Mathematik-Matura September 2015 · AHS Teil 1 – Lösungen

AHS
21. September 2015
Mathematik
Teil-1-Aufgaben
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung
öffentliches Dokument

2
Aufgabe 1
Gleichungen
Lösungserwartung:
x = 2 x
x
2
= – x
x
3
= –1
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich alle laut Lösungserwartung richtigen
Gleichungen angekreuzt sind.
öffentliches Dokument

3
Aufgabe 2
Gleichungssystem
Lösungserwartung:
1
x + 2 y = 8
2
hat das Gleichungssystem keine
Lösung
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn für jede der beiden Lücken ausschließlich der laut
Lösungserwartung richtige Satzteil angekreuzt ist.
öffentliches Dokument

4
Aufgabe 3
Vektoren
Lösungserwartung:
a
c b
d
– c
– c
b
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine richtige Darstellung des gesuchten Pfeils, wobei der Lösungspfeil auch von
anderen Ausgangspunkten aus gezeichnet werden kann.
öffentliches Dokument

5
Aufgabe 4
Schnittpunkt einer Geraden mit der x -Achse
Lösungserwartung:
Mögliche Berechnung:
{
1 + t = x
– 5 + 7 t = 0
⇒ t =
5
7
, x =
12
7
⇒ S =
( )
12
7
|
0
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei beide Koordinaten des gesuchten Punktes korrekt angegeben sein müssen. Andere Schreibweisen des Ergebnisses sind ebenfalls als richtig zu werten.
Toleranzintervall für die erste Koordinate: [1,70; 1,72]
öffentliches Dokument

6
Aufgabe 5
Normalvektor
Lösungserwartung:
→
n =
( )
2
5
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Jeder Vektor
→
n mit
→
n = c ·
( )
2
5
mit c ∈ ℝ , c ≠ 0 ist ebenfalls
als richtig zu werten.
öffentliches Dokument

7
Aufgabe 6
Sonnenhöhe
Lösungserwartung:
s =
h
tan( φ )
mit φ ∈ (0°; 90°) bzw. φ ∈ (0;
π
2
)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Formel, wobei der Definitionsbereich für φ nicht angegeben werden
muss. Äquivalente Ausdrücke sind ebenfalls als richtig zu werten.
öffentliches Dokument

8
Aufgabe 7
Bewegung
Lösungserwartung:
s ( t )
t
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10
60
50
40
30
20
10
0
70
s
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Skizze, wobei folgende Aspekte erkennbar sein müssen:
• der Graph verläuft durch die in der Tabelle angegebenen Punkte
• s ′ (0) = s ′ (10) = 0
• linksgekrümmt in [0; 3), rechtsgekrümmt in (6; 10] und linearer Verlauf in [3; 6]
öffentliches Dokument

9
Aufgabe 8
Modellierung
Lösungserwartung:
Die Gesamtkosten bei der Herstellung einer Keramikglasur setzen sich aus
einmaligen Kosten von € 1.000 für die Maschine und € 8 pro erzeugtem
Kilogramm Glasur zusammen.
Stellen Sie die Gesamtkosten für die Herstellung einer Keramikglasur in Abhängigkeit von den erzeugten Kilogramm Glasur dar!
Ein zinsenloses Wohnbaudarlehen von € 240.000 wird 40 Jahre lang mit
gleichbleibenden Jahresraten von € 6.000 zurückgezahlt.
Stellen Sie die Restschuld in Abhängigkeit von der Anzahl der vergangenen
Jahre dar!
Bleibt in einem Stromkreis die Spannung konstant, so ist die Leistung direkt
proportional zur Stromstärke.
Stellen Sie die Leistung im Stromkreis in Abhängigkeit von der Stromstärke
dar!
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich alle laut Lösungserwartung richtigen
Aufgabenstellungen angekreuzt sind.
öffentliches Dokument

10
Aufgabe 9
Potenzfunktion
Lösungserwartung:
f ( x ) = – x
–2
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die laut Lösungserwartung richtige
Gleichung angekreuzt ist.
öffentliches Dokument

11
Aufgabe 10
Eigenschaften einer Polynomfunktion
Lösungserwartung:
Jede Polynomfunktion dritten Grades hat genau eine
Wendestelle.
Jede Polynomfunktion dritten Grades hat höchstens
zwei lokale Extremstellen.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen
Aussagen angekreuzt sind.
öffentliches Dokument

12
Aufgabe 11
Exponentialfunktion
Lösungserwartung:
f ( x ) = 25 · 0,8
x
oder:
f ( x ) = 25 · ℯ
ln(0,8)∙ x
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Funktionsgleichung. Äquivalente Funktionsgleichungen sind ebenfalls
als richtig zu werten.
Toleranzintervall für ln(0,8): [–0,23; –0,22]
öffentliches Dokument

