Mathematik-Matura Jänner 2015 · AHS Teil 1 – Aufgaben

AHS
16. Jänner 2015
Mathematik
Teil-1-Aufgaben
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung
Name:
Klasse:
öffentliches Dokument

2
Hinweise zur Aufgabenbearbeitung
Sehr geehrte Kandidatin! Sehr geehrter Kandidat!
Das vorliegende Aufgabenheft zu Teil 1 enthält 24 Aufgaben. Die Aufgaben sind unabhängig voneinander bearbeitbar. Ihnen stehen dafür 120 Minuten an reiner Arbeitszeit zur Verfügung.
Verwenden Sie einen nicht radierbaren, blau oder schwarz schreibenden Stift. Bei Konstruktionsaufgaben ist
auch die Verwendung eines Bleistifts möglich.
Verwenden Sie zur Bearbeitung ausschließlich dieses Aufgabenheft. Schreiben Sie Ihren Namen auf der ersten
Seite des Aufgabenheftes in das dafür vorgesehene Feld.
Alle Antworten müssen in das Aufgabenheft geschrieben werden. In die Beurteilung wird alles einbezogen, was
nicht durchgestrichen ist. Die Lösung muss dabei klar ersichtlich sein. Wenn die Lösung nicht klar ersichtlich ist
oder verschiedene Lösungen angegeben sind, gilt die Aufgabe als nicht gelöst. Streichen Sie Ihre Notizen durch.
Sie dürfen eine approbierte Formelsammlung sowie die gewohnten technologischen Hilfsmittel verwenden.
Das Aufgabenheft ist abzugeben.
Beurteilung
Jede Aufgabe in Teil 1 wird mit 0 Punkten oder 1 Punkt bewertet, jede Teilaufgabe in Teil 2 mit 0, 1 oder 2 Punkten. Die mit A gekennzeichneten Aufgabenstellungen werden mit 0 Punkten oder 1 Punkt bewertet.
– Werden im Teil 1 mindestens 16 von 24 Aufgaben richtig gelöst, wird die Arbeit positiv bewertet.
– Werden im Teil 1 weniger als 16 von 24 Aufgaben richtig gelöst, werden mit A markierte Aufgabenstellungen
aus Teil 2 zum Ausgleich (für den laut LBVO „wesentlichen Bereich“) herangezogen.
Werden unter Berücksichtigung der mit A markierten Aufgabenstellungen aus Teil 2 mindestens 16 Aufgaben
richtig gelöst, wird die Arbeit positiv bewertet.
Werden auch unter Berücksichtigung der mit A markierten Aufgabenstellungen aus Teil 2 weniger als 16 Aufgaben richtig gelöst, wird die Arbeit mit „Nicht genügend“ beurteilt.
– Werden im Teil 1 mindestens 16 Punkte (mit Berücksichtigung der Ausgleichspunkte A ) erreicht, so gilt folgender Beurteilungsschlüssel:
Genügend 16– 23 Punkte
Befriedigend 24– 32 Punkte
Gut 33– 40 Punkte
Sehr gut 41– 48 Punkte
Erläuterung der Antwortformate
Die Aufgaben haben einerseits freie Antwortformate , die Sie aus dem Unterricht kennen. Dabei schreiben Sie Ihre
Antwort direkt unter die jeweilige Aufgabenstellung in das Aufgabenheft. Die darüber hinaus zum Einsatz kommenden Antwortformate werden im Folgenden vorgestellt:
Zuordnungsformat: Dieses Antwortformat ist durch mehrere Aussagen (bzw. Tabellen oder Abbildungen) gekennzeichnet, denen mehrere Antwortmöglichkeiten gegenüberstehen. Bearbeiten Sie Aufgaben dieses Formats
korrekt, indem Sie die Antwortmöglichkeiten durch Eintragen der entsprechenden Buchstaben den jeweils zutreffenden Aussagen zuordnen!
Beispiel:
Gegeben sind zwei Gleichungen.
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den zwei Gleichungen jeweils die
entsprechende Bezeichnung (aus A bis D) zu!
1 + 1 = 2 A
2 ∙ 2 = 4 C
A Addition
B Division
C Multiplikation
D Subtraktion
öffentliches Dokument

