Mathematik-Matura Mai 2014 · AHS Teil 1 – Aufgaben

Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung
Mathematik
9. Mai 2014
Teil-1-Aufgaben
Name:
Klasse:
öffentliches Dokument

2
Hinweise zur Aufgabenbearbeitung
Sehr geehrte Kandidatin! Sehr geehrter Kandidat!
Das vorliegende Aufgabenheft zu Teil 1 enthält 24 Aufgaben. Die Aufgaben sind unabhängig voneinander bear
beitbar. Ihnen stehen dafür 120 Minuten an reiner Arbeitszeit zur Verfügung.
Verwenden Sie einen nicht radierbaren, blau oder schwarz schreibenden Stift. Bei Konstruktionsaufgaben ist
auch die Verwendung eines Bleistifts möglich.
Verwenden Sie zur Bearbeitung ausschließlich dieses Aufgabenheft. Schreiben Sie Ihren Namen auf der ersten
Seite des Aufgabenheftes in das dafür vorgesehene Feld.
In die Beurteilung wird alles einbezogen, was nicht durchgestrichen ist. Streichen Sie Notizen im Aufgabenheft
durch.
Sie dürfen eine approbierte Formelsammlung sowie die aus dem Unterricht gewohnten technologischen Hilfs
mittel verwenden.
Das Aufgabenheft ist abzugeben.
Beurteilung
Jede Aufgabe in Teil 1 wird mit 0 Punkten oder 1 Punkt bewertet, jede Teilaufgabe in Teil 2 mit 0, 1 oder 2 Punk
ten. Die mit A gekennzeichneten Aufgabenstellungen werden mit 0 Punkten oder 1 Punkt bewertet.
– Werden im Teil 1 mindestens 16 von 24 Aufgaben richtig gelöst, wird die Arbeit positiv bewertet.
– Werden im Teil 1 weniger als 16 von 24 Aufgaben richtig gelöst, werden mit A markierte Aufgabenstellungen
aus Teil 2 zum Ausgleich (für den laut LBVO „wesentlichen Bereich“) herangezogen.
Werden unter Berücksichtigung der mit A markierten Aufgabenstellungen aus Teil 2 mindestens 16 Aufgaben
richtig gelöst, wird die Arbeit positiv bewertet.
Werden auch unter Berücksichtigung der mit A markierten Aufgabenstellungen aus Teil 2 weniger als 16 Auf
gaben richtig gelöst, wird die Arbeit mit „Nicht genügend“ beurteilt.
– Werden im Teil 1 mindestens 16 Punkte (mit Berücksichtigung der Ausgleichspunkte A ) erreicht, so gilt fol
gender Beurteilungsschlüssel:
Genügend 16– 23 Punkte
Befriedigend 24– 32 Punkte
Gut 33– 40 Punkte
Sehr gut 41– 48 Punkte
Erläuterung der Antwortformate
Die Aufgaben haben einerseits freie Antwortformate , die Sie aus dem Unterricht kennen. Dabei schreiben Sie Ihre
Antwort direkt unter die jeweilige Aufgabenstellung in das Aufgabenheft. Die darüber hinaus zum Einsatz kommen
den Antwortformate werden im Folgenden vorgestellt:
Zuordnungsformat: Dieses Antwortformat ist durch mehrere Aussagen (bzw. Tabellen oder Abbildungen) ge
kennzeichnet, denen mehrere Antwortmöglichkeiten gegenüberstehen. Bearbeiten Sie Aufgaben dieses Formats
korrekt, indem Sie die Antwortmöglichkeiten durch Eintragen der entsprechenden Buchstaben den jeweils zu
treffenden Aussagen zuordnen!
Beispiel:
Gegeben sind zwei Gleichungen.
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den Gleichungen
die entsprechenden Bezeichnungen zu!
1 + 1 = 2 A
2 ∙ 2 = 4 C
A Addition
B Division
C Multiplikation
D Subtraktion
öffentliches Dokument

