Mathematik-Matura September 2015 · AHS Teil 2 – Lösungen

AHS
21. September 2015
Mathematik
Teil-2-Aufgaben
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung
öffentliches Dokument

2
Aufgabe 1
Die Bedeutung der Parameter in der Funktionsgleichung einer Polynomfunktion
a) Lösungserwartung:
7 = (–1)
2
+ b · (–1) + 16 ⇒ –10 = – b
b = 10
f ′ (–1) = 2 · (–1) + 10 = 8
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt für die korrekte Angabe des Parameters b .
– Ein Punkt für die korrekte Angabe der Steigung der Funktion f an der Stelle x = –1.
b) Lösungserwartung:
f ′ ( x ) = 2 · x + b ⇒ 2 · x
E
+ b = 0
oder:
x
E
= –
b
2
f ( –
b
2
) = –9 ⇒
b
2
4
–
b
2
2
+ 16 = –9
⇒ b = ±10
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für einen korrekten Zusammenhang zwischen x
E
und b .
– Ein Punkt für die Angabe der beiden korrekten Werte für b .
c) Lösungserwartung:
Mögliche Bestimmung der Tiefpunkte:
• Tiefpunkt des Graphen von f liegt auf der x -Achse ⇒ Die Funktion f besitzt genau eine
reelle Nullstelle. f ( x ) = 0 ⇒
1
x
2
= –
b
2
± (
–
b
2
)
2
– 16
⇒ ( –
b
2
)
2
– 16 = 0 ⇒ b
1
= –8 b
2
= 8
⇒ x
1
= 4 x
2
= –4 ⇒ T
1
= (4|0), T
2
= (–4|0)
• Tiefpunkt des Graphen von f liegt auf der senkrechten Achse
⇒ b = 0 ⇒ T
3
= (0|16)
g ( x ) = a · x
2
+ c
g (0) = 16 c = 16
g (4) = 0 ⇒ 16 · a + 16 = 0 ⇒ a = –1 ⇒ g ( x ) = – x
2
+ 16
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die Angabe aller drei Tiefpunkte.
– Ein Punkt für die Angabe einer korrekten Funktionsgleichung der Funktion g . Äquvalente
Funktionsgleichungen sind ebenfalls als richtig zu werten.
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3
d) Lösungserwartung:
f (2) = 2
2
+ 2 · b + 16 = 2 · b + 20
Die Lage der Tangente ergibt sich aus f (2) = f ′ (2) · 2 + d.
Daraus folgt: 2 · b + 20 = (4 + b ) · 2 + d und daraus d = 12, daher ist die Lage des Punktes R
unabhängig von b .
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die korrekte Angabe des Funktionswertes f (2) in Abhängigkeit von b .
– Ein Punkt für einen korrekten rechnerischen Nachweis.
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4
Aufgabe 2
Mehrkampf
a) Lösungserwartung:
P = 12,91 · (70,24 – 4)
1,1
≈ 1 300,64
Eine mögliche Interpretation von b :
b beschreibt die (Mindest-)Leistung (Wurfweite), die übertroffen werden muss, um Punkte zu
erhalten.
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt für die richtige Lösung.
Toleranzintervall: [1300; 1301]
– Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Interpretation. Andere korrekte Interpretationen sind
ebenfalls als richtig zu werten.
b) Lösungserwartung:
P ( M ) = 1,84523 ∙ ( M – 75)
1,348
P ′ ( M ) = 2,48737004 ∙ ( M – 75)
0,348
P ′ (209) ≈ 13,68
Der Wert der Steigung dieser Tangente gibt näherungsweise an, um wie viel sich die Punktezahl bei dieser Leistung pro Zentimeter Sprunghöhenänderung verändert.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die richtige Lösung.
Toleranzintervall: [13; 14]
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das
Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.
– Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Interpretation. Andere korrekte Interpretationen sind
ebenfalls als richtig zu werten.
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5
c) Lösungserwartung:
P
1, linear
( M ) = –235,21 · M + 3 473,97
P
1, linear
( M ) = 0 ⇒ M ≈ 14,77
Um Punkte zu erhalten, dürfte die Laufzeit maximal 14,77 s betragen.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für eine korrekte Funktionsgleichung. Äquivalente Funktionsgleichungen sind
ebenfalls als richtig zu werten.
Toleranzintervall für k : [–236; –235]
Toleranzintervall für d : [3 473; 3 474]
– Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit nicht angegeben werden muss.
