Kompensationsprüfung Mathematik – September/Oktober 2023 · AHS · Kompi 1

Exemplar für Prüfer/innen
AHS
Oktober 2023
Mathematik
Kompensationsprüfung 1
Angabe für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2023 / MAT / Prüfer/in S. 2/11
Hinweise zur standardisierten Durchführung
der Kompensationsprüfung
Die vorliegende Angabe zur Kompensationsprüfung umfasst vier Aufgaben, die unabhängig von
einander bearbeitbar sind, und die dazugehörigen Lösungen.
Jede Aufgabe umfasst drei nachzuweisende Handlungskompetenzen.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungsmitglied für die Klausurarbeit freigegebenen For
melsammlung für die SRP in Mathematik ist erlaubt. Weiters ist die Verwendung von elektronischen
Hilfsmitteln (z. B. grafikfähiger Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) erlaubt,
sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetzwer
ke etc.) gegeben ist und der Zugriff auf Eigendateien im elektronischen Hilfsmittel nicht möglich ist.
Nach der Prüfung sind alle Unterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter etc.) der Kandidatinnen
und Kandidaten einzusammeln. Die Prüfungsunterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter, produ
zierte digitale Arbeitsdaten etc.) dürfen erst nach dem für die Kompensationsprüfung vorgesehe
nen Zeitfenster öffentlich werden.
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Der nachstehende Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestel
lung bei der Beurteilung.
Kandidat/in 1 Kandidat/in 2 Kandidat/in 3 Kandidat/in 4 Kandidat/in 5
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
gesamt

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2023 / MAT / Prüfer/in S. 3/11
Erläuterungen zur Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem, zwei oder drei Punkten bewertet. Insgesamt können maximal
zwölf Punkte erreicht werden.
Beurteilungsschlüssel für die Kompensationsprüfung
Gesamtanzahl der nachgewiesenen
Handlungskompetenzen
Beurteilung der
mündlichen Kompensationsprüfung
12 Sehr gut
10 – 11 Gut
8 – 9 Befriedigend
6 – 7 Genügend
0 – 5 Nicht genügend

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2023 / MAT / Prüfer/in S. 4/11
Aufgabe 1
Alter Elbtunnel
Der Alte Elbtunnel in Hamburg ermöglicht das Unterqueren der Elbe.
a) Der Querschnitt des Tunnels entspricht
näherungsweise einem Rechteck mit
aufgesetztem Halbkreis (siehe nebenstehende
Abbildung).
b ... Breite in m
h ... Höhe in m
Daniel möchte das Luftvolumen V im
426,5 m langen Alten Elbtunnel berechnen.
h
b
Quelle: BMBWF
1) Stellen Sie mithilfe von b und h eine Formel zur Berechnung von V auf.
V =
b) In der nachstehenden Abbildung ist die Steigung eines Teilstücks des Fahrradwegs im Tunnel
modellhaft dargestellt.
a
α
a ... waagrechte Länge des Teilstücks in m
α ... Steigungswinkel des Teilstücks
Eine Radfahrerin fährt auf diesem Teilstück mit der Geschwindigkeit v in m/s.
Es gilt:
v
a
cos( α )
= 12,5
1) Interpretieren Sie den Wert 12,5 im gegebenen Sachzusammenhang. Geben Sie dabei die
zugehörige Einheit an.
c) Im ersten Jahr nach der Eröffnung haben 20 Millionen Personen den Alten Elbtunnel genutzt.
Die Anzahl der Personen, die jährlich den Alten Elbtunnel nutzten, ist bis 1985 um 97,5 %
zurückgegangen und anschließend wieder gestiegen. Im Jahr 2008 haben um 40 % mehr
Personen den Alten Elbtunnel genutzt als im Jahr 1985.
1) Berechnen Sie die Anzahl der Personen, die den Alten Elbtunnel im Jahr 2008 genutzt
haben.

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2023 / MAT / Prüfer/in S. 5/11
Lösung zur Aufgabe 1
Alter Elbtunnel
a1) V = 426,5 ·
(
b · h +
1
2
·
(
b
2
)
2
· π
)
oder:
V = 426,5 ·
(
b · h +
b
2
8
· π
)
b1) Die Radfahrerin benötigt für dieses Teilstück 12,5 s.
c1) 20 000 000 · 0,025 · 1,4 = 700 000
Im Jahr 2008 haben 700 000 Personen den Alten Elbtunnel genutzt.

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2023 / MAT / Prüfer/in S. 6/11
Aufgabe 2
Hängebrücke
Der Verlauf einer bestimmten Hängebrücke für Fußgänger lässt sich modellhaft durch quadrati
sche Funktionen beschreiben.
a) In einem Modell wird der Verlauf der Hängebrücke durch die Funktion h mit
h ( x ) = a · x
2
+ b · x beschrieben (siehe nachstehende Abbildung in der Ansicht von der Seite).
h ( x ) in m
x in m
O
h
P
T
Der Graph von h verläuft durch den Punkt P = (120 | 6). An der Stelle x = 40 befindet sich
der tiefste Punkt T der Brücke.
Zur Berechnung der Koeffizienten a und b wird mithilfe der Informationen zu den Punkten P
und T das nachstehende Gleichungssystem erstellt.
1) Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehenen Kästchen ein.
I : a ·
2
+ b · =
II : a · + b =
Für die Funktion h gilt: h ( x ) = 0,00125 · x
2
– 0,1 · x
2) Berechnen Sie den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von h im Punkt P .
In einem anderen Koordinatensystem kann der Verlauf der Hängebrücke durch die Funktion f
mit f ( x ) = a · x
2
beschrieben werden.
3) Zeichnen Sie in der obigen Abbildung die Koordinatenachsen für den Graphen von f ein.

