zum Zeitpunkt t befindet, in m
G
– Berechnen Sie, mit welcher Geschwindigkeit (in km/h) sich eine Gondel entlang der Kreisbahn bewegt. [2 Punkte]
Die Gondel G befindet sich zur Zeit t = 0 s an der in der oben stehenden Skizze dargestellten
Position.
– Dokumentieren Sie in Worten, wie Sie den Parameter φ für die Funktion h der Gondel G er mitteln können. [1 Punkt]

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Aufgabe 7 (Teil B)
Länge eines Werkstücks
In einer Fertigungsanlage werden Werkstücke erzeugt, deren Längen erfahrungsgemäß
normalverteilt sind.
a) Die Länge eines Werkstücks ist normalverteilt mit μ = 72,3 mm und σ = 0,5 mm.
Im Rahmen der Qualitätssicherung werden Stichproben vom Umfang n = 7 entnommen.
Für jede Stichprobe wird der Mittelwert der Längen bestimmt.
– Geben Sie die Parameter der Verteilung der Stichprobenmittelwerte
–
X an. [1 Punkt]
– Berechnen Sie den zum Erwartungswert symmetrischen Zufallsstreubereich, in dem
erwartungsgemäß 95 % aller Stichprobenmittelwerte liegen. [1 Punkt]
– Beschreiben Sie, wie sich der Stichprobenumfang ändern muss, damit sich die Breite
dieses 95-%-Zufallsstreubereichs halbiert. [1 Punkt]
– Begründen Sie, warum das Maximum der Dichtefunktion der Stichprobenmittelwerte
–
X für
n = 7 größer ist als jenes für n = 5. [1 Punkt]
b) Die Länge eines Werkstücks ist normalverteilt mit μ = 72,3 mm.
Werkstücke, die zu lang oder zu kurz sind, sind Ausschuss und werden aussortiert.
Abweichungen von bis zu ± 0,9 mm vom Erwartungswert werden toleriert.
– Berechnen Sie für eine Standardabweichung von σ = 0,5 mm die Wahrscheinlichkeit, dass
ein zufällig ausgewähltes Werkstück aussortiert wird. [1 Punkt]
– Berechnen Sie, wie groß die Standardabweichung sein müsste, damit der Ausschussanteil
2 % beträgt. [1 Punkt]

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c) In der unten stehenden Abbildung ist der Graph der Dichtefunktion g einer normalverteilten
Zufallsvariablen X dargestellt.
– Begründen Sie mithilfe der Dichtefunktion, warum für die zugehörige Verteilungsfunktion G
gilt: G ( μ ) = 0,5. [1 Punkt]
– Veranschaulichen Sie die Wahrscheinlichkeit 1 – G (51) in der unten stehenden Abbildung.
[1 Punkt]
– Lesen Sie aus dem Graphen der Dichtefunktion die Standardabweichung σ ab. [1 Punkt]
X
52,4 52 51,6 51,2 50,8 50,4 50 49,6 49,2 48,8 48,4 48 47,6 52,8
g

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Aufgabe 8 (Teil B)
Periodische Spannungen
a) Die nachstehende Grafik zeigt den zeitlichen Verlauf einer periodischen Spannung.
Zeit in ms
Spannung in V
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 –1 –2 –3 0 11
0
7
6
5
4
3
2
1
8
– Begründen Sie mithilfe der obigen Grafik, warum der Gleichanteil der dargestellten Spannung 5 V beträgt. [1 Punkt]
Der dargestellte Spannungsverlauf soll in eine Fourier-Reihe entwickelt werden.
– Argumentieren Sie, warum die Koeffizienten a
1
, a
2
, a
3
, … der Cosinusanteile dieser
Fourier-Reihe 0 sein müssen. [1 Punkt]
b) Die nachstehende Grafik zeigt den zeitlichen Verlauf einer periodischen Spannung:
Zeit in ms
Spannung in V
5
0 12 10 8 6 4 2
u
– Erstellen Sie die Funktionsgleichungen der dargestellten Funktion u auf geeigneten Teilintervallen des Bereichs 0 ms bis 8 ms. [2 Punkte]
– Berechnen Sie den Fourier-Koeffizienten a
3
der Funktion u . [2 Punkte]

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c) An ein RC -Glied wird eine Wechselspannung u mit u ( t ) = û ∙ sin( ω ∙ t ) angelegt. Die entsprechende Differenzialgleichung für die Ladung q am Kondensator lautet:
R ∙
d q
d t
+
q
C
= u
– Lösen Sie die zugehörige homogene Differenzialgleichung mithilfe der Methode Trennen der
Variablen. [1 Punkt]
Die inhomogene Differenzialgleichung wurde für bestimmte Werte von R , C , ω und û mit der
Anfangsbedingung q (0) = q
0
gelöst.
In der nachstehenden Abbildung sind die Lösung dieser Differenzialgleichung sowie der flüchtige Anteil und der stationäre Anteil dieser Lösung grafisch dargestellt:
Ladung in mC
Zeit in s
0 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 4
0,5
0
–0,5
1
–1
– Kennzeichnen Sie in der obigen Abbildung den Funktionsgraphen des stationären Lösungsanteils. [1 Punkt]
– Lesen Sie aus der obigen Abbildung den Anfangswert q
0
ab. [1 Punkt]