Mathematik-Matura Mai 2015 · HTL Cluster T2 – Lösungen

BHS
11. Mai 2015
Angewandte Mathematik
Teil A + Teil B (Cluster 2)
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung
öffentliches Dokument

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Korrektur- und Beurteilungsanleitung
zur standardisierten schriftlichen Reife- und Diplomprüfung
in Angewandter Mathematik
(Detaillierte Informationen dazu finden Sie für den BHS-Bereich im Erlass mit der Geschäftszahl
BMBF-17.200/0166-II/2014 des Bundesministeriums für Bildung und Frauen.)
Kompetenzbereiche
Im Beurteilungsmodell für die Angewandte Mathematik wird zwischen zwei Kompetenzbereichen
unterschieden:
n Kompetenzbereich A ( KA ) umfasst die unabhängig
1
erreichbaren Punkte der Komplexitätsstufen 1 und 2 aus dem Kompetenzstufenraster.
n Kompetenzbereich B ( KB ) umfasst die abhängig erreichbaren Punkte und die Punkte der
Komplexitätsstufe 3 und 4 aus dem Kompetenzstufenraster.
Die Summe der unabhängig erreichbaren Punkte aus den Komplexitätsstufen 1 und 2 ( KA ) stellt die
„wesentlichen Bereiche“ eines Klausurheftes dar.
Beurteilung
Als Hilfsmittel für die Beurteilung wird ein auf ein Punktesystem basierender Beurteilungsschlüssel angegeben. Je nach gewichteter Schwierigkeit der vergebenen Punkte in den „wesentlichen
Bereichen“ wird festgelegt, ab wann die „wesentlichen Bereiche überwiegend“ (Genügend) erfüllt
sind, d. h., gemäß einem Punkteschema müssen Punkte aus dem Kompetenzbereich A unter Einbeziehung von Punkten aus dem Kompetenzbereich B in ausreichender Anzahl abhängig von der
Zusammenstellung der Klausurhefte gelöst werden. Darauf aufbauend wird die für die übrigen Notenstufen zu erreichende Punktezahl festgelegt.
Nach der Punkteermittlung soll die Arbeit der Kandidatin/des Kandidaten nochmals ganzheitlich
qualitativ betrachtet werden. Unter Zuhilfenahme des Punkteschemas und der ganzheitlichen Betrachtung ist ein verbal begründeter Beurteilungsvorschlag der Prüferin / des Prüfers zu erstellen,
wobei die Ergebnisse der Kompetenzbereiche A und B in der Argumentation zu verwenden sind.
Beurteilungsschlüssel für die vorliegende Klausur:
42–47 Punkte Sehr gut
36–41 Punkte Gut
30–35 Punkte Befriedigend
20–29 Punkte Genügend
0–19 Punkte Nicht genügend
1
Unabhängige Punkte sind solche, für die keine mathematische Vorleistung erbracht werden muss. Als mathematische Vorleistung gilt z. B. das Aufstellen einer Gleichung (unabhängiger Punkt) mit anschließender Berechnung (abhängiger Punkt).
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Handreichung zur Korrektur
der standardisierten schriftlichen Reife- und Diplomprüfung
in Angewandter Mathematik
1. In der Lösungserwartung ist nur ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen.
2. Der Lösungsschlüssel ist verbindlich anzuwenden unter Beachtung folgender Vorgangsweisen:
a. Grundsätzlich sind Punkte nur zu vergeben, wenn die abgefragte Handlungskompetenz in
der Bearbeitung als erfüllt zu erkennen ist.
b. Berechnungen ohne nachvollziehbaren Rechenansatz bzw. ohne nachvollziehbare Dokumentation des Technologieeinsatzes (verwendete Ausgangsparameter und die verwendete
Technologiefunktion müssen angegeben sein) sind mit null Punkten zu bewerten.
c. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen bzw. Lösungswege von der Kandidatin / vom
Kandidaten angeboten und nicht alle diese Lösungen bzw. Lösungswege sind korrekt, so
ist diese Teilaufgabe mit null Punkten zu bewerten.
d. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Das heißt zum Beispiel:
Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu vergeben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht vereinfacht.
e. Werden von der Kandidatin / vom Kandidaten kombinierte Handlungsanweisungen in einem
Lösungsschritt erbracht, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der Lösungsschlüssel
Einzelschritte vorgibt.
f. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als solche
identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner Vereinfachung
der Aufgabenstellung führen.
g. Rundungsfehler können vernachlässigt werden, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert ist.
h. Jedes Diagramm bzw. jede Skizze, die Lösung einer Handlungsanweisung ist, muss eine
qualitative Achsenbeschriftung enthalten, andernfalls ist dies mit null Punkten zu bewerten.
i. Die Angabe von Einheiten kann bei der Punktevergabe vernachlässigt werden, sofern sie im
Lösungsschlüssel nicht explizit eingefordert wird.
3. Sind Sie sich als Korrektor/in über die Punktevergabe nicht schlüssig, können Sie eine Korrekturanfrage an das BIFIE (via Telefon-Hotline oder Online-Helpdesk) stellen.
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Aufgabe 1
Farbenfrohe Gummibären
Möglicher Lösungsweg
a) x
–
=
17 · 2 + 20 · 3 + 21 · 3 + 22 · 1 + 24 · 4
2 + 3 + 3 + 1 + 4
= 21,153... ≈ 21,15
b) Diese Packung enthält mindestens 26 und höchstens 34 gelbe Gummibären.
c) Anteil einer Geschmacksrichtung:
1
6
Da die Farbe Rot 2-mal vorkommt:
1
6
+
1
6
=
1
3
≈ 33,33 %.
d)
P („Gummibär wird aussortiert“) = 1 – P (2,05 ≤ X ≤ 2,55) = 0,01241... ≈ 0,0124
Ein zufällig ausgewählter Gummibär wird mit einer Wahrscheinlichkeit von rund 1,24 % aussortiert.
Lösungsschlüssel
a) 1 × B: für die richtige Berechnung des arithmetischen Mittels (KA)
b) 1 × C: für das richtige Ablesen des Bereichs (KA)
c) 1 × B: für die richtige Berechnung des Prozentsatzes (KA)
d) 1 × A: für das richtige Eintragen der fehlenden Beschriftungen ( μ und μ + σ bzw. die entsprechenden Werte 2,3 und 2,4) (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung der Wahrscheinlichkeit (KB)
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Aufgabe 2
Ganzkörperhyperthermie
Möglicher Lösungsweg
a) –0,18 ∙ t
3
+ 0,85 ∙ t
2
+ 0,6 ∙ t + 36,6 = 37
Lösung der Gleichung mittels Technologieeinsatz: t = 0,429... ⇒ t ≈ 0,43 h
b) Dazu muss das Maximum der Funktion f ermittelt werden: Man berechnet die Nullstellen der
1. Ableitung f ′ . Dann berechnet man die Funktionswerte an diesen Stellen und den Randstellen. Die größte dieser Zahlen ist der maximale Funktionswert.
Die 1. Ableitung einer Polynomfunktion 3. Grades ist eine quadratische Funktion. Eine quadratische Funktion hat höchstens 2 Nullstellen. Daher kann der Graph der Polynomfunktion
3. Grades nur höchstens 2 Extrempunkte haben.
c) Die stärkste Temperaturzunahme erfolgt an der Maximumstelle von f ′ :
f ″ ( t ) = –1,08 t + 1,7
–1,08 t + 1,7 = 0 ⇒ t = 1,57... ≈ 1,6
Rund 1,6 Stunden nach Beginn der Therapie ist die Temperaturzunahme am größten.
d)
–
f =
1
5
∙
∫
5
0
f ( t )d t = 39,55... ≈ 39,6
Die mittlere Körpertemperatur beträgt rund 39,6 °C.
