Mathematik-Matura Jänner 2015 · AHS Teil 1 – Lösungen

AHS
16. Jänner 2015
Mathematik
Teil-1-Aufgaben
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung
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2
Aufgabe 1
Zahlen den Zahlenmengen zuordnen
Lösungserwartung:
Die Zahl √ –4 liegt in ℂ .
Die Zahl 0,9
·
liegt in ℚ und in ℝ .
Die Zahl π liegt in ℝ .
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich alle laut Lösungserwartung richtigen Antwortmöglichkeiten angekreuzt sind.
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3
Aufgabe 2
Praxisgemeinschaft
Lösungserwartung:
6 · 40 = (6 – x ) · 60
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Gleichung.
Alle Gleichungen, die den gegebenen Text der Fragestellung entsprechend korrekt wiedergeben,
sind als richtig zu werten!
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4
Aufgabe 3
Quadratische Gleichung mit genau zwei Lösungen
Lösungserwartung:
q < 25
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.
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5
Aufgabe 4
Lineares Gleichungssystem
Lösungserwartung:
x =
3
5
∉ ℕ
y =
24
5
∉ ℕ
⇒ L = { }
Über der gegebenen Grundmenge ℕ × ℕ ist die Lösungsmenge für das angegebene Gleichungs system leer.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe der korrekten Lösungsmenge. Die Lösungsmenge kann sowohl verbal
formuliert als auch symbolisch angegeben sein. Die Werte für die beiden Variablen müssen nicht
angegeben sein.
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6
Aufgabe 5
Normalvektoren
Lösungserwartung:
(
2
–1
1
)
(
0
5
–3
)
(
5
0
1
)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich alle laut Lösungserwartung richtigen Antwortmöglichkeiten angekreuzt sind.
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7
Aufgabe 6
Geradengleichung
Lösungserwartung:
h : 2 x – 5 y = 0
oder:
h : y =
2
5
· x
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Alle äquivalenten Gleichungen sind als richtig zu werten.
Auch die Angabe einer korrekten Parameterdarstellung der Geraden h ist als richtig zu werten.
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8
Aufgabe 7
Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen
Lösungserwartung:
S = (1|4)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.
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9
Aufgabe 8
Wasserkosten
Lösungserwartung:
a gibt die Fixkosten an.
b gibt die (variablen) Kosten pro m
3
Wasser an.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.
Beide Parameter müssen richtig gedeutet sein, damit die Lösung als richtig gewertet wird.
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10
Aufgabe 9
Parabeln zuordnen
Lösungserwartung:
A
B
C
D
E
F
a < 0 und b < 0 D
a < 0 und b > 0 B
a > 0 und b < 0 E
a > 0 und b > 0 C
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn jeder der vier Aussagen ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige Buchstabe zugeordnet ist.
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11
Aufgabe 10
Symmetrische Polynomfunktion
Lösungserwartung:
Wegen der Symmetrie muss ein weiterer lokaler Tiefpunkt vorliegen und damit auch ein lokaler
Hochpunkt. Beim Vorliegen von mindestens drei Extrempunkten muss die Polynomfunktion mindestens 4. Grades sein.
Alternativen:
– Vorliegen eines weiteren Tiefpunkts und daher auch eines Hochpunkts
– Vorliegen von insgesamt drei Extrempunkten
– Vorliegen eines weiteren Tiefpunkts und nur gerader Potenzen aufgrund der Symmetrie
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Argumentation.
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12
Aufgabe 11
Exponentialfunktion
Lösungserwartung:
b =
1
4
= 0,25
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Jede der angeführten Schreibweisen des Ergebnisses (als
Bruch oder Dezimalzahl) ist als richtig zu werten.
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13
Aufgabe 12
Parameter der Schwingungsfunktionen
Lösungserwartung:
Die Amplitude von g ist dreimal so groß wie die Amplitude von f .
Die Kreisfrequenz von f beträgt 1.
Die Kreisfrequenz von g ist doppelt so groß wie die Kreisfrequenz von f .
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich alle laut Lösungserwartung richtigen Antwortmöglichkeiten angekreuzt sind.
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14
Aufgabe 13
Elektrische Spannung
Lösungserwartung:
Der Term gibt die relative Änderung der Spannung im Zeitintervall [ t
1
; t
2
] an.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Interpretation.