3
Konstruktionsformat: Eine Aufgabe und deren Aufgabenstellung sind vorgegeben. Die Aufgabe erfordert die Ergänzung von Punkten, Geraden und/oder Kurven im Aufgabenheft.
Beispiel:
Gegeben ist eine lineare Funktion f mit f ( x ) = k · x + d.
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie den Graphen einer linearen Funktion mit den Bedingungen k = –2 und d > 0 in das vorgegebene
Koordinatensystem ein!
f ( x )
f
x
Multiple-Choice-Format in der Variante „1 aus 6“: Dieses Antwortformat ist durch einen Fragenstamm und
sechs Antwortmöglichkeiten gekennzeichnet, wobei eine Antwortmöglichkeit auszuwählen ist. Bearbeiten Sie
Aufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die einzige zutreffende Antwortmöglichkeit ankreuzen!
Beispiel:
Welche Gleichung ist korrekt?
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende Gleichung an!
1 + 1 = 1 a
2 + 2 = 2 a
3 + 3 = 3 a
4 + 4 = 8 T
5 + 5 = 5 a
6 + 6 = 6 a
Multiple-Choice-Format in der Variante „2 aus 5“: Dieses Antwortformat ist durch einen Fragenstamm und fünf
Antwortmöglichkeiten gekennzeichnet, wobei zwei Antwortmöglichkeiten auszuwählen sind. Bearbeiten Sie Aufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die beiden zutreffenden Antwortmöglichkeiten ankreuzen!
Beispiel:
Welche Gleichungen sind korrekt?
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Gleichungen an!
1 + 1 = 1 a
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 3 a
4 + 4 = 8 T
5 + 5 = 5 a
öffentliches Dokument

4
Multiple-Choice-Format in der Variante „x aus 5“: Dieses Antwortformat ist durch einen Fragenstamm und fünf
Antwortmöglichkeiten gekennzeichnet, wobei eine, zwei, drei, vier oder fünf Antwortmöglichkeiten auszuwählen sind. In der Aufgabenstellung finden Sie stets die Aufforderung „Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n)/
Gleichung(en)/... an!“. Bearbeiten Sie Aufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die zutreffende Antwortmöglichkeit/die zutreffenden Antwortmöglichkeiten ankreuzen!
Beispiel:
Welche der gegebenen Gleichungen ist/sind korrekt?
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Gleichung(en) an!
1 + 1 = 2 T
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 6 T
4 + 4 = 4 a
5 + 5 = 10 T
Lückentext: Dieses Antwortformat ist durch einen Satz mit zwei Lücken gekennzeichnet, das heißt, im Aufgabentext sind zwei Stellen ausgewiesen, die ergänzt werden müssen. Für jede Lücke werden je drei Antwortmöglichkeiten vorgegeben. Bearbeiten Sie Aufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die Lücken durch Ankreuzen der
beiden zutreffenden Antwortmöglichkeiten füllen!
Beispiel:
Gegeben sind 3 Gleichungen.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte
Aussage entsteht!
Die Gleichung
1
wird als Zusammenzählung oder
2
bezeichnet.
1
1 – 1 = 0 a
1 + 1 = 2 T
1 ∙ 1 = 1 a
2
Multiplikation a
Subtraktion a
Addition T
So ändern Sie Ihre Antwort bei Aufgaben zum Ankreuzen:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr gültigen Antwort.
2. Kreuzen Sie dann das gewünschte Kästchen an.
1 + 1 = 3 a
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 a
4 + 4 = 4 a
5 + 5 = 9 T
So wählen Sie eine bereits übermalte Antwort:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr gültigen Antwort.
2. Kreisen Sie das gewünschte übermalte Kästchen ein.
1 + 1 = 3 a
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 a
4 + 4 = 4 a
5 + 5 = 9 a
Wenn Sie jetzt noch Fragen haben, wenden Sie sich bitte an Ihre Lehrerin/Ihren Lehrer!
Arbeiten Sie möglichst zügig und konzentriert!
Viel Erfolg bei der Bearbeitung!
Hier wurde zuerst die Antwort „2 + 2 = 4“
übermalt und dann wieder gewählt.
Hier wurde zuerst die Antwort „5 + 5 = 9“
gewählt und dann auf „2 + 2 = 4“ geändert.
öffentliches Dokument

