Mathematik-Matura September 2014 · AHS Teil 2 – Lösungen

AHS
17. September 2014
Mathematik
Teil-2-Aufgaben
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung
öffentliches Dokument

2
Aufgabe 1
Länderporträt Gambia
a) Lösungserwartung:
Ansatz: 2,2 = a · b
t
, wobei der Wert für a aus dem Intervall [1,8; 1,85] und der Wert für b aus
dem Intervall [1,025; 1,027] gewählt werden muss.
Das Ergebnis für t liegt demnach im Intervall [6,5; 8,2].
Für die Jahre 1990 bis 1993 lässt sich die Bevölkerungszahl am besten durch eine einzige Exponentialfunktion beschreiben, da die Prozentwerte des Bevölkerungswachstums annähernd
konstant sind.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für eine korrekte Berechnung.
– Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Begründung. Die Lösung muss inhaltlich der Lösungserwartung entsprechen. Alle Vierjahresintervalle zwischen 1989 und 1994 sind (im
Hinblick auf die Ablesegenauigkeit) zulässig.
b) Lösungserwartung:
Ansatz:
a · 1 000 000
11 000
, wobei der Wert für a aus dem Intervall [1,8; 1,85] gewählt werden muss.
Das Ergebnis für die Bevölkerungsdichte liegt demnach im Intervall [163,6; 168,2].
Die Antwort auf die Frage, um wie viel Prozent die Bevölkerungsdichte in Gambia größer war
als in Österreich, muss daher im Intervall [63 %; 70 %] liegen.
Der Faktor 0,2806 beschreibt die Bevölkerungszahl in Gambia im Jahr 1950 (in Mio. Einwohner/innen).
N (23) · 1 000 000
11 000
≈ 50,86
Die Bevölkerungsdichte von Gambia für das Jahr 1973 liegt bei ca. 50,86 Einwohner/innen / km².
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt für eine korrekte Berechnung.
– Ein Punkt für eine korrekte Berechnung und (sinngemäß) korrekte Deutung der Bevölkerungsdichte von Gambia für das Jahr 1973. Lösungsintervall: [50; 51]. Die Interpretation des
Faktors muss sinngemäß der Lösungserwartung entsprechen.
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3
Aufgabe 2
Kosten und Erlös
a) Lösungserwartung:
K (10) = 400, K (14) = 800,
K (14) – K (10)
14 – 10
= 100
Der durchschnittliche Kostenanstieg beträgt im Intervall [10 ME; 14 ME] 100 GE/ME.
Kostendegression im Intervall: [0; 4).
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt für eine korrekte Berechnung des Differenzenquotienten.
– Ein Punkt für die Angabe des korrekten Intervalls (es sind sowohl offene, geschlossene als
auch halboffene Intervalle zulässig).
b) Lösungserwartung:
Der Verkaufspreis beträgt 80 GE pro ME.
E ( x ) = 80 · x
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die korrekte Angabe des Verkaufspreises.
– Ein Punkt, wenn E ( x ) richtig angegeben ist.
c) Lösungserwartung:
Die Kosten und der Erlös sind gleich hoch, daher wird kein Gewinn erzielt. Die x -Koordinaten
der Schnittpunkte geben die Gewinnschwellen an. Bei einer Menge x , die sich zwischen den
beiden Gewinnschwellen befindet, macht das Unternehmen Gewinn.
K (10) = 400, E (10) = 800; das Unternehmen macht einen Gewinn von 400 GE.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für eine richtige Interpretation der Schnittpunkte und des Bereiches zwischen den
Stellen der Schnittpunkte. Sinngemäß gleichwertige Aussagen sind als richtig zu werten.
– Ein Punkt für die korrekte Berechnung des Gewinns.
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Aufgabe 3
Bakterienkultur
a) Lösungserwartung:
1
3 mm²
2
5 %
Dem vorliegenden exponentiellen Wachstum bzgl. der Fläche der Bakterienkultur wird durch
die Größe der Petrischale (ca. 2 376 mm²) eine Grenze gesetzt.
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt ist nur dann zu geben, wenn für beide Lücken ausschließlich der jeweils richtige Satzteil angekreuzt ist.
– Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Beschreibung. Korrekt sind alle Antworten, die erläutern, dass kein unbeschränktes Wachstum innerhalb der Petrischale möglich ist.
b) Lösungserwartung:
Verdoppelungszeit: t =
ln(2)
ln(1,05)
≈ 14,21
Die Verdoppelungszeit beträgt ca. 14 Stunden.
Begründung:
Bei der Berechnung der Verdoppelungszeit t sieht man, dass das Ergebnis vom Anfangswert
A (0) = 3 unabhängig ist (er fällt durch Gleichungsumformungen weg), z. B.:
2 ∙ 3 = 3 ∙ 1,05
t
| : 3
2 = 1,05
t
t =
ln(2)
ln(1,05)
oder
Wenn in jeder Stunde gleich viele Prozent dazukommen, dann dauert es immer – also unabhängig von der Anfangsmenge – gleich lang, bis 100 % dazugekommen sind.