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2023 / MAT / Prüfer/in S. 7/11
Lösung zur Aufgabe 2
Hängebrücke
a1) I : a · 120
2
+ b · 120 = 6
II : a · 80 + b = 0
a2) α = arctan( h ′ (120)) = arctan(0,2)
α = 11,30...°
a3) h ( x ) in m
x in m
O
h
P
T

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2023 / MAT / Prüfer/in S. 8/11
Aufgabe 3
Sportartikel
a) Für einen bestimmten Sportartikel ist die Ableitungsfunktion K ′ der Kostenfunktion K gegeben.
K ′ ( x ) = 3 · x
2
– 8 · x + 20
x ... Anzahl der produzierten ME
K ′ ( x ) ... 1. Ableitung der Kostenfunktion K bei x ME in GE/ME
Die Fixkosten betragen 4 200 GE.
1) Stellen Sie eine Gleichung der Kostenfunktion K auf.
b) Für einen anderen Sportartikel sind die Kostenfunktion K 1 und die Erlösfunktion E 1 gegeben.
K 1 ( x ) = 0,01 · x
2
+ 10 · x + 200
E 1 ( x ) = –0,25 · x
2
+ 50 · x
x ... Anzahl der produzierten und verkauften ME
K 1 ( x ) ... Gesamtkosten bei x ME in GE
E 1 ( x ) ... Erlös bei x ME in GE
1) Berechnen Sie den Gewinn bei x = 70 ME.
c) In einer Studie hat man untersucht, wie viele Mengeneinheiten eines bestimmten Sportartikels
langfristig verkauft werden können.
Die Anzahl der verkauften Mengeneinheiten kann in Abhängigkeit von der Zeit durch die Funk
tion A modelliert werden.
A ( t ) = a – 30 · b
t
mit 0 < b < 1
t ... Zeit in Monaten mit t = 0 für den Verkaufsbeginn
A ( t ) ... Anzahl der zur Zeit t verkauften Mengeneinheiten
a , b ... Parameter
1) Begründen Sie anhand der Funktionsgleichung von A , warum gemäß diesem Modell nie
mals mehr als a Mengeneinheiten verkauft werden können.

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2023 / MAT / Prüfer/in S. 9/11
Lösung zur Aufgabe 3
Sportartikel
a1) K ( x ) =
∫
K ′ ( x ) d x = 3 ·
x
3
3
– 8 ·
x
2
2
+ 20 · x + C = x
3
– 4 · x
2
+ 20 · x + C
K (0) = 4 200
C = 4 200
K ( x ) = x
3
– 4 · x
2
+ 20 · x + 4 200
b1) G 1 ( x ) = E 1 ( x ) – K 1 ( x ) = –0,26 · x
2
+ 40 · x – 200
G 1 (70) = 1 326
Der Gewinn bei 70 ME beträgt 1 326 GE.
c1) Der Ausdruck 30 · b
t
ist für alle t positiv und daher kann der Ausdruck a – 30 · b
t
niemals
einen größeren Wert als a annehmen.

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2023 / MAT / Prüfer/in S. 10/11
Aufgabe 4
Würfeln
Bei einem bestimmten Spiel wird mit fairen sechsflächigen Würfeln gewürfelt. Die Seitenflächen
dieser Würfel sind jeweils mit den Ziffern 1, 2, 3, ... , 6 beschriftet.
a) Andrea würfelt mehrmals mit einem Würfel.
1) Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der nachstehenden Wahrscheinlichkeit P auf.
P („Andrea würfelt bei a Würfen keinen einzigen Sechser“) =
b) Ferdinand würfelt einmal mit 2 Würfeln.
Er behauptet: „Die Wahrscheinlichkeit, die Augensumme 5 zu würfeln, ist größer als die Wahr
scheinlichkeit, die Augensumme 4 zu würfeln.“
1) Weisen Sie rechnerisch nach, dass Ferdinands Behauptung richtig ist.
c) Sabrina würfelt einmal mit 5 Würfeln.
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau 4 der 5 Würfel die gleiche Ziffer
zeigen.

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2023 / MAT / Prüfer/in S. 11/11
Lösung zur Aufgabe 4
Würfeln
a1) P ( E ) =
(
5
6
)
a
b1) Augensumme 5: 1 + 4 oder 2 + 3 oder 3 + 2 oder 4 + 1
Augensumme 4: 1 + 3 oder 2 + 2 oder 3 + 1
Damit gilt:
P ( X = 5) =
4
36
P ( X = 4) =
3
36
4
36
>
3
36
c1) 6 · (
5
4
) ·
(
1
6
)
4
·
(
5
6
)
= 0,0192...
Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 1,9 %.