Kompensationsprüfung Mathematik – Jänner/Februar 2024 · AHS · Kompi 1

Exemplar für Prüfer/innen
AHS
Jänner 2025
Mathematik
Kompensationsprüfung 1
Angabe für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2025 / MAT / Prüfer/in S. 2/12
Hinweise zur standardisierten Durchführung
der Kompensationsprüfung
Die vorliegende Angabe zur Kompensationsprüfung umfasst vier Aufgaben, die unabhängig von
einander bearbeitbar sind, und die dazugehörigen Lösungen.
Jede Aufgabe umfasst drei nachzuweisende Handlungskompetenzen.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungsmitglied für die Klausurarbeit freigegebenen For
melsammlung für die SRP in Mathematik ist erlaubt. Weiters ist die Verwendung von elektronischen
Hilfsmitteln (z. B. grafikfähiger Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) erlaubt,
sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetzwer
ke etc.) gegeben ist und der Zugriff auf Eigendateien im elektronischen Hilfsmittel nicht möglich ist.
Nach der Prüfung sind alle Unterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter etc.) der Kandidatinnen
und Kandidaten einzusammeln. Die Prüfungsunterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter, produ
zierte digitale Arbeitsdaten etc.) dürfen erst nach dem für die Kompensationsprüfung vorgesehe
nen Zeitfenster öffentlich werden.
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Der nachstehende Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestel
lung bei der Beurteilung.
Kandidat/in 1 Kandidat/in 2 Kandidat/in 3 Kandidat/in 4 Kandidat/in 5
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
gesamt

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2025 / MAT / Prüfer/in S. 3/12
Erläuterungen zur Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem, zwei oder drei Punkten bewertet. Insgesamt können maximal
zwölf Punkte erreicht werden.
Beurteilungsschlüssel für die Kompensationsprüfung
Gesamtanzahl der nachgewiesenen
Handlungskompetenzen
Beurteilung der
mündlichen Kompensationsprüfung
12 Sehr gut
10 – 11 Gut
8 – 9 Befriedigend
6 – 7 Genügend
0 – 5 Nicht genügend

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2025 / MAT / Prüfer/in S. 4/12
Aufgabe 1
Autorennen
a) Auf der Rennstrecke Laguna Seca in Kalifornien gibt es einen Streckenabschnitt namens
Corkscrew , der auf dem steilsten Stück ein Gefälle von 11 % aufweist.
1) Berechnen Sie den zu diesem Gefälle gehörigen Winkel.
Ein bestimmter Streckenabschnitt setzt sich aus einem geradlinigen Teil und einem Kreis
bogen zusammen.
Dieser Streckenabschnitt mit der Länge ℓ ist in der nachstehenden Abbildung (Ansicht von
oben) fett markiert.
α
r
r
a
Kreisbogen
geradliniger Teil
2) Stellen Sie eine Formel zur Berechnung von ℓ auf. Verwenden Sie dabei α , a und r.
ℓ =
b) Ein anderer Streckenabschnitt mit der Länge s wird mit der konstanten Geschwindigkeit v in
der Zeit t durchfahren.
Maria behauptet: „ Wird auf diesem Streckenabschnitt die konstante Geschwindigkeit v um
30 % erhöht, so verringert sich die Zeit t um 30 %. “
1) Zeigen Sie, dass Marias Behauptung falsch ist.

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2025 / MAT / Prüfer/in S. 5/12
Lösung zur Aufgabe 1
Autorennen
a1) α = arctan(0,11) = 6,27...°
Der Winkel beträgt rund 6,3°.
a2) ℓ = π ∙ r ∙
α
180°
+

a
2
– r
2
b1) t =
s
v
t neu =
s
1,3 ∙ v
= 0,769... ∙ t
Die Aussage ist falsch, da sich die Zeit nur um rund 23 % verringert.

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2025 / MAT / Prüfer/in S. 6/12
Aufgabe 2
Wasserkanal
a) Ein Bach soll reguliert werden. Dafür wird ein Wasserkanal angelegt.
Der Querschnitt eines bestimmten Abschnitts des Wasserkanals wird durch den Graphen der
quadratischen Funktion f beschrieben (siehe nachstehende Abbildung).
1 0,5 0 –0,5 –1 –1,5 –2 –2,5 2 1,5 2,5
f ( x ) in m
x in m
0,5
0
1
f
1) Stellen Sie eine Gleichung der quadratischen Funktion f auf.
b) Der Querschnitt eines anderen Abschnitts des Wasserkanals wird durch den Graphen der
quadratischen Funktion g beschrieben. Dieser Abschnitt hat eine Länge von 30 m. (Siehe
nachstehende Abbildungen.)
Wasser 30 m
g ( x ) in m
x in m
g
2 0 –3
0
1
Es gilt: g ( x ) =
4
25
∙ x
2
+
4
25
∙ x +
1
25
1) Berechnen Sie, wie viele Kubikmeter Wasser sich in diesem Abschnitt des Wasserkanals
befinden.

