Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2024 · AHS · Kompi 4

Exemplar für Prüfer/innen
AHS
Juni 2024
Mathematik
Kompensationsprüfung 4
Angabe für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung

Kompensationsprüfung 4 / Juni 2024 / MAT / Prüfer/in S. 2/11
Hinweise zur standardisierten Durchführung
der Kompensationsprüfung
Die vorliegende Angabe zur Kompensationsprüfung umfasst vier Aufgaben, die unabhängig von
einander bearbeitbar sind, und die dazugehörigen Lösungen.
Jede Aufgabe umfasst drei nachzuweisende Handlungskompetenzen.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungsmitglied für die Klausurarbeit freigegebenen For
melsammlung für die SRP in Mathematik ist erlaubt. Weiters ist die Verwendung von elektronischen
Hilfsmitteln (z. B. grafikfähiger Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) erlaubt,
sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetzwer
ke etc.) gegeben ist und der Zugriff auf Eigendateien im elektronischen Hilfsmittel nicht möglich ist.
Nach der Prüfung sind alle Unterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter etc.) der Kandidatinnen
und Kandidaten einzusammeln. Die Prüfungsunterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter, produ
zierte digitale Arbeitsdaten etc.) dürfen erst nach dem für die Kompensationsprüfung vorgesehe
nen Zeitfenster öffentlich werden.
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Der nachstehende Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestel
lung bei der Beurteilung.
Kandidat/in 1 Kandidat/in 2 Kandidat/in 3 Kandidat/in 4 Kandidat/in 5
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
gesamt

Kompensationsprüfung 4 / Juni 2024 / MAT / Prüfer/in S. 3/11
Erläuterungen zur Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem, zwei oder drei Punkten bewertet. Insgesamt können maximal
zwölf Punkte erreicht werden.
Beurteilungsschlüssel für die Kompensationsprüfung
Gesamtanzahl der nachgewiesenen
Handlungskompetenzen
Beurteilung der
mündlichen Kompensationsprüfung
12 Sehr gut
10 – 11 Gut
8 – 9 Befriedigend
6 – 7 Genügend
0 – 5 Nicht genügend

Kompensationsprüfung 4 / Juni 2024 / MAT / Prüfer/in S. 4/11
Aufgabe 1
Windrose
Mithilfe von Windrosen werden Himmelsrichtungen angegeben. Häufig verwendet man Wind rosen
auch zur Orientierung auf Landkarten.
a) In der nachstehenden Abbildung ist eine Windrose dargestellt.
x
α
1) Zeichnen Sie in der obigen Abbildung eine Strecke ein, deren Länge mit dem nachstehenden
Ausdruck berechnet werden kann.
x ∙ sin( α )
b) In der nachstehenden Abbildung ist eine vereinfachte Windrose dargestellt, die aus acht
deckungs gleichen Dreiecken besteht.
1 cm
6 cm
45°
α
β
1) Berechnen Sie den Flächeninhalt dieser Windrose.
2) Stellen Sie mithilfe von α eine Formel zur Berechnung von β auf.
β =

Kompensationsprüfung 4 / Juni 2024 / MAT / Prüfer/in S. 5/11
Lösung zur Aufgabe 1
Windrose
a1)
x
α
x ∙ sin( ) α
b1) A =
6 ∙ 1
2
∙ 8 = 24
oder:
A =
6 ∙ 2
2
∙ 4 = 24
Der Flächeninhalt beträgt 24 cm
2
.
b2) β = 360° – 2 ∙ (135° – α )
oder:
β = 90° + 2 ∙ α

Kompensationsprüfung 4 / Juni 2024 / MAT / Prüfer/in S. 6/11
Aufgabe 2
Wandspiegel
In der nachstehenden Abbildung ist ein Wandspiegel in der Ansicht von vorne modellhaft in einem
Koordinatensystem dargestellt.
y in cm
x in cm
Glas
f
g
P
80 cm
O
Lichtband
a) Die obere Begrenzungslinie des Glases kann durch den Graphen der Funktion f modelliert
werden.
f ( x ) = –0,00625 ∙ x
2
+ 100
x , f ( x ) ... Koordinaten in cm
1) Berechnen Sie den Flächeninhalt der in der obigen Abbildung grau markierten Fläche.
b) Die obere Begrenzungslinie des Lichtbands kann durch den Graphen der Funktion g modelliert werden.
Der Graph von g liegt an jeder Stelle 10 cm über dem Graphen von f .
1) Tragen Sie in der nachstehenden Gleichung der Funktion g die fehlenden Zahlen in die
dafür vorgesehenen Kästchen ein.
g ( x ) = ∙ x
2
+
Der Punkt P in der obigen Abbildung hat die x -Koordinate xP .
2) Zeichnen Sie in der obigen Abbildung den Winkel α ein, der mit dem nachstehenden Ausdruck berechnet werden kann.
α = 90° + arctan( g ′ ( xP ))

Kompensationsprüfung 4 / Juni 2024 / MAT / Prüfer/in S. 7/11
Lösung zur Aufgabe 2
Wandspiegel
a1) A =
∫
40
–40
f ( x ) d x = 7 733,3...
Der Flächeninhalt der grau markierten Fläche beträgt rund 7 733 cm
2
.
b1) g ( x ) = –0,00625 ∙ x
2
+ 110
b2)
y in cm
x in cm
Glas
f
g
P
80 cm
O
Lichtband
α
Das Einzeichnen der Tangente ist hinsichtlich der Punktevergabe nicht erforderlich.
Ein Einzeichnen eines anderen Winkels mit dem gleichen Winkelmaß ist ebenfalls als richtig zu
werten.