Lösungsschlüssel
a) 1 × B: für die richtige Berechnung des Zeitpunktes (KA)
b) 1 × C: für die richtige Dokumentation zur Berechnung der maximalen Körpertemperatur
(In der Grafik ist klar zu erkennen, dass der Extremwert der maximalen Körpertemperatur entspricht. Daher sind eine Überprüfung mithilfe der 2. Ableitung und eine Überprüfung der Randstellen nicht erforderlich.) (KA)
1 × D: für die richtige Begründung (KB)
c) 1 × A: für die richtige Modellbildung (Ermittlung der Wendestelle) (KA)
1 × B: für die korrekte Berechnung des Zeitpunktes der maximalen Temperaturzunahme
(In der Grafik ist klar zu erkennen, dass an der Stelle der maximalen Temperaturänderung eine Temperaturzunahme vorliegt. Daher ist eine rechnerische Überprüfung, ob an
der berechneten Stelle eine Zu- oder Abnahme erfolgt, nicht erforderlich.) (KB)
d) 1 × B: für die richtige Berechnung der mittleren Körpertemperatur (KA)
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Aufgabe 3
Halbwertszeit des Wissens
Möglicher Lösungsweg
a)
b) Aufstellen der Exponentialfunktion:
T ( t ) = 100 ∙ 2
–
t
3
t ... Zeit in Jahren
T ( t ) ... Relevanz des Technologiewissens zur Zeit t in Prozent der anfänglichen Relevanz des
Wissens
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
1 = 100 ∙ 2
–
t
3
⇒ t = 19,9... ≈ 20
Nach rund 20 Jahren ist die Relevanz des Technologiewissens auf 1 % der anfänglichen Relevanz gesunken.
c) 100 – N (7) = 100 – 100 ∙ ℯ
–0,0693∙7
= 38,4... ≈ 38
Die Relevanz des Hochschulwissens hat um rund 38 % abgenommen.
d) k = –
5
2
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige Einzeichnen des Funktionsgraphen im Intervall [0; 15] (dabei müssen
die Werte nach 5, 10 bzw. 15 Jahren als 50 %, 25 % bzw. 12,5 % erkennbar sein) (KA)
b) 1 × A: für das richtige Aufstellen der Exponentialfunktion (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung der Zeitdauer (KB)
c) 1 × B: für die richtige Berechnung des Prozentsatzes (KA)
d) 1 × C: für das richtige Ablesen der Steigung (KA)
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Aufgabe 4
Gold
Möglicher Lösungsweg
a) Kantenlänge des Würfels: a = √ V
3
=
3
1,713 ∙ 10
11
g
19,3
g
cm
3
= 2 070,4... cm
Der Würfel hat eine Kantenlänge von rund 20,7 Metern.
b) W =
m ∙ p
31,1035
c) Die weltweite jährliche Förderung ist zwischen 1980 und 1990 absolut am stärksten gestiegen.
d) Die angegebenen Prozentsätze dürfen nicht addiert werden, weil sie sich nicht auf denselben
Grundwert beziehen.
Der Wert der Goldmünze ist um den Faktor 1,2 ∙ 1,1 = 1,32 gestiegen, also um 32 %.
Lösungsschlüssel
a) 1 × B: für die richtige Berechnung der Kantenlänge in Metern (KA)
b) 1 × A: für das richtige Erstellen der Formel (KA)
c) 1 × C: für das richtige Ablesen des Jahrzehnts mit dem stärksten Anstieg (KA)
d) 1 × D: für die richtige Begründung, warum die angegebene Wertsteigerung nicht richtig ist,
oder die Angabe des richtigen Prozentsatzes (KA)
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Aufgabe 5
Stadtturm
Möglicher Lösungsweg
a)
51
tan( α )
–
51
tan(2 α )
= 52,471... ≈ 52,47
Man muss sich um rund 52,47 m annähern.
b) Der Höhenwinkel α (0° < α < 90°) kann bestimmt werden durch:
α = arctan (
h
b
)
c) Die einzukleidende Fläche setzt sich aus 2 Rechtecken (Seitenlängen 51 m und 4 m) zusammen. Um die Gesamtmasse der Glasverkleidung in Tonnen zu erhalten, muss der Gesamt-
Flächeninhalt dieser beiden Rechtecke in Quadratmetern mit der Masse von 30 Kilogramm
pro Quadratmeter multipliziert und anschließend durch 1 000 dividiert werden.
Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für die Verwendung eines richtigen Modells zur Berechnung (KA)
1 × B: für die richtige Berechnung der Streckenlänge
––
PB (KB)
b) 1 × A: für das richtige Aufstellen der Formel zur Berechnung des Höhenwinkels (KA)
c) 1 × C: für die richtige Dokumentation zur Berechnung der Gesamtmasse in Tonnen (KA)
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Aufgabe 6 (Teil B)
Schadstoffausbreitung
Möglicher Lösungsweg
a) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
–
x = 158,5 mg/m
3
Zweiseitiges 95-%-Konfidenzintervall mithilfe der Normalverteilung bestimmen:
–
x ± u
1 –
α
2
∙
σ
√ n
n = 10
α = 5 %
u
0,975
= 1,959...
Daraus ergibt sich folgendes Konfidenzintervall in mg/m
3
: 153,2 ≤ μ ≤ 163,8.
b)
Länge dieser Strecke entspricht
der in der Dichtefunktion
dargestellten Wahrscheinlichkeit
210 200 190 180 170 160 150 140 130 120 220
Schadstoffkonzentration in mg/m 3
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
1
Der Wert der Verteilungsfunktion an einer Stelle x ist das Integral der Dichtefunktion
von –∞ bis x .
Oder umgekehrt: Die Dichtefunktion ist die Ableitung der Verteilungsfunktion.
c) 99-%-Zufallsstreubereich mithilfe der Normalverteilung bestimmen:
μ ± u
1 –
α
2
∙ σ
α = 1 %
u
0,995
= 2,575...
Daraus ergibt sich folgender Zufallsstreubereich in mg/m
3
: [134,2; 185,8].
Der 95-%-Zufallsstreubereich ist schmäler als der entsprechende 99-%-Zufallsstreubereich.
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Lösungsschlüssel
a) 1 × B1: für die richtige Berechnung des Stichprobenmittelwerts
–
x (KA)
1 × A: für die Verwendung des richtigen Modells (Konfidenzintervall mithilfe der Normalverteilung) (KB)
1 × B2: für die richtige Ermittlung des Konfidenzintervalls (KB)
b) 1 × A1: für das richtige Einzeichnen des Graphen der Verteilungsfunktion (eine qualitative Beschriftung der Ordinatenachse ist nicht notwendig) (KA)
1 × A2: für das richtige Veranschaulichen der Wahrscheinlichkeit in Abbildung 2 (KB)
1 × D: für das richtige Erklären des mathematischen Zusammenhangs zwischen Dichte funktion und Verteilungs funktion (KB)
c) 1 × B: für die richtige Ermittlung des Zufallsstreubereichs (KA)
1 × C: für die richtige Beschreibung der Veränderung der Breite des Zufallsstreubereichs (KA)
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Aufgabe 7 (Teil B)
Bakterienkultur
Möglicher Lösungsweg
a)
d N
d t
= k ∙ N
∫
1
N
d N =
∫
k d t
ln| N | = k ∙ t + c
allgemeine Lösung der Differenzialgleichung: N mit N ( t ) = C ∙ ℯ
k ∙ t
N (0) = 50 und N (100) = 750 liefert: C = 50 und k = 0,0270...
N (180) = 6 545,3... ≈ 6 545
Nach 3 Stunden sind rund 6 545 Bakterien vorhanden.