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15
Aufgabe 14
Freier Fall
Lösungserwartung:
s ′ ( t ) = v ( t ) = 10 · t
v (2) = 20 m/s
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Die Angabe der Einheit ist dabei nicht erforderlich.
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16
Aufgabe 15
Graph einer Ableitungsfunktion
Lösungserwartung:
f ( x ), f ′ ( x )
f
x
W
f ′
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.
Kriterien für die Richtigkeit des Graphen: Die Nullstellen von f ′ müssen bei den Extremstellen
von f liegen und die x -Koordinate des Scheitels von f ′ bei der Wendestelle von f .
Der Graph muss zumindest annähernd einer Parabel entsprechen.
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17
Aufgabe 16
Negative erste Ableitung
Lösungserwartung:
I = (–3; 4)
oder:
I = [–3; 4)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.
Die Lösung ist nur dann als richtig zu werten, wenn das Lösungsintervall bei 4 offen ist.
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18
Aufgabe 17
Funktionsgleichungen
Lösungserwartung:
F
1
( x ) = x
3
+ 2 x
F
2
( x ) = x
3
+ 2 x + 1
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe von zwei verschiedenen korrekten Funktionsgleichungen, wobei alle
Funktionen in der Form F ( x ) = x
3
+ 2 x + c mit c ∈ ℝ als richtig zu werten sind.
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19
Aufgabe 18
Integral
Lösungserwartung:
∫
3
0
f ( x )d x = 6,75
∫
3
–3
f ( x )d x = 0
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Antwortmöglichkeiten angekreuzt sind.
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20
Aufgabe 19
Temperaturaufzeichnungen von Braunschweig
Lösungserwartung:
Im Zeitraum 2002 – 2006 lag der Median der jeweiligen Tagesmitteltemperaturen jeweils im Intervall [7 °C; 13 °C].
Das Jahr 2003 wies die größte Spannweite der Tagesmitteltemperaturen auf.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Antwortmöglichkeiten angekreuzt sind.
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21
Aufgabe 20
Änderung statistischer Kennzahlen
Lösungserwartung:
arithmetisches Mittel
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die laut Lösungserwartung richtige Antwortmöglichkeit angekreuzt ist.
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22
Aufgabe 21
Grundraum eines Zufallsversuchs
Lösungserwartung:
Ω = {(0; 0; 0), (0; 0; 1), (0; 1; 0), (1; 0; 0), (1; 1; 0), (1; 0; 1), (0; 1; 1), (1; 1; 1)}
Lösungsschlüssel:
Die Lösung ist dann als richtig zu werten, wenn die in der Lösungserwartung angegebenen
Zahlentripel korrekt angeführt sind. Die Trennzeichensetzung zwischen den Zahlen 0 und 1 kann
beliebig erfolgen. Die Beschriftung der Menge mit „ Ω =“ ist nicht notwendig. Die Reihenfolge der
Tripel ist nicht vorgegeben.
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23
Aufgabe 22
Baumdiagramm
Lösungserwartung:
P =
1
3
·
9
29
+
1
2
·
14
29
+
1
6
·
4
29
=
32
87
≈ 0,3678 = 36,78 %
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.
Die Lösung gilt als richtig, wenn die Wahrscheinlichkeit in einer der angegebenen Schreibweisen
des Intervalls richtig angegeben ist.
Lösungsintervall in Dezimalschreibweise: [0,36; 0,37]
Lösungsintervall in Prozentschreibweise: [36 %; 37 %]
Lösung als Bruch:
32
87
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24
Aufgabe 23
Erwartungswert
Lösungserwartung:
E ( X ) = 1 · 0,1 + 2 · 0,3 + 3 · 0,4 + 4 · 0,1 + 5 · 0,1 =
14
5
= 2,8
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Jede der angeführten Schreibweisen (als Bruch oder Dezimalzahl) ist als richtig zu werten.
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25
Aufgabe 24
Würfeln
Lösungserwartung:
Der Term gibt die Wahrscheinlichkeit an, höchstens
acht Sechser zu werfen.
Der Term gibt die Wahrscheinlichkeit an, weniger als
neun Sechser zu werfen.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich alle laut Lösungserwartung richtigen Antwortmöglichkeiten angekreuzt sind.
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