13
Aufgabe 12
Sinusfunktion
Lösungserwartung:
A sin( x )
B 1,5 ∙ sin( x )
C sin(0,5 x )
D 1,5 ∙ sin(2 x )
E 2 ∙ sin(0,5 x )
F 2 ∙ sin(3 x )
x
0
1
2
3
4
π/3 2π/3 π 4π/3 5π/3 2π –π/3 –2π/3
–1
–2
–3
f 1 ( x )
f 1
F
x
0
1
2
3
4
π/3 2π/3 π 4π/3 5π/3 2π –π/3 –2π/3
–1
–2
–3
f 2 ( x )
f 2
C
x
0
1
2
3
4
π/3 2π/3 π 4π/3 5π/3 2π –π/3 –2π/3
–1
–2
–3
f 3 ( x )
f 3 B
f 4 ( x )
x
0
1
2
3
4
π/3 2π/3 π 4π/3 5π/3 2π –π/3 –2π/3
–1
–2
–3
f 4 D
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn jedem der vier Graphen ausschließlich der laut
Lösungserwartung richtige Buchstabe zugeordnet ist.
öffentliches Dokument

14
Aufgabe 13
Differenzen- und Differenzialquotient
Lösungserwartung:
f ′ ( x 1 ) = 0
f ( x
3
) – f ( x
1
)
x
3
– x
1
= f ′ ( x
2
)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen
Aussagen angekreuzt sind.
öffentliches Dokument

15
Aufgabe 14
Ableitung einer Winkelfunktion
Lösungserwartung:
f ′ ( x ) = –5 · sin( x ) + 3 · cos(3 · x )
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Funktionsgleichung. Äquivalente Funktionsgleichungen sind ebenfalls
als richtig zu werten.
öffentliches Dokument

16
Aufgabe 15
Stammfunktion einer konstanten Funktion
Lösungserwartung:
x
F ( x )
0 3 2 1 –1 –2 –3 –4 4
0
2
1
3
4
–2
–3
–4
–1
F
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die lineare Stammfunktion F durch den Punkt
P = (1|1) verläuft und die Steigung –2 hat.
öffentliches Dokument

17
Aufgabe 16
Graph einer Ableitungsfunktion
Lösungserwartung:
Die Funktion f ist eine Polynomfunktion dritten Grades.
Die Funktion f hat an der Stelle x = 0 eine Wendestelle.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen
Aussagen angekreuzt sind.
öffentliches Dokument

18
Aufgabe 17
Integrationsregeln
Lösungserwartung:
∫
b
a
( f ( x ) + x ) d x =
∫
b
a
f ( x ) d x +
∫
b
a
x d x
∫
b
a
(3 · f ( x )) d x = 3 ·
∫
b
a
f ( x ) d x
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen
Gleichungen angekreuzt sind.
öffentliches Dokument

19
Aufgabe 18
Durchflussrate
Lösungserwartung:
Der Ausdruck beschreibt die durch das Rohr geflossene Wassermenge (in Litern) vom Zeitpunkt
t = 60 bis zum Zeitpunkt t = 120.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Interpretation.
öffentliches Dokument

20
Aufgabe 19
Entwicklung der Landwirtschaft in Österreich
Lösungserwartung:
Die durchschnittliche Betriebsgröße hat von 1995 bis 1999
im Jahresdurchschnitt um mehr Hektar zugenommen als von
1999 bis 2010.
Die Gesamtgröße der land- und forstwirtschaftlich genutzten
Fläche hat von 1995 bis 2010 abgenommen.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung
richtigen Aussagen angekreuzt sind.
öffentliches Dokument

21
Aufgabe 20
Statistische Kennzahlen
Lösungserwartung:
Standardabweichung
Spannweite
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen
Antwortmöglichkeiten angekreuzt sind.
öffentliches Dokument

22
Aufgabe 21
Rote und blaue Kugeln
Lösungserwartung:
1
G = {( r , r ), ( r , b ), ( b , r ), ( b , b )}
2
jede Teilmenge des Grund raumes
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn für jede der beiden Lücken ausschließlich der laut
Lösungserwartung richtige Satzteil angekreuzt ist.
öffentliches Dokument

23
Aufgabe 22
Augensumme beim Würfeln
Lösungserwartung:
P ( E ) =
7
36
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen des Ergebnisses (als Dezimalzahl oder in
Prozent) sind ebenfalls als richtig zu werten.
Toleranzintervalle: [0,19; 0,20] bzw. [19 %; 20 %]
öffentliches Dokument

24
Aufgabe 23
Gewinn beim Glücksrad
Lösungserwartung:
G = 5 – (
1
4
· 5 +
1
8
· 10 +
1
8
· 15 ) =
5
8
⇒ G ≈ € 0,63
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit nicht angeführt sein muss.
Toleranzintervall: [0,62; 0,63]
öffentliches Dokument

25
Aufgabe 24
Sammelwahrscheinlichkeit bei Überraschungseiern
Lösungserwartung:
1 – (
6
7
)
10
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen des Ergebnisses (als Dezimalzahl, in Prozent) sind ebenfalls als richtig zu werten.
Toleranzintervalle: [0,78; 0,79] bzw. [78 %; 79 %]
öffentliches Dokument