Wenn die Wachstumsrate der Bakterienkultur größer ist, dann bedeutet das, dass die Anzahl
der Bakterien schneller wächst.
b) Ermittlung der exponentiellen Ausgleichsfunktion mittels Technologieeinsatz:
f ( t ) = 69,43 ∙ ℯ
0,03065 ∙ t
t … Zeit nach Beginn der Beobachtung in Minuten
f ( t ) … Bakterienanzahl zur Zeit t
Abhängig von der verwendeten Technologie kann man geringfügig abweichende Koeffizienten
bei der Ermittlung der Ausgleichsfunktion erhalten.
Lösen der Gleichung f ( t ) = 1 000 mittels Technologieeinsatz:
t ≈ 87,0
Rund 87 Minuten nach Beginn der Beobachtung sind 1 000 Bakterien zu erwarten.
c) Ablesen der Wendestelle der Funktion B : t = 60 min
Toleranzbereich: [55; 65]
Rund 60 Minuten nach Beginn der Beobachtung ist das Wachstum der Bakterienkultur am
größten.
Für B < 1 000 ist jeder Faktor auf der rechten Seite der Differenzialgleichung positiv, also
d B
d t
> 0. Daher nimmt die Bakterienzahl für diese Werte zu.
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Lösungsschlüssel
a) 1 × A: für das richtige Aufstellen der Differenzialgleichung (KA)
1 × B1: für die richtige allgemeine Lösung der Differenzialgleichung (KB)
1 × B2: für die richtige Berechnung der Bakterienanzahl nach 3 Stunden (KB)
1 × C: für die richtige Beschreibung der Veränderung des Wachstumsverhaltens (KB)
b) 1 × B1: für die richtige Ermittlung der Ausgleichsfunktion (KA)
1 × B2: für die richtige Berechnung, nach welcher Zeit 1 000 Bakterien zu erwarten sind (KB)
c) 1 × C: für das richtige Ablesen im Toleranzbereich [55; 65] (KA)
1 × D: für eine richtige Argumentation anhand der Differenzialgleichung (KB)
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Aufgabe 8 (Teil B)
Thermistor
Möglicher Lösungsweg
a) Begründung für die Monotonie:
Für größer werdendes T (und b > 0) wird die Hochzahl
b
T
immer kleiner und damit
(wegen a > 0) auch a ∙ ℯ
b
T
.
b) g ( T ) = k ∙ T + d
R ′ ( T ) = – a ∙ b ∙
1
T
2
∙ ℯ
b
T
Steigung: k = R ′ (373,15) ergibt k = –1,458... ≈ –1,46.
Achsenabschnitt: d = R (373,15) – k ∙ 373,15 ergibt d = 625,353... ≈ 625,35.
Betrag des relativen Fehlers an der Stelle T = 390 K: |
R (390) – g (390)
R (390)
| ≈ 6,8 %
c) Ermitteln der Ausgleichsfunktion mittels Technologieeinsatz:
P ( T ) = –9,4 ∙ 10
–4
∙ T
3
+ T
2
– 365 ∙ T + 4,4 ∙ 10
4
Abhängig von der verwendeten Technologie kann man geringfügig abweichende Koeffizienten
bei der Ermittlung der Ausgleichsfunktion erhalten.
Da in der Abbildung der Wendepunkt erkennbar ist, ist diese Polynomfunktion 3. Grades
streng monoton fallend und es liegen somit keine Stellen mit horizontaler Tangentensteigung
vor. Daher hat die 1. Ableitung von P keine reellen Nullstellen.
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Lösungsschlüssel
a) 1 × D: für die richtige Begründung zur Monotonie (Verweis auf die Grafik ist nicht ausreichend)
(KA)
1 × B: für das richtige Zeichnen des Funktionsgraphen im angegebenen Intervall (KA)
b) 1 × A: für den richtigen Ansatz zur Linearisierung der Funktion R (KA)
1 × B1: für die richtige Berechnung der Tangente (KB)
1 × B2: für die richtige Ermittlung des Betrags des relativen Fehlers (KB)
c) 1 × B: für die richtige Ermittlung der Ausgleichsfunktion (KA)
1 × D: für die richtige Erklärung ausgehend von der Abbildung (KB)
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