3
Konstruktionsformat: Eine Aufgabe und deren Aufgabenstellung sind vorgegeben. Die Aufgabe erfordert die Er
gänzung von Punkten, Geraden und/oder Kurven im Aufgabenheft.
Beispiel:
Gegeben ist eine lineare Funktion f mit f ( x ) = k · x + d.
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie den Graphen einer linearen Funktion mit den Bedingungen k = –2 und d > 0 in das vorgegebene
Koordinatensystem ein!
f ( x )
f
x
Multiple-Choice-Format in der Variante „1 aus 6“: Dieses Antwortformat ist durch einen Fragenstamm und
sechs Antwortmöglichkeiten gekennzeichnet, wobei eine Antwortmöglichkeit auszuwählen ist. Bearbeiten Sie
Aufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die einzige zutreffende Antwortmöglichkeit ankreuzen!
Beispiel:
Welche Gleichung ist korrekt?
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende Gleichung an!
1 + 1 = 1 a
2 + 2 = 2 a
3 + 3 = 3 a
4 + 4 = 8 T
5 + 5 = 5 a
6 + 6 = 6 a
Multiple-Choice-Format in der Variante „2 aus 5“: Dieses Antwortformat ist durch einen Fragenstamm und fünf
Antwortmöglichkeiten gekennzeichnet, wobei zwei Antwortmöglichkeiten auszuwählen sind. Bearbeiten Sie Auf
gaben dieses Formats korrekt, indem Sie die beiden zutreffenden Antwortmöglichkeiten ankreuzen!
Beispiel:
Welche Gleichungen sind korrekt?
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Gleichungen an!
1 + 1 = 1 a
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 3 a
4 + 4 = 8 T
5 + 5 = 5 a
öffentliches Dokument

4
Multiple-Choice-Format in der Variante „x aus 5“: Dieses Antwortformat ist durch einen Fragenstamm und fünf
Antwortmöglichkeiten gekennzeichnet, wobei eine, zwei, drei, vier oder fünf Antwortmöglichkeiten auszuwäh
len sind. In der Aufgabenstellung finden Sie stets die Aufforderung „Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n)/
Gleichung(en)/... an!“. Bearbeiten Sie Aufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die zutreffende Antwortmög
lichkeit/die zutreffenden Antwortmöglichkeiten ankreuzen!
Beispiel:
Welche der gegebenen Gleichungen ist/sind korrekt?
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Gleichung(en) an!
1 + 1 = 2 T
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 6 T
4 + 4 = 4 a
5 + 5 = 10 T
Lückentext: Dieses Antwortformat ist durch einen Satz mit zwei Lücken gekennzeichnet, das heißt, im Aufgaben
text sind zwei Stellen ausgewiesen, die ergänzt werden müssen. Für jede Lücke werden je drei Antwortmöglich
keiten vorgegeben. Bearbeiten Sie Aufgaben dieses Formats korrekt, indem Sie die Lücken durch Ankreuzen der
beiden zutreffenden Antwortmöglichkeiten füllen!
Beispiel:
Gegeben sind 3 Gleichungen.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine mathematisch
korrekte Aussage entsteht!
Die Gleichung
1
wird als Zusammenzählung oder
2
bezeichnet.
1
1 – 1 = 0 a
1 + 1 = 2 T
1 ∙ 1 = 1 a
2
Multiplikation a
Subtraktion a
Addition T
So ändern Sie Ihre Antwort bei Aufgaben zum Ankreuzen:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr gültigen Antwort.
2. Kreuzen Sie dann das gewünschte Kästchen an.
1 + 1 = 3 a
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 a
4 + 4 = 4 a
5 + 5 = 9 T
So wählen Sie eine bereits übermalte Antwort:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr gültigen Antwort.
2. Kreisen Sie das gewünschte übermalte Kästchen ein.
1 + 1 = 3 a
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 a
4 + 4 = 4 a
5 + 5 = 9 a
Wenn Sie jetzt noch Fragen haben, wenden Sie sich bitte an Ihre Lehrerin/Ihren Lehrer!
Arbeiten Sie möglichst zügig und konzentriert!
Viel Erfolg bei der Bearbeitung!
Hier wurde zuerst die Antwort „2 + 2 = 4“
übermalt und dann wieder gewählt.
Hier wurde zuerst die Antwort „5 + 5 = 9“
gewählt und dann auf „2 + 2 = 4“ geändert.
öffentliches Dokument

5
Aufgabe 1
Positive rationale Zahlen
Gegeben ist die Zahlenmenge ℚ
+
.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie jene beiden Zahlen an, die Elemente dieser Zahlenmenge sind!
√
_ _ _
5
0,9 ∙ 10
–3
√
__ _
0,01
π
4
–1,41 ∙ 10
3
öffentliches Dokument

6
Aufgabe 2
Punktladungen
Der Betrag F der Kraft zwischen zwei Punktladungen q
1
und q
2
im Abstand r wird beschrieben
durch die Gleichung F = C ∙ –
q
1
∙ q
2
( C ... physikalische Konstante).
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, um welchen Faktor sich der Betrag F der Kraft ändert, wenn der Betrag der Punkt
ladungen q
1
und q
2
jeweils verdoppelt und der Abstand r zwischen diesen beiden Punkt ladungen
halbiert wird!
r
2
öffentliches Dokument

