Mathematik-Matura September 2014 · AHS Teil 1 – Lösungen

AHS
17. September 2014
Mathematik
Teil-1-Aufgaben
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung
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2
Aufgabe 1
Aussagen über Zahlenmengen
Lösungserwartung:
Reelle Zahlen mit periodischer oder endlicher Dezimal darstellung sind rationale Zahlen.
Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen a , b
existiert stets eine weitere rationale Zahl.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Aussagen angekreuzt sind und beide Kreuze
richtig gesetzt sind.
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3
Aufgabe 2
Definitionsmengen
Lösungserwartung:
A D
A
= ℝ
B D
B
= (1; ∞)
C D
C
= (–1; ∞)
D D
D
= ℝ \{–1; 0}
E D
E
= (–∞; 1)
F D
F
= (–∞; 1]
ln( x + 1) C
√ 1 – x F
2 x
x ∙ ( x + 1)
2 D
2 x
x
2
+ 1
A
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn alle vier Buchstaben richtig zugeordnet sind.
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4
Aufgabe 3
Quadratische Gleichung
Lösungserwartung:
c = –3
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.
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5
Aufgabe 4
Vektoraddition
Lösungserwartung:
0
1
2
3
4
5
y
–1 0 1 2 3 4 5
x
–1
a
a b
s = 2 ∙ a + b
–5
–4
–3
–2
–5 –4 –3 –2
b
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Die Lösung ist dann als richtig zu werten, wenn der Vektor
s
→
=
( )
5
2
richtig dargestellt ist. Die Spitze des Vektors s
→
muss korrekt und klar erkennbar eingezeichnet sein. Als Ausgangspunkt kann ein beliebiger Punkt gewählt werden. Die Summanden
müssen nicht dargestellt werden.
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6
Aufgabe 5
Parameterdarstellung von Geraden
Lösungserwartung:
h
2
: X =
( )
3
4
–7
+ t
2
∙
( )
4
–6
2
h
4
: X =
( )
3
5
–1
+ t
4
∙
( )
–2
3
–1
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Antworten angekreuzt sind und beide Kreuze
richtig gesetzt sind.
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7
Aufgabe 6
Steigungswinkel
Lösungserwartung:
tan( α ) =
7
100
oder
α = arctan
(
7
100
)
oder
α = tan
–1
(
7
100
)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine richtige Formel. Korrekte äquivalente Schreibweisen sind als richtig zu werten.
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8
Aufgabe 7
Quadratische Funktion
Lösungserwartung:
Der Graph der Funktion f hat zwei verschiedene reelle Null stellen, wenn gilt: a > 0 und b < 0.
Der Graph der Funktion f mit b = 0 berührt die x -Achse in der
lokalen Extremstelle.
Für a < 0 hat der Graph der Funktion f einen Hochpunkt.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau drei Aussagen angekreuzt sind und alle Kreuze
richtig gesetzt sind.
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9
Aufgabe 8
Eigenschaften von Funktionen zuordnen
Lösungserwartung:
lineare Funktion f mit
f ( x ) = a · x + b
C
Exponentialfunktion f mit
f ( x ) = a · b
x
( b > 0, b ≠ 1)
A
Wurzelfunktion f mit f ( x ) = a ∙ x
1
–
2
+ b F
Sinusfunktion f mit
f ( x ) = a · sin( b · x )
D
A
Die Funktion f ist für a > 0 und 0 < b < 1
streng monoton fallend.
B
Die Funktion f besitzt genau drei
Nullstellen.
C
Die Funktion f besitzt in jedem Punkt
die gleiche Steigung.
D
Der Graph der Funktion f besitzt einen
Wendepunkt im Ursprung.
E Die Funktion f ist für b = 2 konstant.
F Die Funktion f ist nur für x ≥ 0 definiert.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn alle vier Buchstaben richtig zugeordnet sind.
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10
Aufgabe 9
Steigung des Graphen einer linearen Funktion
Lösungserwartung:
Die Steigung der zugeordneten linearen Funktion beträgt –
3
5
.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Wird die Steigung der linearen Funktion z. B. mit k oder mit f ′ ( x )
bezeichnet, so ist dies als richtig zu werten. Jede korrekte Schreibweise des Ergebnisses (als
äquivalenter Bruch oder als Dezimalzahl) ist als richtig zu werten.
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11
Aufgabe 10
Vergleich dreier Geraden
Lösungserwartung:
k
2
> k
3
k
3
< k
1
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Aussagen angekreuzt sind und beide Kreuze
richtig gesetzt sind.
