Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2024 · AHS · Kompi 5

Exemplar für Prüfer/innen
AHS
Juni 2024
Mathematik
Kompensationsprüfung 5
Angabe für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung

Kompensationsprüfung 5 / Juni 2024 / MAT / Prüfer/in S. 2/12
Hinweise zur standardisierten Durchführung
der Kompensationsprüfung
Die vorliegende Angabe zur Kompensationsprüfung umfasst vier Aufgaben, die unabhängig von
einander bearbeitbar sind, und die dazugehörigen Lösungen.
Jede Aufgabe umfasst drei nachzuweisende Handlungskompetenzen.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungsmitglied für die Klausurarbeit freigegebenen For
melsammlung für die SRP in Mathematik ist erlaubt. Weiters ist die Verwendung von elektronischen
Hilfsmitteln (z. B. grafikfähiger Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) erlaubt,
sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetzwer
ke etc.) gegeben ist und der Zugriff auf Eigendateien im elektronischen Hilfsmittel nicht möglich ist.
Nach der Prüfung sind alle Unterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter etc.) der Kandidatinnen
und Kandidaten einzusammeln. Die Prüfungsunterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter, produ
zierte digitale Arbeitsdaten etc.) dürfen erst nach dem für die Kompensationsprüfung vorgesehe
nen Zeitfenster öffentlich werden.
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Der nachstehende Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestel
lung bei der Beurteilung.
Kandidat/in 1 Kandidat/in 2 Kandidat/in 3 Kandidat/in 4 Kandidat/in 5
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
gesamt

Kompensationsprüfung 5 / Juni 2024 / MAT / Prüfer/in S. 3/12
Erläuterungen zur Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem, zwei oder drei Punkten bewertet. Insgesamt können maximal
zwölf Punkte erreicht werden.
Beurteilungsschlüssel für die Kompensationsprüfung
Gesamtanzahl der nachgewiesenen
Handlungskompetenzen
Beurteilung der
mündlichen Kompensationsprüfung
12 Sehr gut
10 – 11 Gut
8 – 9 Befriedigend
6 – 7 Genügend
0 – 5 Nicht genügend

Kompensationsprüfung 5 / Juni 2024 / MAT / Prüfer/in S. 4/12
Aufgabe 1
Hundehütten
a) In der nachstehenden Abbildung ist eine Hundehütte mit einem kreisrunden Eingang modellhaft in der Ansicht von vorne dargestellt.
r
d d
b
α
1) Stellen Sie mithilfe von d und α eine Formel zur Berechnung von b auf.
b =
Die Hundehütte mit dem Eingang mit dem Radius r wird durch eine neue Hundehütte ersetzt.
Der Eingang dieser neuen Hundehütte hat im Vergleich mit der oben abgebildeten Hundehütte einen um 10 % kleineren Radius.
2) Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt des Kreises der neuen Hundehütte um 19 % kleiner als
jener der oben abgebildeten Hundehütte ist.
b) Ein Großhändler kauft 10 Hundehütten vom Typ Waldi und 15 Hundehütten vom Typ Charlie
um insgesamt € 1.800.
Die Kosten für eine Hundehütte vom Typ Waldi sind um € 30 höher als die Kosten für eine
Hundehütte vom Typ Charlie .
1) Berechnen Sie die Kosten für eine Hundehütte vom Typ Waldi .

Kompensationsprüfung 5 / Juni 2024 / MAT / Prüfer/in S. 5/12
Lösung zur Aufgabe 1
Hundehütten
a1) sin
(
α
2
)
=
b
2
d
b = 2 ∙ d ∙ sin
(
α
2
)
a2) A = r
2
∙ π
A neu = (0,9 ∙ r )
2
∙ π = 0,81 ∙ r
2
∙ π = 0,81 ∙ A
Der Flächeninhalt ist also um 19 % kleiner.
b1) w ... Kosten für eine Hundehütte vom Typ Waldi
c ... Kosten für eine Hundehütte vom Typ Charlie
I : 10 ∙ w + 15 ∙ c = 1 800
II : w = c + 30
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
w = 90
c = 60
Eine Hundehütte vom Typ Waldi kostet € 90.

Kompensationsprüfung 5 / Juni 2024 / MAT / Prüfer/in S. 6/12
Aufgabe 2
Kinderrutsche
a) In der unten stehenden Abbildung ist eine Rutsche modellhaft in der Ansicht von der Seite
dargestellt.
Der Aufstieg der Rutsche wird durch den Graphen der Funktion f beschrieben, die Abfahrt der
Rutsche wird durch den Graphen der Funktion g beschrieben.
3 2,8 2,6 2,4 2,2 2 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 3,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1,2
g
f
f ( x ), g ( x ) in m
x in m
1) Stellen Sie eine Gleichung der linearen Funktion f auf.
Für die Polynomfunktion g gilt:
g ( x ) = –
1
5
∙ x
3
+
3
5
∙ x
2
+
1
5
mit 0 ≤ x ≤ 2
Aus Sicherheitsgründen darf der Neigungswinkel an jeder Stelle der Abfahrt höchstens 40°
betragen.
2) Überprüfen Sie rechnerisch, ob diese Vorschrift eingehalten wird.
Die in der obigen Abbildung grau markierte Fläche wird bemalt.
3) Berechnen Sie den Flächeninhalt dieser Fläche.