Kompensationsprüfung 4 / Juni 2024 / MAT / Prüfer/in S. 8/11
Aufgabe 3
Wölfe in Österreich
Eine Wildtierbiologin untersucht die Anzahl der Wölfe in verschiedenen Regionen Österreichs.
a) Für die Region A stellt sie folgende Behauptung auf:
„ Die Anzahl der Wölfe nimmt aktuell sehr stark zu, und zwar mit einem exponentiellen Wachstum von rund 33 % pro Jahr, was eine Verdopplung in 3 Jahren bedeutet. “
1) Zeigen Sie, dass diese Behauptung zur Verdoppelungszeit unter der Annahme eines exponentiellen Wachstums mit einem jährlichen Änderungsfaktor von 1,33 nicht stimmt.
b) Für die Region B modelliert die Wildtierbiologin die Anzahl der Wölfe mithilfe der Funktion w .
w ( t ) = 31 ∙ ℯ
0,285 ∙ t
t ... Zeit in Jahren mit t = 0 für den Beginn des Jahres 2022
w ( t ) ... Anzahl der Wölfe zum Zeitpunkt t
1) Berechnen Sie die absolute Änderung der Anzahl der Wölfe in dieser Region vom Beginn
des Jahres 2022 bis zum Beginn des Jahres 2027.
c) Für die Region C modelliert die Wildtierbiologin die Anzahl der Wölfe mithilfe der Funktion u .
t ... Zeit in Jahren
u ( t ) ... Anzahl der Wölfe zum Zeitpunkt t
Die mittlere Änderungsrate der Anzahl der Wölfe im Zeitintervall [0; 3] ist um 25 % kleiner als
die mittlere Änderungsrate der Anzahl der Wölfe im Zeitintervall [3; 7].
1) Stellen Sie mithilfe der Funktion u eine Gleichung zur Beschreibung dieses Sachverhalts
auf.

Kompensationsprüfung 4 / Juni 2024 / MAT / Prüfer/in S. 9/11
Lösung zur Aufgabe 3
Wölfe in Österreich
a1) 1,33
t
= 2
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
t = 2,43...
Da die Verdopplung gemäß diesem Modell schon nach rund 2,4 Jahren eintritt, stimmt die
Behauptung nicht.
b1) w (5) – w (0) = 97,8...
Die absolute Änderung der Anzahl der Wölfe in diesem Zeitraum beträgt rund 98.
c1)
u (3) – u (0)
3 – 0
=
3
4
∙
u (7) – u (3)
7 – 3
oder:
4
3
∙
u (3) – u (0)
3 – 0
=
u (7) – u (3)
7 – 3

Kompensationsprüfung 4 / Juni 2024 / MAT / Prüfer/in S. 10/11
Aufgabe 4
Spielwürfel
Für ein Spiel werden drei faire Würfel (A, B und C) mit unterschiedlichen Augenzahlen entworfen.
Die Netze der drei Würfel mit den jeweiligen Augenzahlen sind in der nachstehenden Ab bildung
dargestellt.
3 2 2
3
2
3
4 1 1
1
1
4
6 2 2
1
2
m
Würfel A Würfel B Würfel C
a) Eine noch unbekannte Augenzahl auf dem Würfel C wird mit m bezeichnet.
Die Zufallsvariablen X A und X C sind wie folgt definiert:
• X A ... Augenzahl, wenn der Würfel A genau einmal geworfen wird
• X C ... Augenzahl, wenn der Würfel C genau einmal geworfen wird
Die Erwartungswerte E ( X A ) und E ( X C ) sind gleich.
1) Ermitteln Sie m .
b) Reinhold wirft den Würfel B n -mal.
Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der Würfe an, bei der die Augenzahl 4 geworfen wird.
1) Stellen Sie unter Verwendung von n eine Formel zur Berechnung von P ( Y ≥ 2) auf.
P ( Y ≥ 2) =
c) Karin wirft gleichzeitig den Würfel A und den Würfel B.
Die Zufallsvariable Z gibt die Augensumme der beiden geworfenen Würfel an.
1) Geben Sie alle Werte an, die die Zufallsvariable Z annehmen kann.

Kompensationsprüfung 4 / Juni 2024 / MAT / Prüfer/in S. 11/11
Lösung zur Aufgabe 4
Spielwürfel
a1) E ( X A ) = E ( X C )
E ( X A ) = 2 · 0,5 + 3 · 0,5 = 2,5
E ( X C ) = 2 · 0,5 + 6 ·
1
6
+ 1 ·
1
6
+ m ·
1
6
2,5 = 2 · 0,5 + 6 ·
1
6
+ 1 ·
1
6
+ m ·
1
6
m = 2
b1) P ( Y ≥ 2) = 1 – P ( Y = 0) – P ( Y = 1)
P ( Y ≥ 2) = 1 – (
n
0
) · (
1
3
)
0
· (
2
3
)
n
– (
n
1
) · (
1
3
)
1
· (
2
3
)
n – 1
oder:
P ( Y ≥ 2) = 1 – (
2
3
)
n
– n ·
1
3
· (
2
3
)
n – 1
c1) Die Zufallsvariable Z kann 3, 4, 6 oder 7 als Wert annehmen.