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12
Aufgabe 11
Eigenschaften einer linearen Funktion
Lösungserwartung:
f ( x + 1) = f ( x ) + k
f besitzt immer genau eine Nullstelle.
f ( x
2
) – f ( x
1
)
x
2
– x
1
= k für x
1
≠ x
2
Die Krümmung des Graphen der Funktion f ist null.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau vier Aussagen angekreuzt sind und alle Kreuze
richtig gesetzt sind.
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13
Aufgabe 12
Graph einer quadratischen Funktion
Lösungserwartung:
a = 3
b = –1
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn beide Parameter korrekt angegeben sind.
Toleranzintervalle: a ∈ [2,9; 3,1]; b ∈ [–1,1; –0,9].
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14
Aufgabe 13
Differenzenquotient – Differenzialquotient
Lösungserwartung:
f (3) – f (0)
3
< 0
f ′ (–2) > 0
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Aussagen angekreuzt sind und beide Kreuze
richtig gesetzt sind.
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15
Aufgabe 14
Beschleunigungsfunktion bestimmen
Lösungserwartung:
a ( t ) = t + 10
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn eine richtige Gleichung der Funktion a angegeben ist.
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16
Aufgabe 15
Ableitung einer Polynomfunktion
Lösungserwartung:
1
3 x ² – 4 x + 7
2
6 x – 4
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn für beide Lücken ausschließlich der jeweils richtige Satzteil
angekreuzt ist.
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17
Aufgabe 16
Ableitung
Lösungserwartung:
An den Stellen x
1
= –4 und x
2
= 4 hat f lokale Extrema.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn beide Stellen richtig angegeben sind. Eine Schreib weise
wie z. B. x = ± 4 ist auch zulässig.
Die Aufgabe ist falsch gelöst, wenn nur eine der beiden lokalen Extremstellen angegeben ist.
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18
Aufgabe 17
Extremstelle
Lösungserwartung:
Wenn die Funktion f bei x
0
das Monotonieverhalten ändert, dann liegt
bei x
0
eine lokale Extremstelle von f .
Wenn x
0
eine lokale Extremstelle von f ist, dann ist f ′ ( x
0
) = 0.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Aussagen angekreuzt sind und beide Kreuze
richtig gesetzt sind.
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19
Aufgabe 18
Geschwindigkeitsfunktion
Lösungserwartung:
Die zurückgelegte Wegstrecke ist in den ersten 5 Sekunden größer als in den zweiten 5 Sekunden.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Deutung.
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20
Aufgabe 19
Computer- und Videospiele
Lösungserwartung:
Die Anzahl der in der Kategorie „freigegeben ab 16 Jahren“ eingestuften
Spiele ist in den beiden Jahren 2008 und 2009 nahezu gleich.
Im Jahr 2008 erhielt etwa jedes zwanzigste Spiel keine Jugendfreigabe.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Aussagen angekreuzt sind und alle Kreuze
richtig gesetzt sind.
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21
Aufgabe 20
Statistische Kennzahlen
Lösungserwartung:
Spannweite
empirische Varianz
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Kennzahlen angekreuzt sind und beide Kreuze
richtig gesetzt sind.
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22
Aufgabe 21
Adventkalender
Lösungserwartung:
20
24
·
19
23
·
4
22
=
95
759
≈ 0,1252 ≈ 12,5 %
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Jede der angeführten Schreibweisen des Ergebnisses (als
Bruch, Dezimalzahl oder in Prozenten) ist als richtig zu werten. Toleranzintervall: [0,12; 0,13] bzw.
[12 %; 13 %].
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23
Aufgabe 22
Binomialkoeffizient
Lösungserwartung:
Gegeben sind sechs verschiedene Punkte einer Ebene, von denen nie mehr als
zwei auf einer Geraden liegen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, zwei Punkte auszuwählen, um jeweils eine Gerade durchzulegen?
Von sechs Kugeln sind vier rot und zwei blau. Sie unterscheiden sich nur durch ihre
Farbe. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Kugeln in einer Reihe anzuordnen?
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Aufgabenstellungen angekreuzt sind und beide
Kreuze richtig gesetzt sind.
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24
Aufgabe 23
Binomialverteilung
Lösungserwartung:
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0 1 2 3 4 5 6 7 8
P ( X = k )
k
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Jede Lösung, die den Bereich P ( X > 3) farbig hervorhebt oder
deutlich kennzeichnet, ist als richtig zu werten.
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25
Aufgabe 24
Binomialverteilte Zufallsvariable
Lösungserwartung:
X beschreibt die Anzahl der roten Kugeln bei dreimaligem Ziehen,
wenn jede entnommene Kugel wieder zurückgelegt wird.
X beschreibt die Anzahl der weißen Kugeln bei fünfmaligem Ziehen,
wenn jede entnommene Kugel wieder zurückgelegt wird.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Aussagen angekreuzt sind und beide Kreuze
richtig gesetzt sind.
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