Mathematik-Matura Mai 2014 · AHS Teil 1 – Lösungen

Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung
Mathematik
9. Mai 2014
Teil-1-Aufgaben
Korrekturheft
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2
Aufgabe 1
Positive rationale Zahlen
Lösungserwartung:
0,9 ∙ 10
–3
√
__ _
0,01
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Antworten angekreuzt sind und beide Kreuze
richtig gesetzt sind.
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3
Aufgabe 2
Punktladungen
Lösungserwartung:
F = C ∙
2 · q
1
· 2 ∙ q
2
( )
r
2
2 = C ∙
16 · q
1
· q
2
r
2
Der Betrag der Kraft F wird 16-mal so groß.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Weder die Rechnung noch ein Antwortsatz müssen angegeben
werden. Die Angabe des Faktors 16 ist ausreichend.
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4
Aufgabe 3
Quadratische Gleichung
Lösungserwartung:
Die quadratische Gleichung rx ² + sx + t = 0 hat genau dann für alle r ≠ 0; r , s , t ∈ ℝ
1
, wenn
2
gilt.
1
zwei reelle Lösungen
2
s ² – 4 rt > 0
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn für beide Lücken jeweils der richtige Satzteil angekreuzt ist.
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5
Aufgabe 4
Vektorkonstruktion
Lösungserwartung:
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Darstellung des gesuchten Pfeils ausreicht. Der Anfangspunkt des Ergebnispfeils muss P sein.
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6
Aufgabe 5
Parallele Geraden
Lösungserwartung:
Parallele Geraden haben die gleiche Steigung bzw. parallele Richtungsvektoren.
k
g
= –
1
4
a
h
→
=
( )
4
–1
||
( )
1
–
1
4
und aus
→
a =
( )
1
k
folgt k
h
= k
g
oder
g : X =
( )
4
7
+ t
( )
4
–1
, t ∈ ℝ
( )
4
–1
=
( )
4
–1
Somit ist a
g
→
= a
h
→
.
Oder:
Auch eine Begründung mit Normalvektoren ist möglich.
g : x + 4 y = 32
h : x + 4 y = 16
Somit ist n
g
→
∥ n
h
→
.
oder
n
g
→
· a
h
→
= 0
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt wird vergeben, wenn eine Begründung vorhanden und mathematisch korrekt ist.
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7
Aufgabe 6
Definition der Winkelfunktionen
Lösungserwartung:
sin α =
cos β =
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Gleichungen angekreuzt sind und beide Kreuze
richtig gesetzt sind.
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8
Aufgabe 7
Zerfallsprozess
Lösungserwartung:
t
H
= 3
N ( t
H
) = 400
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Aussagen angekreuzt sind und beide Kreuze
richtig gesetzt sind.
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9
Aufgabe 8
Steigung einer linearen Funktion
Lösungserwartung:
x m ( x )
5 3
6 1
8 –3
l ( x ) =
3 – 4 x
2
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Darstellungen angekreuzt sind und beide
Kreuze richtig gesetzt sind.
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10
Aufgabe 9
Gleichung einer quadratischen Funktion
Lösungserwartung:
a =
1
4
oder a = 0,25
b = 2
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei beide Parameter richtig angegeben sein müssen.
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11
Aufgabe 10
Wachstum
Lösungserwartung:
f (2) = 900
f (3) = 1 350
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei beide Werte richtig angegeben sein müssen.
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12
Aufgabe 11
Exponentialfunktion
Lösungserwartung:
f ( x + h )
f ( x )
= a
h
f ( x + 1) = a ∙ f ( x )
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Aussagen angekreuzt sind und beide Kreuze
richtig gesetzt sind.
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13
Aufgabe 12
Sinusfunktion
Lösungserwartung:
Um den Graphen von g zu erhalten, muss a
1
und b
2
.
1
halbiert werden
2
verdoppelt werden
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn für beide Lücken jeweils der richtige Satzteil angekreuzt ist.
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14
Aufgabe 13
Prozente
Lösungserwartung:
Wenn die Inflationsrate in den letzten Monaten von 2 % auf 1,5 %
gesunken ist, bedeutet das eine relative Abnahme der Inflations rate um 25 %.
Eine Zunahme um 200 % bedeutet eine Steigerung auf das Drei fache.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Aussagen angekreuzt sind und beide Kreuze
richtig gesetzt sind.