5
Aufgabe 1
Zahlen den Zahlenmengen zuordnen
Gegeben sind Aussagen zu Zahlen.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
Die Zahl –
1
3
liegt in ℤ , aber nicht in ℕ .
Die Zahl √ –4 liegt in ℂ .
Die Zahl 0,9
·
liegt in ℚ und in ℝ .
Die Zahl π liegt in ℝ .
Die Zahl – √ 7 liegt nicht in ℝ .
öffentliches Dokument

6
Aufgabe 2
Praxisgemeinschaft
In einer Gemeinschaftspraxis teilen sich sechs Therapeutinnen und Therapeuten die anfallende
Monatsmiete zu gleichen Teilen auf.
Am Ende des Jahres verlassen Mitglieder die Praxisgemeinschaft. Daher muss der Mietanteil für die
Verbleibenden um jeweils € 20 erhöht werden und beträgt ab dem neuen Jahr nun monatlich € 60.
Aufgabenstellung:
Stellen Sie anhand des gegebenen Textes eine Gleichung auf, mit der die Anzahl derjenigen Mitglieder, die die Praxisgemeinschaft verlassen, berechnet werden kann!
Bezeichnen Sie dabei die Anzahl derjenigen Mitglieder, die die Praxisgemeinschaft verlassen, mit
der Variablen x !
öffentliches Dokument

7
Aufgabe 3
Quadratische Gleichung mit genau zwei Lösungen
Gegeben ist die folgende quadratische Gleichung in der Unbekannten x über der Grundmenge ℝ :
x
2
+ 10 x + q = 0 mit q ∈ ℝ
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, für welche Werte für q ∈ ℝ die Gleichung genau zwei Lösungen besitzt!
öffentliches Dokument

8
Aufgabe 4
Lineares Gleichungssystem
Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem über der Grundmenge G = ℕ × ℕ :
I: 2 x + y = 6
II: 3 x – y = – 3
Aufgabenstellung:
Geben Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems über der Grundmenge G an!
öffentliches Dokument

9
Aufgabe 5
Normalvektoren
Gegeben ist der Vektor
→
a =
(
–1
3
5
)
.
Aufgabenstellung:
Welche(r) der unten stehenden Vektoren steht/stehen normal auf den Vektor
→
a ?
Kreuzen Sie den / die zutreffende(n) Vektor(en) an!
(
2
–1
1
)
(
0
0
–5
)
(
0
5
–3
)
(
5
0
1
)
(
–1
3
0
)
öffentliches Dokument

10
Aufgabe 6
Geradengleichung
Gegeben ist eine Gerade g mit der Gleichung 2 ∙ x – 5 ∙ y = –6.
Aufgabenstellung:
Geben Sie die Gleichung der Geraden h an, die durch den Punkt (0|0) geht und zur Geraden g
parallel ist!
öffentliches Dokument

11
Aufgabe 7
Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen
Gegeben sind der Graph einer Funktion f und die Funktion g mit der Gleichung g ( x ) = – x + 5.
x
f
f ( x )
–4 –3 –2 –1
–1
0
1
2
3
4
5
6
7
1 2 3 4 5
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der Graphen der Funktionen f und g !
öffentliches Dokument

12
Aufgabe 8
Wasserkosten
Die monatlichen Wasserkosten eines Haushalts bei einem Verbrauch von x m
3
Wasser können
durch eine Funktion K mit der Gleichung K ( x ) = a + b ∙ x mit a , b ∈ ℝ
+
beschrieben werden.
Aufgabenstellung:
Erklären Sie, welche Bedeutung die Parameter a und b in diesem Zusammenhang haben!
öffentliches Dokument

13
Aufgabe 9
Parabeln zuordnen
Gegeben sind die Graphen von sechs Funktionen f
1
, f
2
, f
3
, f
4
, f
5
und f
6
mit der
Gleichung f
i
( x ) = ax ² + b mit a , b ∈ ℝ und a ≠ 0 ( i von 1 bis 6).
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den folgenden Eigenschaften jeweils den entsprechenden Graphen der dargestellten
Funktionen zu!
A
B
C
D
E
F
a < 0 und b < 0
a < 0 und b > 0
a > 0 und b < 0
a > 0 und b > 0
öffentliches Dokument

