Mathematik-Matura Mai 2015 · AHS Teil 1 – Lösungen

AHS
11. Mai 2015
Mathematik
Teil-1-Aufgaben
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung
öffentliches Dokument

2
Aufgabe 1
Taschengeld
Lösungserwartung:
Der Term stellt die Höhe des durchschnittlichen wöchentlichen Taschengeldes in Euro dar.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Deutung des Terms, wobei die Begriffe wöchentlich und
in Euro nicht vorkommen müssen.
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3
Aufgabe 2
Fahrenheit und Celsius
Lösungserwartung:
T
C
= ( T
F
– 32) ∙
5
–
9
oder:
T
F
=
9
5
∙ T
C
+ 32
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Gleichung. Äquivalente Gleichungen sind ebenfalls als richtig zu werten.
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4
Aufgabe 3
Gehälter
Lösungserwartung:
Der Ausdruck gibt die Summe der Gehälter der 8 Mitarbeiter/innen des Kleinunternehmens an.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Deutung.
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5
Aufgabe 4
Parameterdarstellung einer Geraden
Lösungserwartung:
g : X =
( )
–1
–6
2
+ t ·
( )
6
3
–5
mit t ∈ ℝ
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Parameterdarstellung der Geraden g , wobei t ∈ ℝ nicht angegeben
werden muss. Äquivalente Parameterdarstellungen der Geraden g sind ebenfalls als richtig zu
werten. Die Angabe der Parameterdarstellung nur in allgemeiner Form wie z. B. g : X = A + t ∙
→
AB
genügt nicht.
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6
Aufgabe 5
Vektoren
Lösungserwartung:
b
1
= 6
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.
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7
Aufgabe 6
Sehwinkel
Lösungserwartung:
g = 2 ∙ r ∙ tan
(
α
2
)
mit α ∈ (0; 180°) bzw. α ∈ (0; π)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Formel, wobei der Definitionsbereich von α nicht angegeben werden
muss. Äquivalente Ausdrücke sind ebenfalls als richtig zu werten.
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8
Aufgabe 7
Volumen eines Drehkegels
Lösungserwartung:
V ( r )
V
r
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die laut Lösungserwartung richtige
Abbildung angekreuzt ist.
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9
Aufgabe 8
Lorenz-Kurve
Lösungserwartung:
Die einkommensschwächsten 40 % der Bevölkerung verfügen über ca. 10 %
des Gesamteinkommens.
Die einkommensschwächsten 90 % der Bevölkerung verfügen über ca. 60 %
des Gesamteinkommens.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Aussagen angekreuzt sind.
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10
Aufgabe 9
Den Graphen einer Polynomfunktion skizzieren
Lösungserwartung:
f ( x )
P
x N
0 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1
f
0
1
2
3
4
–4
–3
–2
–1
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Skizze, wobei alle in der Angabe angeführten Eigenschaften der
Polynomfunktion f erkennbar sein müssen.
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11
Aufgabe 10
Produktionskosten
Lösungserwartung:
Mögliche Interpretationen:
25 ... der Kostenzuwachs für die Produktion eines weiteren Stücks
... zusätzliche (variable) Kosten, die pro Stück für die Produktion anfallen
12 000 ... Fixkosten
... jene Kosten, die unabhängig von der produzierten Stückzahl anfallen
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Interpretation beider Zahlenwerte.
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12
Aufgabe 11
Technetium
Lösungserwartung:
Es dauert 12,02 Stunden.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit Stunden nicht angeführt werden muss.
Toleranzintervall: [11,55; 12,06]
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13
Aufgabe 12
Sinusfunktion
Lösungserwartung:
a = 0,5
b = 3
oder:
a = –0,5
b = –3
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Angabe beider Parameterwerte.
Toleranzintervall für a : [0,48; 0,52] bzw. [–0,52; –0,48]
Toleranzintervall für b : [2,9; 3,1] bzw. [–3,1; –2,9]
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14
Aufgabe 13
Preisänderungen
Lösungserwartung:
1
P
2
– P
0
2
P
2
– P
0
P
0
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn für jede der beiden Lücken ausschließlich der laut
Lösungserwartung richtige Satzteil angekreuzt ist.