7
Aufgabe 3
Quadratische Gleichung
Die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung rx ² + sx + t = 0 in der Menge der reellen
Zahlen hängt von den Koeffizienten r , s und t ab.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so,
dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht!
Die quadratische Gleichung rx ² + sx + t = 0 hat genau dann für alle r ≠ 0; r , s , t ∈ ℝ
1
, wenn
2
gilt.
1
zwei reelle Lösungen
keine reelle Lösung
genau eine reelle Lösung
2
r ² – 4 st > 0
t ² = 4 r s
s ² – 4 rt > 0
öffentliches Dokument

8
Aufgabe 4
Vektorkonstruktion
Die Abbildung zeigt zwei als Pfeile dargestellte Vektoren
→
a und
→
b und einen Punkt P .
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die unten stehende Abbildung um einen Pfeil, der vom Punkt P ausgeht und den
Vektor
→
a –
→
b darstellt!
öffentliches Dokument

9
Aufgabe 5
Parallele Geraden
Gegeben sind Gleichungen der Geraden g und h . Die beiden Geraden sind nicht ident.
g : y = –
x
4
+ 8
h : X =
( )
4
3
+ s ∙
( )
4
–1
mit s ∈ ℝ
Aufgabenstellung:
Begründen Sie, warum diese beiden Geraden parallel zueinander liegen!
öffentliches Dokument

10
Aufgabe 6
Definition der Winkelfunktionen
Die nachstehende Abbildung zeigt ein rechtwinkeliges Dreieck PQR .
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie jene beiden Gleichungen an, die für das dargestellte Dreieck gelten!
sin α =
sin α =
tan β =
tan α =
cos β =
R
p
Q
r
P
q
α
β
öffentliches Dokument

11
Aufgabe 7
Zerfallsprozess
Der unten abgebildete Graph einer Funktion N stellt einen exponentiellen Zerfallsprozess dar; da
bei bezeichnet t die Zeit und N ( t ) die zum Zeitpunkt t vorhandene Menge des zerfallenden Stoffes.
Für die zum Zeitpunkt t = 0 vorhandene Menge gilt: N (0) = 800.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
t
N ( t )
N
Mit t
H
ist diejenige Zeitspanne gemeint, nach deren Ablauf die ursprüngliche Menge des zerfallen
den Stoffes auf die Hälfte gesunken ist.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
t
H
= 6
t
H
= 2
t
H
= 3
N ( t
H
) = 400
N ( t
H
) = 500
öffentliches Dokument

12
Aufgabe 8
Steigung einer linearen Funktion
Fünf lineare Funktionen sind in verschiedener Weise dargestellt.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie jene beiden Darstellungen an, bei denen die Steigung der dargestellten linearen
Funktion den Wert k = –2 annimmt!
x m ( x )
5 3
6 1
8 –3
g ( x ) = –2 + 3 x
x h ( x )
0 –2
1 0
2 2
x
f ( x )
f
l ( x ) =
3 – 4 x
2
öffentliches Dokument

13
Aufgabe 9
Gleichung einer quadratischen Funktion
Im nachfolgenden Koordinatensystem ist der Graph einer quadratischen Funktion f mit der Glei
chung f ( x ) = a ∙ x ² + b ( a , b ∈ ℝ ) dargestellt.
f ( x ) f
x
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie die Werte der Parameter a und b ! Die für die Berechnung relevanten Punkte mit
ganzzahligen Koordinaten können dem Diagramm entnommen werden.
a =
b =
öffentliches Dokument

14
Aufgabe 10
Wachstum
Die Funktion f beschreibt einen exponentiellen Wachstumsprozess der Form f ( t ) = c · a
t
in Abhän
gigkeit von der Zeit t .
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie für t = 2 und t = 3 die Werte der Funktion f !
t f ( t )
0 400
1 600
2 f (2)
3 f (3)
f (2) =
f (3) =
öffentliches Dokument

15
Aufgabe 11
Exponentialfunktion
Eine reelle Funktion f mit der Gleichung f ( x ) = c ∙ a
x
ist eine Exponentialfunktion, für deren reelle
Parameter c und a gilt: c ≠ 0, a > 1.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie jene beiden Aussagen an, die auf diese Exponentialfunktion f und alle Werte
k , h ∈ ℝ , k > 1 zutreffen!
f ( k ∙ x ) = k ∙ f ( x )
f ( x + h )
f ( x )
= a
h
f ( x + 1) = a ∙ f ( x )
f (0) = 0
f ( x + h ) = f ( x ) + f ( h )
öffentliches Dokument