14
Aufgabe 10
Symmetrische Polynomfunktion
Der Graph einer zur senkrechten Achse symmetrischen Polynomfunktion f besitzt den lokalen
Tiefpunkt T = (3|–2).
Aufgabenstellung:
Begründen Sie, warum die Polynomfunktion f mindestens 4. Grades sein muss!
öffentliches Dokument

15
Aufgabe 11
Exponentialfunktion
Von einer Exponentialfunktion f mit der Gleichung f ( x ) = 25 · b
x
( b ∈ ℝ
+
; b ≠ 0; b ≠ 1) ist folgende
Eigenschaft bekannt:
Wenn x um 1 erhöht wird, sinkt der Funktionswert auf 25 % des Ausgangswertes.
Aufgabenstellung:
Geben Sie den Wert des Parameters b an!
b =
öffentliches Dokument

16
Aufgabe 12
Parameter der Schwingungsfunktionen
Die unten stehende Abbildung zeigt die Graphen von zwei Funktionen f und g , deren Gleichungen den Funktionsterm a ∙ sin( b ∙ x ) haben ( a , b ∈ ℝ
+
\{0}). Dabei wird a als Amplitude und b als
Kreisfrequenz bezeichnet.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
Die Amplitude von g ist dreimal so groß wie die Amplitude von f .
Würde man die Kreisfrequenz von f verdreifachen, so wäre der neue
Graph mit jenem von g deckungsgleich.
Die Kreisfrequenz von f beträgt 1.
Die Kreisfrequenz von g ist doppelt so groß wie die Kreisfrequenz von f .
Eine Veränderung des Parameters a bewirkt eine Verschiebung des
Graphen der Funktion in senkrechter Richtung.
öffentliches Dokument

17
Aufgabe 13
Elektrische Spannung
Die Funktion U beschreibt die elektrische Spannung während eines physikalischen Experiments in
Abhängigkeit von der Zeit t ( U ( t ) in Volt, t in Sekunden).
Aufgabenstellung:
Interpretieren Sie den Wert des Terms
U ( t
2
) – U ( t
1
)
U ( t
1
)
in diesem Zusammenhang!
öffentliches Dokument

18
Aufgabe 14
Freier Fall
Der Weg, den ein Stein im freien Fall zurücklegt, kann näherungsweise durch den funktionalen
Zusammenhang s ( t ) = 5 · t
2
beschrieben werden. Dabei wird die Fallzeit t in Sekunden und der in
dieser Zeit zurückgelegte Weg s ( t ) in Metern gemessen.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s), die der Stein nach einer Fallzeit
von t = 2 Sekunden hat!
öffentliches Dokument

19
Aufgabe 15
Graph einer Ableitungsfunktion
Die unten stehende Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f dritten Grades, die den
Wendepunkt W besitzt.
Aufgabenstellung:
Skizzieren Sie den Graphen der Ableitungsfunktion f ′ in das Koordinatensystem!
f ( x ), f ′ ( x )
f
x
W
öffentliches Dokument

20
Aufgabe 16
Negative erste Ableitung
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer Funktion f im Intervall [–3; 11] dargestellt. An
der Stelle x = 4 hat die Funktion ein lokales Minimum.
f ( x )
f
x
Aufgabenstellung:
Geben Sie das Intervall I für diejenigen Stellen x ∈ [–3; 11] an, für die gilt: f ′ ( x ) < 0!
I =
öffentliches Dokument

21
Aufgabe 17
Funktionsgleichungen
Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f ( x ) = 3 x
2
+ 2.
Aufgabenstellung:
Geben Sie die Funktionsgleichungen von zwei verschiedenen Funktionen F
1
und F
2
an, deren
Ableitungsfunktion die Funktion f ist!
F
1
( x ) =
F
2
( x ) =
öffentliches Dokument

22
Aufgabe 18
Integral
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer punktsymmetrischen Funktion f (das bedeutet: f (– x ) = – f ( x )) dargestellt. Die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f und der x -Achse
im Intervall [0; 3] ist grau unterlegt. Ihre Maßzahl beträgt 6,75.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Gleichungen an!
∫
3
0
f ( x )d x = 6,75
∫
3
–3
f ( x )d x = 13,5
∫
3
–3
f ( x )d x = –13,5
∫
3
–3
f ( x )d x = 0
∫
0
–3
f ( x )d x = 6,75
öffentliches Dokument