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15
Aufgabe 14
Mittlere Änderungsrate der Temperatur
Lösungserwartung:
D =
T (30) – T (20)
10
°C/min
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Angabe des Terms. Äquivalente Ausdrücke sind ebenfalls als richtig zu
werten. Die Angabe des Terms nur in allgemeiner Form wie z. B.
T ( b ) – T ( a )
b – a
genügt nicht.
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16
Aufgabe 15
Kredit
Lösungserwartung:
y
3
= 1,05 ∙ y
2
– 20 000
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Gleichung. Äquivalente Gleichungen sind ebenfalls als richtig zu werten.
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17
Aufgabe 16
Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion
Lösungserwartung:
1
im Intervall [–1; 1] positiv
2
f ist im Intervall [–1; 1] streng
monoton steigend
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn für jede der beiden Lücken ausschließlich der laut
Lösungserwartung richtige Satzteil angekreuzt ist.
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18
Aufgabe 17
Graph einer Ableitungsfunktion
Lösungserwartung:
Die Funktion f hat im Intervall [–4; 5] zwei lokale Extremstellen.
Die Funktion f hat an der Stelle x = 1 eine Wendestelle.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Aussagen angekreuzt sind.
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19
Aufgabe 18
Integral einer Funktion f
Lösungserwartung:
A = ∫
2
1
f ( x )d x – ∫
1
–2
f ( x )d x
oder:
A = ∫
2
–2
| f ( x ) | d x
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für einen korrekten Ausdruck für A , wobei äquivalente Darstellungen sowie Schreibweisen wie
∫
2
1
f d x –
∫
1
–2
f d x und Schreibweisen ohne „d x “ (wie etwa
∫
2
1
f –
∫
1
–2
f ) ebenfalls als
richtig zu werten sind.
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20
Aufgabe 19
Internetplattform
Lösungserwartung:
Der Median der Anzahl von Besuchen pro Woche ist bei den Burschen
etwas höher als bei den Mädchen.
Der Anteil der Burschen, die mehr als 20-mal pro Woche die Plattform
nützen, ist zumindest gleich groß oder größer als jener der Mädchen.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung
richtigen Aussagen angekreuzt sind.
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21
Aufgabe 20
Nettojahreseinkommen
Lösungserwartung:
14 062 ∙ 0,4 + 24 141 ∙ 0,47 + 22 853 ∙ 0,08 + 35 708 ∙ 0,05 = 20 584,71
Das durchschnittliche Nettojahreseinkommen beträgt € 20.584,71.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit Euro nicht angeführt werden muss.
Toleranzintervall: [20 580; 20 590]
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis
aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.
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22
Aufgabe 21
Mehrere Wahrscheinlichkeiten
Lösungserwartung:
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Lehrperson als erste Person
einen Schüler auswählt, ist
10
–––
25
.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Lehrperson drei Schüler auswählt, kann mittels
10
–––
25
∙
9
–––
24
∙
8
–––
23
berechnet werden.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Aussagen angekreuzt sind.
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23
Aufgabe 22
Elfmeterschießen
Lösungserwartung:
( )
11
5
gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, von den elf Spielern fünf Schützen für das Elfmeterschießen – unabhängig von der Reihenfolge ihres Antretens – auszuwählen.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Deutung, wobei die Unabhängigkeit der Reihenfolge des
Antretens nicht angeführt werden muss.
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24
Aufgabe 23
Erwartungswert des Gewinns
Lösungserwartung:
E =
1
100
∙ 100 +
2
100
∙ 50 +
5
100
∙ 20 – 5 = –2
oder:
E =
92
100
∙ (–5) +
5
100
∙ 15 +
2
100
∙ 45 +
1
100
∙ 95 = –2
Der Erwartungswert des Gewinns beträgt € –2.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit Euro nicht angeführt werden muss. Der Wert
E = 2 ist nur dann als richtig zu werten, wenn aus der Antwort klar hervorgeht, dass es sich dabei
um einen Verlust von € 2 aus Sicht der Person, die ein Los kauft, handelt. Die Aufgabe ist auch
dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.
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25
Aufgabe 24
Tennisspiel
Lösungserwartung:
Dieser Wert gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der Helmut 3 von 5 Sätzen im Training gewinnt.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Interpretation.
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