16
Aufgabe 12
Sinusfunktion
Im untenstehenden Diagramm sind die Graphen zweier Funktionen f und g dargestellt.
Die Funktion f hat die Funktionsgleichung f ( x ) = a ∙ sin( b ∙ x ) mit den reellen Parametern a und b .
Wenn diese Parameter in entsprechender Weise verändert werden, erhält man die Funktion g .
Aufgabenstellung:
Wie müssen die Parameter a und b verändert werden, um aus f die Funktion g zu erhalten?
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so,
dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht!
Um den Graphen von g zu erhalten, muss a
1
und b
2
.
1
verdoppelt werden
halbiert werden
gleich bleiben
2
verdoppelt werden
halbiert werden
gleich bleiben
öffentliches Dokument

17
Aufgabe 13
Prozente
Zahlenangaben in Prozent (%) machen Anteile unterschiedlicher Größen vergleichbar.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Peters monatliches Taschengeld wurde von € 80 auf € 100 erhöht.
Somit bekommt er jetzt um 20 % mehr als vorher.
Ein Preis ist im Laufe der letzten fünf Jahre um 10 % gestiegen.
Das bedeutet in jedem Jahr eine Steigerung von 2 % gegenüber
dem Vorjahr.
Wenn die Inflationsrate in den letzten Monaten von 2 % auf 1,5 %
gesunken ist, bedeutet das eine relative Abnahme der Inflations
rate um 25 %.
Wenn ein Preis zunächst um 20 % gesenkt und kurze Zeit darauf
wieder um 5 % erhöht wurde, dann ist er jetzt um 15 % niedriger
als ursprünglich.
Eine Zunahme um 200 % bedeutet eine Steigerung auf das Drei
fache.
öffentliches Dokument

18
Aufgabe 14
Ableitungswerte ordnen
Gegeben ist der Graph einer Polynomfunktion f .
f ( x )
f
x
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie die Werte f'(0), f'(1), f'(3) und f'(4) der Größe nach, beginnend mit dem kleinsten Wert!
(Die konkreten Werte von f'(0), f'(1), f'(3) und f'(4) sind dabei nicht anzugeben.)
öffentliches Dokument

19
Aufgabe 15
Nikotin
Die Nikotinmenge x (in mg) im Blut eines bestimmten Rauchers kann modellhaft durch die Diffe
renzengleichung x
n +1
= 0,98 ∙ x
n
+ 0,03 ( n in Tagen) beschrieben werden.
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, wie viel Milligramm Nikotin täglich zugeführt werden und wie viel Prozent der im
Körper vorhandenen Nikotinmenge täglich abgebaut werden!
––––––––––––––
mg
––––––––––––––
%
öffentliches Dokument

20
Aufgabe 16
Eigenschaften einer Funktion
Von einer reellen Polynomfunktion f sind der Graph und die Funktionsgleichung der Ableitungs
funktion f ' gegeben: f ' ( x ) = – x + 2.
f ′ ( x )
x
f ′
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Die Stelle x
1
= 0 ist eine Wendestelle von f .
Im Intervall [0; 1] ist f streng monoton fallend.
Die Tangente an den Graphen der Funktion f im Punkt (0| f (0))
hat die Steigung 2.
Die Stelle x
2
= 2 ist eine lokale Maximumstelle von f .
Der Graph der Funktion f weist im Intervall [2; 3] eine Links
krümmung (positive Krümmung) auf.
öffentliches Dokument

21
Aufgabe 17
Schnitt zweier Funktionen
Gegeben sind die beiden reellen Funktionen f und g mit den Gleichungen f ( x ) = x
2
und
g ( x ) = – x
2
+ 8.
Aufgabenstellung:
Im nachstehenden Koordinatensystem sind die Graphen der beiden Funktionen f und g darge
stellt. Schraffieren Sie jene Fläche, deren Größe A mit A =
∫
1
0
g ( x )d x –
∫
1
0
f ( x )d x berechnet werden
kann!
0
0 1 2 3 4 5 –1 –2 –3 –4
2
4
6
8
–2
–4
–6
–8
f
f ( x ), g ( x )
g
x
öffentliches Dokument

22
Aufgabe 18
Pflanzenwachstum
Die unten stehende Abbildung beschreibt näherungsweise das Wachstum einer schnellwüchsi
gen Pflanze. Sie zeigt die Wachstumsgeschwindigkeit v in Abhängigkeit von der Zeit t während
eines Zeitraums von 60 Tagen.
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, um wie viel cm die Pflanze in diesem Zeitraum insgesamt gewachsen ist!
öffentliches Dokument