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5
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für eine korrekte Berechnung. Toleranzintervall: [14; 15].
– Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Begründung. Auch andere Berechnungen mit einer
Variablen (z. B.: a anstelle von 1,05, A (0) anstelle von 3) oder selbst anderer Bezeichnung für
A ( t ) (z. B.: N ( t )), die die Unabhängigkeit von t vom Anfangswert (hier A (0)) zeigen, gelten als
richtig.
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Aufgabe 4
Baumwachstum
a) Lösungserwartung:
Im mittleren Bereich der Altersphase nimmt die Höhe des Baumes annähernd linear zu, weil
der Höhenzuwachs pro Jahr annähernd konstant ist.
Höhe des Baumes am Beginn der Senilitätsphase:
∫
t
3
0
i ( t ) d t
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die Nennung der Altersphase (bzw. die Markierung der betreffenden Stelle im
Graphen) und die sinngemäß richtige Begründung, dass die Höhe des Baumes dann linear
zunimmt, wenn i waagrecht verläuft, d. h. der Höhenzuwachs konstant ist.
– Ein Punkt für das richtige Anschreiben des Integrals (inkl. Grenzen und Integrationsvariable).
b) Lösungserwartung:
Zu diesem Zeitpunkt ( t *) ist die Wachstumsgeschwindigkeit des Baumes größer als zu den
Zeitpunkten davor und danach.
Solange i monoton steigt (Jugendphase), wächst der Baum immer schneller, d. h., die Höhenzunahme pro Jahr wird größer. Wenn i monoton fällt (Altersphase), nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit ab, d. h., der Baum wächst immer langsamer.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für die richtige Kennzeichnung der Maximumstelle und für eine sinngemäß richtige Interpretation dieses Zeitpunktes. Die Maximumstelle muss (auf der t -Achse!) erkennbar
gekennzeichnet sein. Aus der formulierten Aussage muss klar hervorgehen, dass der Baum
zu diesem Zeitpunkt am schnellsten wächst.
– Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Interpretation des Monotonieverhaltens von i im
Hinblick auf das Baumwachstum.
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Aufgabe 5
Lottozahlen
a) Lösungserwartung:
Die Ziehung der Gewinnzahlen 3, 12, 19, 25, 36, 41 bei einer Lottoziehung ist
gleich wahrscheinlich wie die Ziehung der Gewinnzahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl 17 als erste Zahl gezogen wird, beträgt
bei jeder Ziehung
1
45
.
Richtigstellung:
– Eine Zahl, die bei einer Lottoziehung gezogen wurde, wird bei der darauffolgenden Lotto ziehung mit einer Wahrscheinlichkeit von
6
45
erneut gezogen.
– Im Kalenderjahr 2010 war die Wahrscheinlichkeit, die Zahl 8 zu ziehen, bei jeder Ziehung
gleich
6
45
.
– Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl 32 bei einer Ziehung als zweite Zahl gezogen wird,
beträgt
1
45
.
Lösungsschlüssel:
– Ein Ausgleichspunkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Aussagen angekreuzt sind
und beide Kreuze richtig gesetzt sind.
– Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Richtigstellung einer der drei falschen Aussagen.
b) Lösungserwartung:
Die relative Ziehungshäufigkeit der Zahl 10 im Kalenderjahr 2010 beträgt
19
104
≈ 0,183.
Bei 2 056 Ziehungen hat sich die relative Häufigkeit
(
270
2 056
≈ 0,131
)
der theoretischen
Ziehungswahrscheinlichkeit von
6
45
≈ 0,133 im Vergleich zu den 104 Ziehungen des
Kalenderjahres 2010 angenähert.
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Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für das korrekte Bestimmen der relativen Ziehungshäufigkeit, wobei das Ergebnis
in Bruch-, Dezimal- oder Prozentschreibweise angegeben werden kann.
– Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Erklärung, warum die Häufigkeiten in den Abbil dungen 1 und 2 mit dem empirischen Gesetz der großen Zahlen für die relative Ziehungshäufigkeit der Zahl 10 im Einklang stehen.
c) Lösungserwartung:
μ = 2 056 ∙
6
45
≈ 274 σ =
√
__________
2 056 ∙
6
45
∙
39
45
≈ 15
μ – 2 σ ≈ 243
μ + 2 σ ≈ 305
Bei allen Zahlen, die höchstens 243-mal oder mindestens 305-mal gezogen wurden, weicht
die Ziehungshäufigkeit um mehr als 2 σ vom Erwartungswert ab. Dies trifft auf die Zahlen 39,
42 und 43 zu.
Es wurde die Binomialverteilung verwendet, da es um Anzahlen geht („absolute Ziehungshäufigkeit“), es nur zwei mögliche Ausgänge bei einer Lottoziehung gibt (eine bestimmte Zahl
wurde gezogen oder sie wurde nicht gezogen) und weil die Ziehungswahrscheinlichkeit von
Ziehung zu Ziehung gleich bleibt.
Lösungsschlüssel:
– Ein Punkt für das Ermitteln der Zahlen 39, 42 und 43.
– Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Begründung, warum die Binomialverteilung verwendet werden darf.
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