Mathematik-Matura Mai 2015 · AHS Teil 2 – Lösungen

AHS
11. Mai 2015
Mathematik
Teil-2-Aufgaben
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung
öffentliches Dokument

2
Aufgabe 1
200-m-Lauf
a) Lösungserwartung:
s ″ ( t ) = –
7
75
· t + 1,4
s ‴ ( t ) = –
7
75
s ″ ( t ) = 0 ⇔ t = 15
s ‴ (15) = –
7
75
≠ 0
Mögliche Interpretationen:
Nach ca. 15 Sekunden erreicht die Läuferin ihre Höchstgeschwindigkeit.
oder:
Bis zum Zeitpunkt t = 15 Sekunden nimmt die Geschwindigkeit der Läuferin zu.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei der Nachweis, dass bei t = 15 eine Wendestelle
vorliegt (z. B. durch s ‴ (15) ≠ 0), nicht angeführt werden muss.
Toleranzintervall für t : [14; 16]
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das
Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.
– Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Interpretation.
b) Lösungserwartung:
200
26,04
≈ 7,68
Die mittlere Geschwindigkeit beträgt ca. 7,68 m/s.
Es gibt mindestens einen Zeitpunkt, für den die Momentangeschwindigkeit der Läuferin gleich
der mittleren Geschwindigkeit für die gesamte Laufstrecke ist.
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit nicht angeführt werden muss.
Toleranzintervall: [7,6; 7,7]
– Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Interpretation.
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Aufgabe 2
Altersbestimmung
a) Lösungserwartung:
τ =
In(2)
λ
≈ 5 728
Die Halbwertszeit von
14
C beträgt ca. 5 728 Jahre.
Mögliche Überprüfungen:
(
1
2
)
10
≈ 0,00098 <
1
1 000
oder:
N
0
· ℯ
– λ ·5 728 · 10
≈ 0,00098 · N
0
<
N
0
1 000
Das bedeutet, dass die Nachweisgrenze von
14
C nach 10 Halbwertszeiten unterschritten ist.
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit Jahre nicht angeführt werden
muss.
Toleranzintervall: [5 727; 5 730]
– Ein Punkt für einen korrekten Nachweis. Jeder korrekte Nachweis, der zeigt, dass nach
10 Halbwertszeiten die Nachweisgrenze von
14
C unterschritten ist, ist ebenfalls als richtig zu
werten.
b) Lösungserwartung:
0,535 · N
0
= N
0
· ℯ
– λ · t 1 ⇒ t
1
=
In(0,535)
– λ
≈ 5 169
0,525 · N
0
= N
0
· ℯ
– λ · t 2 ⇒ t
2
=
In(0,525)
– λ
≈ 5 325
Das Alter der Mumie (in Jahren) lag zum Zeitpunkt ihres Auffindens im Intervall [5 169; 5 325].
Für große Werte von t wird der Graph der Funktion N flacher, d. h., einem Intervall konstanter
Länge auf der N ( t )-Achse entspricht ein größeres Intervall auf der t -Achse.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für ein korrektes Intervall.
Toleranzintervall für t
1
: [5 164; 5 174]
Toleranzintervall für t
2
: [5 320; 5 330]
– Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Begründung.
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c) Lösungserwartung:
Mögliche Interpretationen:
N ′ ( t ) beschreibt die (momentane) Zerfallsgeschwindigkeit von
14
C zum Zeitpunkt t .
oder:
N ′ ( t ) beschreibt die (momentane) Änderungsrate (Abnahmerate) der Anzahl der
14
C-Atome
zum Zeitpunkt t .
N ( t + 1) – N ( t ) = – p · N ( t )
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Interpretation.
– Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die laut Lösungserwartung richtige
Differenzengleichung angekreuzt ist.
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Aufgabe 3
Blutgruppen
a) Lösungserwartung:
Blutgruppen: A und AB
Die Aussage ist nicht richtig, weil die Anzahl der Einwohner/innen in den beiden genannten
Ländern nicht gleich groß ist.
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt für die ausschließliche Angabe der beiden Blutgruppen A und AB.
– Ein Punkt für die Angabe, dass die Aussage nicht richtig ist, und eine (sinngemäß) korrekte
Begründung dafür.
b) Lösungserwartung:
Die Wahrscheinlichkeit beträgt 48 %.