23
Aufgabe 19
Schulstatistik
Das nachstehende Diagramm stellt für das Schuljahr 2009/10 folgende Daten dar:
– die Anzahl der Schüler/innen nur aus der AHS Unterstufe
– die Gesamtanzahl der Schüler/innen der 1.– 4. Klasse (Hauptschule und AHS Unterstufe)
Anzahl der
Schülerinnen
und Schüler
Burgenland
Kärnten
Niederösterreich
Oberösterreich
Salzburg
Steiermark
Tirol
Vorarlberg
Wien
AHS Unterstufe
Gesamt 1.– 4. Klasse
70 000
60 000
50 000
40 000
30 000
20 000
10 000
0
Quelle: http://www.bmukk.gv.at/schulstatistik
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie jene beiden Aussagen an, die aus dem Diagramm gefolgert werden können!
In Kärnten ist der Anteil an AHS Schülerinnen und
Schülern größer als in Tirol.
In Wien gibt es die meisten Schüler/innen in den
1.– 4. Klassen.
Der Anteil an AHS Schülerinnen und Schülern ist in
Wien höher als in allen anderen Bundesländern.
Es gehen in Salzburg mehr Schüler/innen in die AHS
als im Burgenland in die 1.– 4. Klasse insgesamt.
In Niederösterreich gehen ca. 3 mal so viele Schü
ler/innen in die Hauptschule wie in die AHS.
öffentliches Dokument

24
Aufgabe 20
Boxplot-Analyse
Alle Mädchen und Burschen einer Schulklasse wurden über die Länge ihres Schulweges befragt.
Die beiden Kastenschaubilder (Boxplots) geben Auskunft über ihre Antworten.
Mädchen
Entfernung des Wohnortes gemessen in km
2
1 4
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 2 1 0
5 6 8
4 6 8 10
Burschen
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Mehr als 60 % der befragten Mädchen haben einen Schulweg von
mindestens 4 km.
Der Median der erhobenen Daten ist bei Burschen und Mädchen
gleich.
Mindestens 50 % der Mädchen und mindestens 75 % der
Burschen haben einen Schulweg, der kleiner oder gleich 6 km ist.
Höchstens 40 % der befragten Burschen haben einen Schulweg
zwischen 4 km und 8 km.
Die Spannweite ist bei den Umfragedaten der Burschen genauso
groß wie bei den Umfragedaten der Mädchen.
öffentliches Dokument

25
Aufgabe 21
Arithmetisches Mittel
Neun Athleten eines Sportvereins absolvieren einen Test. Der arithmetische Mittelwert der neun
Testergebnisse x
1
, x
2
, … , x
9
ist x ¯ = 8. Ein zehnter Sportler war während der ersten Testdurch
führung abwesend. Er holt den Test nach, sein Testergebnis ist x
10
= 4.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie das arithmetische Mittel der ergänzten Liste x
1
, x
2
, … , x
10
!
öffentliches Dokument

26
Aufgabe 22
Hausübungskontrolle
Eine Lehrerin wählt am Beginn der Mathematikstunde nach dem Zufallsprinzip 3 Schüler/innen
aus, die an der Tafel die Lösungsansätze der Hausübungsaufgaben erklären müssen. Es sind
12 Burschen und 8 Mädchen anwesend.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass für das Erklären der Lösungsansätze
2 Burschen und 1 Mädchen ausgewählt werden!
öffentliches Dokument

27
Aufgabe 23
Diskrete Zufallsvariable
Die unten stehende Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufalls
variablen X .
Aufgabenstellung:
Welcher der folgenden Ausdrücke beschreibt die Wahrscheinlichkeit, die dem Inhalt der schraf
fierten Fläche entspricht?
Kreuzen Sie den zutreffenden Ausdruck an!
1 – P ( X ≤ 2)
P ( X ≤ 6) – P ( X ≤ 3)
P ( X ≥ 3) + P ( X ≤ 6)
P (3 ≤ X ≤ 6)
P ( X ≤ 6) – P ( X < 2)
P (3 < X < 6)
öffentliches Dokument

28
Aufgabe 24
Multiple-Choice-Antwort
Bei einer schriftlichen Prüfung werden der Kandidatin/dem Kandidaten fünf Fragen mit je vier Ant
wortmöglichkeiten vorgelegt. Genau eine der Antworten ist jeweils richtig.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Kandidatin/der Kandidat bei zufälligem Ankreuzen
mindestens viermal die richtige Antwort kennzeichnet!
öffentliches Dokument

29
öffentliches Dokument

30
öffentliches Dokument

31
öffentliches Dokument

öffentliches Dokument