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2025 / MAT / Prüfer/in S. 7/12
c) In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Polynomfunktion h dargestellt.
h ( x ) in m
x in m
h
2 1 0 4 3 5
0,8
0,6
0,4
0,2
1
0
1) Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutref
fenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Für die Polynomfunktion h im Intervall [1; 4] gilt:
1
und
2
.
1
h ′ ( x ) < 0
h ′ ( x ) = 0
h ′ ( x ) > 0
2
h ″ ( x ) < 0
h ″ ( x ) = 0
h ″ ( x ) > 0

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2025 / MAT / Prüfer/in S. 8/12
Lösung zur Aufgabe 2
Wasserkanal
a1) f ( x ) = a ∙ x
2
f (2) = 1
a = 0,25
f ( x ) = 0,25 ∙ x
2
b1) A =
∫
2
–3
(1 – g ( x )) d x
oder:
A = 5 ∙ 1 –
∫
2
–3
g ( x ) d x
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
A =
10
3
V =
10
3
∙ 30 = 100
In diesem Abschitt des Wasserkanals befinden sich 100 m
3
Wasser.
c1)
1
h ′ ( x ) < 0
2
h ″ ( x ) > 0

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2025 / MAT / Prüfer/in S. 9/12
Aufgabe 3
Waren- und Güterverkehr
a) Die Menge der pro Jahr auf einer bestimmten Bahnstrecke transportierten Güter in Abhängig
keit von der Zeit kann durch die lineare Funktion g modelliert werden.
t ... Zeit in Jahren mit t = 0 für das Jahr 2017
g ( t ) ... Menge der pro Jahr transportierten Güter zur Zeit t in Tonnen
Die jeweilige Menge der pro Jahr transportierten Güter ist für zwei ausgewählte Jahre in der
nachstehenden Tabelle angegeben.
Jahr Menge der pro Jahr transportierten Güter in Tonnen
2017 50 000
2021 135 000
1) Berechnen Sie mithilfe der Funktion g die Menge der pro Jahr transportierten Güter für das
Jahr 2026.
In einem anderen Modell wird die Menge der pro Jahr transportierten Güter in Abhängigkeit
von der Zeit durch die Exponentialfunktion f beschrieben.
f ( t ) = 50 000 ∙ 1,282
t
t ... Zeit in Jahren mit t = 0 für das Jahr 2017
f ( t ) ... Menge der pro Jahr transportierten Güter zur Zeit t in Tonnen
Die Funktion f soll in der Form f ( t ) = b ∙ ℯ
k ∙ t
dargestellt werden.
2) Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehenen Kästchen ein.
f ( t ) = ∙ ℯ
∙ t
b) Die Anzahl der Pakete, die im Jahr 2022 in einem bestimmten Verteilzentrum pro Tag abge
fertigt worden sind, lässt sich durch die Funktion p modellieren.
t ... Zeit in Tagen mit t = 0 für den Beginn des Jahres 2022
p ( t ) ... Anzahl der pro Tag abgefertigten Pakete zur Zeit t
1) Interpretieren Sie das Ergebnis der nachstehenden Berechnung im gegebenen Sach
zusammenhang.
∫
365
0
p ( t ) d t = 475 000

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2025 / MAT / Prüfer/in S. 10/12
Lösung zur Aufgabe 3
Waren- und Güterverkehr
a1) g ( t ) = k ∙ t + d
g (0) = 50 000
g (4) = 135 000
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
g ( t ) = 21 250 ∙ t + 50 000
g (9) = 241 250
Die Menge der pro Jahr transportierten Güter im Jahr 2026 beträgt 241 250 Tonnen.
a2) 1,282 = ℯ
k
k = ln(1,282) = 0,248...
f ( t ) = 50 000 ∙ ℯ
0,25
∙ t
(Parameter gerundet)
b1) In diesem Verteilzentrum sind im Jahr 2022 (bzw. in den 365 Tagen dieses Jahres) insgesamt
475 000 Pakete abgefertigt worden.

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2025 / MAT / Prüfer/in S. 11/12
Aufgabe 4
Medizinischer Test
Bei einem bestimmten medizinischen Test werden zum Nachweis einer Krankheit Blut proben
untersucht.
a) Aus Erfahrung weiß man, dass bei solch einem Test jede Blutprobe unabhängig von den
anderen Blutproben mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % ein positives Testergebnis liefert.
Es wird eine Zufallsstichprobe von 120 Blutproben untersucht.
1) Interpretieren Sie das Ergebnis der nachstehenden Berechnung im gegebenen Sach
zusammenhang.
120 ∙ 0,1 = 12
Es wird eine Zufallsstichprobe von 30 Blutproben untersucht.
2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter diesen 30 Blutproben keine einzige ein
positives Testergebnis liefert.
b) Nicht jede Blutprobe ist auswertbar. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine nach dem Zufallsprinzip
ausgewählte Blutprobe auswertbar ist, beträgt unabhängig von den anderen Blutproben p .
Es wird eine Zufallsstichprobe von 50 Blutproben untersucht.
1) Stellen Sie mithilfe von p eine Formel zur Berechnung der nachstehenden Wahrscheinlich
keit auf.
P ( „ mindestens 49 von 50 Blutproben sind auswertbar “ ) =

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2025 / MAT / Prüfer/in S. 12/12
Lösung zur Aufgabe 4
Medizinischer Test
a1) Der Erwartungswert für die Anzahl positiver Testergebnisse (unter diesen 120 Blutproben)
beträgt 12.
a2) 0,9
30
= 0,0423...
Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 4,2 %.
b1) P ( „ mindestens 49 von 50 Blutproben sind auswertbar “ ) = p
50
+ 50 ∙ p
49
∙ (1 – p )
oder:
P ( „ mindestens 49 von 50 Blutproben sind auswertbar “ ) =
k = 49
∑
50
(
50
k
) ∙ p
k
∙ (1 – p )
50 – k