Kompensationsprüfung 5 / Juni 2024 / MAT / Prüfer/in S. 7/12
Lösung zur Aufgabe 2
Kinderrutsche
a1) f ( x ) = k ∙ x + d
k = –
1
0,8
= –1,25
0 = –1,25 ∙ 2,8 + d
d = 3,5
f ( x ) = –1,25 ∙ x + 3,5
a2) maximaler Steigungswinkel α bei der Wendestelle:
g ″ ( x ) = 0 oder –
6
5
∙ x +
6
5
= 0
x = 1
α = arctan( g ′ (1)) = arctan(0,6) = 30,9...°
Der maximale Steigungswinkel beträgt rund 31°. Die Vorschrift wird also eingehalten.
a3)
∫
1
0
g ( x ) d x – 0,2 ∙ 1 = 0,15
Der Flächeninhalt dieser Fläche beträgt 0,15 m
2
.

Kompensationsprüfung 5 / Juni 2024 / MAT / Prüfer/in S. 8/12
Aufgabe 3
Radioaktive Substanzen
Die jeweils noch vorhandene Masse von radioaktiven Substanzen in Abhängigkeit von der Zeit
lässt sich durch die Exponentialfunktion m beschreiben.
m ( t ) = m 0 ∙ ℯ
– k ∙ t
t ... Zeit in Tagen
m ( t ) ... vorhandene Masse zum Zeitpunkt t in g
m 0 ... vorhandene Masse zum Zeitpunkt t = 0 in g
a) Von einer bestimmten radioaktiven Substanz sind nach 15 Tagen noch 5,3 g vorhanden. Die
Masse nimmt täglich um 2,7 % ab.
1) Stellen Sie eine Gleichung der Exponentialfunktion m für diese radioaktive Substanz auf.
b) Für eine andere radioaktive Substanz gilt:
k = 0,023
1) Berechnen Sie die Zeit, nach der nur noch 5 % der Masse m 0 dieser radioaktiven Sustanz
vorhanden sind.
c) Eine weitere radioaktive Substanz hat die Masse m 0 = 18 g und eine Halbwertszeit von 8 Tagen.
1) Begründen Sie, warum der Zerfall dieser radioaktiven Substanz nicht durch den in der
nachstehenden Abbildung dargestellten Graphen von f beschrieben werden kann.
f ( t ) in g
t in Tagen
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
20
f
18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 20

Kompensationsprüfung 5 / Juni 2024 / MAT / Prüfer/in S. 9/12
Lösung zur Aufgabe 3
Radioaktive Substanzen
a1) m (1) = m 0 ∙ 0,973 = m 0 ∙ ℯ
– k
k = –ln(0,973) = 0,0273...
5,3 = m 0 ∙ ℯ
–0,0273... ∙ 15
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
m 0 = 7,99...
m ( t ) = 8 ∙ ℯ
–0,027 ∙ t
oder:
m ( t ) = 8 ∙ 0,973
t
(Parameter gerundet)
b1) 0,05 ∙ m 0 = m 0 ∙ ℯ
–0,023 ∙ t
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
t = 130,2...
Nach rund 130 Tagen sind nur noch 5 % der Masse m 0 vorhanden.
c1) Nach 8 Tagen beträgt die Masse der radioaktiven Substanz entsprechend dem dargestellten
Graphen 10 g. Nach 8 Tagen sollten aber nur noch 9 g vorhanden sein.

Kompensationsprüfung 5 / Juni 2024 / MAT / Prüfer/in S. 10/12
Aufgabe 4
Aufnahmetest
Bei einem bestimmten Aufnahmetest können die teilnehmenden Personen 0 bis höchstens
100 Punkte erreichen.
a) Die nachstehende Abbildung zeigt die Anzahl der Personen, die bei diesem Aufnahmetest
„ höchstens 50 Punkte “ , „ zwischen 50 und 80 Punkte “ bzw. „ mindestens 80 Punkte “ erreicht
haben.
Personen
Punkte
50
40
30
60
[0; 50] (50; 80) [80; 100]
Die Daten aus der obigen Abbildung sollen in einem Histogramm dargestellt werden.
Der Flächeninhalt eines Rechtecks im unten stehenden Histogramm entspricht der Anzahl der
Personen, die eine Punktzahl im entsprechenden Bereich erreicht haben.
1) Vervollständigen Sie dieses Histogramm durch Einzeichnen der zwei fehlenden Rechtecke.
Punkte
0
2
1
70 60 50 30 20 10 0 80 90 100 40
3
Von den 144 teilnehmenden Personen werden 3 Personen nach dem Zufallsprinzip ausgewählt.
2) Beschreiben Sie ein Ereignis E im gegebenen Sachzusammenhang, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem nachstehenden Ausdruck berechnet werden kann.
P ( E ) = 1 –
104
144
·
103
143
·
102
142

Kompensationsprüfung 5 / Juni 2024 / MAT / Prüfer/in S. 11/12
b) Bei der ersten Aufgabe dieses Aufnahmetests können höchstens 5 Punkte erreicht werden.
Die Ergebnisse zur ersten Aufgabe des Aufnahmetests eines bestimmten Prüfungstermins
sind in der nach stehenden Tabelle angegeben.
erreichte Punkte absolute Häufigkeit
0 22
1 10
2 35
3 42
4 23
5 12
1) Berechnen Sie das arithmetische Mittel x der erreichten Punkte.

Kompensationsprüfung 5 / Juni 2024 / MAT / Prüfer/in S. 12/12
Lösung zur Aufgabe 4
Aufnahmetest
a1)
54
30
= 1,8
40
20
= 2
Punkte
0
2
1
70 60 50 30 20 10 0 80 90 100 40
3
a2) E ... „ unter 3 zufällig ausgewählten Personen befindet sich mindestens 1 Person, die
mindestens 80 Punkte erhalten hat “
b1) x =
0 · 22 + 1 · 10 + 2 · 35 + 3 · 42 + 4 · 23 + 5 · 12
144
= 2,48...