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15
Aufgabe 14
Ableitungswerte ordnen
Lösungserwartung:
f ′ (1) < f ′ (0) < f ′ (3) < f ′ (4)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Die Lösung gilt als richtig, wenn alle Werte in der richtigen
Reihenfolge angeordnet werden.
Auch die Ordnung der Werte in der Form f ′ (1), f ′ (0), f ′ (3) , f ′ (4) gilt als richtig.
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16
Aufgabe 15
Nikotin
Lösungserwartung:
0,03 mg
2 %
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die korrekte Angabe der beiden Zahlenwerte.
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17
Aufgabe 16
Eigenschaften einer Funktion
Lösungserwartung:
Die Tangente an den Graphen der Funktion f im Punkt (0| f (0))
hat die Steigung 2.
Die Stelle x
2
= 2 ist eine lokale Maximumstelle von f .
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Aussagen angekreuzt sind und beide Kreuze
richtig gesetzt sind.
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18
Aufgabe 17
Schnitt zweier Funktionen
Lösungserwartung:
Zu schraffieren ist das Flächenstück zwischen den Graphen f und g , der Geraden x = 1 sowie der
senkrechten Koordinatenachse.
0
0 1 2 3 4 5 –1 –2 –3 –4
2
4
6
8
–2
–4
–6
–8
f
f ( x ), g ( x )
g
x
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Die Aufgabe gilt als richtig gelöst, wenn die gesuchte Fläche
klar ersichtlich und korrekt schraffiert ist.
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19
Aufgabe 18
Pflanzenwachstum
Lösungserwartung:
40 ∙ 4
2
+ 10 ∙ 4 +
10 ∙ 4
2
= 140
Die Pflanze wächst in diesen 60 Tagen 140 cm.
Ein weiterer (sehr aufwendiger) Lösungsweg wäre die Berechnung der Funktionsgleichungen in
den einzelnen Wachstumsabschnitten sowie die Berechnung der entsprechenden bestimmten
Integrale.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Weder die Rechnung noch ein Antwortsatz müssen angegeben
werden. Die Angabe des richtigen Zahlenwertes ist ausreichend.
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20
Aufgabe 19
Schulstatistik
Lösungserwartung:
In Kärnten ist der Anteil an AHS-Schülerinnen und
-Schülern größer als in Tirol.
Der Anteil an AHS-Schülerinnen und -Schülern ist in
Wien höher als in allen anderen Bundesländern.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Aussagen angekreuzt sind und beide Kreuze
richtig gesetzt sind.
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21
Aufgabe 20
Boxplot-Analyse
Lösungserwartung:
Mehr als 60 % der befragten Mädchen haben einen Schulweg von
mindestens 4 km.
Mindestens 50 % der Mädchen und mindestens 75 % der
Burschen haben einen Schulweg, der kleiner oder gleich 6 km ist.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Aussagen angekreuzt sind und beide Kreuze
richtig gesetzt sind.
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22
Aufgabe 21
Arithmetisches Mittel
Lösungserwartung:
–
x neu = 7,6
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.
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23
Aufgabe 22
Hausübungskontrolle
Lösungserwartung:
P ( „2 Burschen, 1 Mädchen“ ) =
12
20
∙
11
19
∙
8
18
∙ 3 =
44
95
≈ 0,46 = 46 %
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Jede der angeführten Schreibweisen des Ergebnisses (als
Bruch, Dezimalzahl oder in Prozenten) ist als richtig zu werten. Toleranzintervall: [0,46; 0,47] bzw.
[46 %; 47 %]. Sollte als Lösungsmethode die hypergeometrische Verteilung gewählt werden, ist
dies auch als richtig zu werten:
P ( E ) =
( )
12
2
· ( )
8
1
–––––––––
( )
20
3
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24
Aufgabe 23
Diskrete Zufallsvariable
Lösungserwartung:
P (3 ≤ X ≤ 6)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau eine Antwort angekreuzt ist und das Kreuz richtig
gesetzt ist.
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25
Aufgabe 24
Multiple-Choice-Antwort
Lösungserwartung:
X ... Anzahl der richtigen Antworten
W ( X ≥ 4) = 5 ∙
( )
1
4
4
∙
( )
3
4
+
( )
1
4
5
=
1
64
≈ 0,02 = 2 %
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Jede der angeführten Schreibweisen des Ergebnisses (als
Bruch, Dezimalzahl oder in Prozenten) ist als richtig zu werten. Toleranzintervall: [0,015; 0,02]
bzw. [1,5 %; 2 %].
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