Toleranzintervall: [14,7 s; 15 s]
d) Lösungserwartung:
mittlere Änderungsrate zwischen M = 100 und M = 150: –15,14 Punkte pro Sekunde
mittlere Änderungsrate zwischen M = 150 und M = 200: –9,82 Punkte pro Sekunde
Da die Funktion linksgekrümmt ist, sind die Änderungsraten bei kürzeren Laufzeiten (betragsmäßig) größer als bei längeren Laufzeiten.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die korrekte Angabe beider Werte.
Toleranzintervalle: [–16; –14] und [–10; –9]
– Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Begründung. Andere korrekte Begründungen sind
ebenfalls als richtig zu werten.
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Aufgabe 3
Lorenz-Kurve
a) Lösungserwartung:
100 – f (80) = 38,816
Es entfallen ca. 38,8 % des Gesamteinkommens auf die reichsten 20 % der Haushalte.
f ( x ) = 4 · 10
–7
· x
4
+ 2 · 10
–3
· x
2
+ 4 · 10
–1
· x
f ′ ( x ) = 1,6 · 10
–6
· x
3
+ 4 · 10
–3
· x + 4 · 10
–1
f ″ ( x ) = 4,8 · 10
–6
· x
2
+ 4 · 10
–3
Die Funktion f ist linksgekrümmt, weil: f ″ ( x ) = 4,8 · 10
–6
· x
2
+ 4 · 10
–3
> 0 für alle x ∈ [0; 100].
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt für die richtige Lösung. Äquivalente Schreibweisen des Ergebnisses
(als Bruch oder Dezimalzahl) sind ebenfalls als richtig zu werten.
Toleranzintervalle: [38 %; 39 %] bzw. [0,38; 0,39]
– Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Begründung.
b) Lösungserwartung:
A
1
= ∫
100
0
f ( x ) d x = 3 466,6
_
A
2
=
100 · 100
2
= 5 000
A
2
– A
1
A
2
=
1 533,3
_
5 000
= 0,306
_
≈ 0,31
Der Gini-Koeffizient für das Land mit der Lorenz-Kurve f beträgt 0,31.
0
5 000
= 0
Der Wert des Gini-Koeffizienten für einen Staat, in dem alle Haushalte gleich viel verdienen,
beträgt 0.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die richtige Lösung.
Toleranzintervall: [0,30; 0,31]
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das
Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.
– Ein Punkt für die richtige Lösung.
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7
Aufgabe 4
FSME-Impfung
a) Lösungserwartung:
0,05 · 0,3 · 0,3 = 0,0045
Die Wahrscheinlichkeit beträgt 0,45 %.
In einem Risikogebiet ist schlimmstenfalls jede zwanzigste Zecke mit FSME infiziert, d. h., der
Anteil infizierter Zecken ist bis zu 1 000-mal höher als in einem Nichtrisikogebiet.
Daher ändert sich die berechnete Wahrscheinlichkeit für eine FSME-Erkrankung um den
Faktor
1
1 000
.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die richtige Lösung. Äquivalente Schreibweisen des Ergebnisses (als Bruch
oder Dezimalzahl) sind ebenfalls als richtig zu werten.
Toleranzintervalle: [0,4 %; 0,5 %] bzw. [0,004; 0,005]
– Ein Punkt für die richtige Lösung sowie eine (sinngemäß) korrekte Begründung. Bei einer
entsprechenden (sinngemäß) korrekten Begründung ist der Faktor 1 000 ebenfalls als richtig
zu werten.
b) Lösungserwartung:
Da im Durchschnitt 1 % der Erkrankungen tödlich verlaufen, war nur ein Todesfall (1 % von
113) zu erwarten. Vier Todesfälle sind daher mehr, als zu erwarten war.
Mögliche Berechnung:
n = 400, h = 0,16
2 ∙ ϕ ( z ) – 1 = 0,95 ⇒ z = 1,96
h ± z ·
h ∙ (1 – h )
n
= 0,16 ± 1,96 ∙
0,16 ∙ (1 – 0,16)
400
≈ 0,16 ± 0,036 ⇒ [0,124; 0,196]
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt für die richtige Antwort sowie eine (sinngemäß) korrekte Begründung.
– Ein Punkt für ein korrektes Intervall. Andere Schreibweisen des Ergebnisses (als Bruch oder
Dezimalzahl) sind ebenfalls als richtig zu werten.
Toleranzintervall für den unteren Wert: [0,12; 0,13]
Toleranzintervall für den oberen Wert: [0,19; 0,2]
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das
Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.
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