Mögliche Berechnung:
n = 100, p = 0,15 ⇒ μ = 15
2 · ϕ ( z ) – 1 = 0,9 ⇒ z = 1,645
μ ± z · σ = 15 ± 1,645 · √100 · 0,15 · 0,85 ≈ 15 ± 6 ⇒ [9; 21]
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die richtige Lösung. Äquivalente Schreibweisen des Ergebnisses (als Bruch
oder Dezimalzahl) sind ebenfalls als richtig zu werten.
– Ein Punkt für ein korrektes Intervall.
Toleranzintervall für den unteren Wert: [9; 10]
Toleranzintervall für den oberen Wert: [20; 21]
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das
Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.
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c) Lösungserwartung:
Mögliche Berechnung:
n = 150, h = 0,48
2 · ϕ ( z ) – 1 = 0,95 ⇒ z = 1,96
h ± z ·
n
h · (1 – h )
= 0,48 ± 1,96 ·
150
0,48 · (1 – 0,48)
≈ 0,48 ± 0,08 ⇒ [40 %; 56 %]
Bei gleichem Stichprobenergebnis führen eine größere Stichprobe und / oder ein geringeres
Konfidenzniveau zu einer Verringerung der Breite des Konfidenzintervalls.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für ein korrektes Intervall. Äquivalente Schreibweisen des Ergebnisses (als Bruch
oder Dezimalzahl) sind ebenfalls als richtig zu werten.
Toleranzintervall für den unteren Wert: [39 %; 43 %]
Toleranzintervall für den oberen Wert: [53 %; 57 %]
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das
Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.
– Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Angabe der entsprechenden Änderungen beider
Parameter.
d) Lösungserwartung:
0,75
2
+ 0,25
2
= 0,625
Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder die gleiche Blutgruppe haben, beträgt 62,5 %.
Der Vater kann nicht Blutgruppe AB haben, denn sobald ein Elternteil Blutgruppe AB hat, hat
das Kind laut Tabelle nie Blutgruppe 0.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die richtige Lösung. Äquivalente Schreibweisen des Ergebnisses (als Bruch
oder in Prozenten) sind ebenfalls als richtig zu werten. Toleranzintervall: [0,62; 0,63].
– Ein Punkt für die richtige Antwort und eine (sinngemäß) korrekte Begründung, warum (nur)
Blutgruppe AB auszuschließen ist.
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Aufgabe 4
Füllen eines Gefäßes
a) Lösungserwartung:
a ( h ) = k · h + d
a (0) = d = 10
a (20) = 20 · k + 10 = 16 ⇒ k = 0,3
a ( h ) = 0,3 · h + 10
Das Integral gibt das Volumen der enthaltenen Flüssigkeit (in ml) an, wenn das Gefäß bis 5 cm
unter dem Rand (bzw. bis zu einer Höhe von 15 cm) gefüllt ist.
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt für eine korrekte Formel. Äquivalente Formeln sind ebenfalls als richtig zu werten. Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem
Ansatz das Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.
– Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Interpretation.
b) Lösungserwartung:
Die momentane Änderungsrate der Wassermenge beträgt im gesamten Zeitintervall 80 Milli liter pro Sekunde.
q ( t
2
) – q ( t
1
)
t
2
– t
1
= 80
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Interpretation.
– Ein Punkt für die richtige Lösung.
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c) Lösungserwartung:
2 500 = ∫
x
0
(3,6 · h + 120) d h = 1,8 x
2
+ 120 x
1,8 x
2
+ 120 x – 2 500 = 0
x
1
≈ 16 ,7 , ( x
2
< 0)
Das Wasser steht ca. 16,7 cm hoch.
3,6 gibt diejenige Fläche in cm² an, um die die Querschnittsfläche mit jedem zusätzlichen cm
Höhe zunimmt.
oder:
3,6 ist die Steigung der Funktion, die den Inhalt der Querschnittsfläche in der Höhe h angibt.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei weder die negative Lösung der quadratischen Gleichung noch die Einheit cm angeführt werden müssen.
Toleranzintervall: [16,5; 17]
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das
Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.
– Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Interpretation.
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