23
Aufgabe 19
Temperaturaufzeichnungen von Braunschweig
Die nachstehende Grafik veranschaulicht die jährlichen Temperaturaufzeichnungen der Tagesmitteltemperaturen von Braunschweig (Deutschland) im Zeitraum 2002 – 2006 mithilfe von Kastenschaubildern (Boxplots).
2002 2003 2004 2005 2006
30
20
10
0
–10
Temperatur in °C
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Im Zeitraum 2002 – 2006 lag der Median der jeweiligen Tagesmitteltemperaturen jeweils im Intervall [7 °C; 13 °C].
Im Jahr 2006 lagen mehr als 25 % der Tagesmitteltemperaturen unter 0 °C.
Das Jahr 2002 wies den größten Median der Tagesmitteltemperaturen auf.
Das Jahr 2003 wies die größte Spannweite der Tagesmitteltemperaturen auf.
Im Jahr 2004 betrug die Spannweite der Tagesmitteltemperaturen 10 °C.
öffentliches Dokument

24
Aufgabe 20
Änderung statistischer Kennzahlen
Gegeben ist eine geordnete Liste mit neun Werten a
1
, a
2
, ... , a
9
.
Der Wert a
1
wird um 5 vergrößert, der Wert a
9
wird um 5 verkleinert, die restlichen Werte der Liste
bleiben unverändert. Durch die Abänderung der beiden Werte a
1
und a
9
kann sich eine neue,
nicht geordnete Liste ergeben.
Aufgabenstellung:
Welche statistischen Kennzahlen der Liste werden durch die genannten Änderungen in keinem Fall
verändert? Kreuzen Sie die entsprechende(n) statistische(n) Kennzahl(en) an!
arithmetisches Mittel
Median
Modus
Spannweite
Standardabweichung
öffentliches Dokument

25
Aufgabe 21
Grundraum eines Zufallsversuchs
In einer Urne befinden sich zwei Kugeln, die mit den Zahlen 0 bzw. 1 beschriftet sind. Die Kugeln
sind – abgesehen von ihrer Beschriftung – nicht unterscheidbar. Aus dieser Urne wird dreimal
zufällig eine Kugel gezogen, wobei diese nach jedem Zug wieder in die Urne zurückgelegt wird.
Aufgabenstellung:
Geben Sie den Grundraum dieses Zufallsversuchs vollständig durch Zahlentripel ( x ; y ; z ) an!
x , y und z nehmen dabei jeweils die Werte 0 oder 1 an.
öffentliches Dokument

26
Aufgabe 22
Baumdiagramm
In einem Gefäß befinden sich rote, blaue und grüne Kugeln. Es werden zwei Kugeln gezogen.
Das folgende Baumdiagramm veranschaulicht die möglichen Ergebnisse des Zufallsversuchs:
Quelle: http://www.mathe-online.at/mathint/wstat1/grafiken/baumdiagramm2.gif [18.12.2014] (adaptiert)
R = rote Kugel
B = blaue Kugel
G = grüne Kugel
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Kugeln gleicher Farbe gezogen werden!
öffentliches Dokument

27
Aufgabe 23
Erwartungswert
Die nachstehende Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen X , bei der jedem Wert k ( k = 1, 2, 3, 4, 5) die Wahrscheinlichkeit P ( X = k ) zugeordnet wird.
0,5
0,45
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
1 2 3 4 5
k
P ( X = k )
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie den Erwartungswert E ( X ) der Zufallsvariablen X !
öffentliches Dokument

28
Aufgabe 24
Würfeln
Ein fairer Würfel wird zehnmal geworfen.
Aufgabenstellung:
Welche Wahrscheinlichkeit wird durch den Term 1 –
[( )
10
9
·
(
1
6
)
9
·
5
6
+
(
1
6
)
10
]
angegeben?
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Antwort(en) an!
Der Term gibt die Wahrscheinlichkeit an, höchstens
acht Sechser zu werfen.
Der Term gibt die Wahrscheinlichkeit an, mehr als
zweimal keinen Sechser zu werfen.
Der Term gibt die Wahrscheinlichkeit an, mindestens
einmal keinen Sechser zu werfen.
Der Term gibt die Wahrscheinlichkeit an, weniger als
neun Sechser zu werfen.
Der Term gibt die Wahrscheinlichkeit an, mehr als
acht Sechser zu werfen.
öffentliches Dokument