Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2023 · AHS · Kompi 5

Exemplar für Prüfer/innen
AHS
Mai /Juni 2023
Mathematik
Kompensationsprüfung 5
Angabe für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung

Kompensationsprüfung 5 / Mai /Juni 2023 / MAT / Prüfer/in S. 2/11
Hinweise zur standardisierten Durchführung
der Kompensationsprüfung
Die vorliegende Angabe zur Kompensationsprüfung umfasst vier Aufgaben, die unabhängig von
einander bearbeitbar sind, und die dazugehörigen Lösungen.
Jede Aufgabe umfasst drei nachzuweisende Handlungskompetenzen.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungsmitglied für die Klausurarbeit freigegebenen For
melsammlung für die SRP in Mathematik ist erlaubt. Weiters ist die Verwendung von elektronischen
Hilfsmitteln (z. B. grafikfähiger Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) erlaubt,
sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetzwer
ke etc.) gegeben ist und der Zugriff auf Eigendateien im elektronischen Hilfsmittel nicht möglich ist.
Nach der Prüfung sind alle Unterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter etc.) der Kandidatinnen
und Kandidaten einzusammeln. Die Prüfungsunterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter, produ
zierte digitale Arbeitsdaten etc.) dürfen erst nach dem für die Kompensationsprüfung vorgesehe
nen Zeitfenster öffentlich werden.
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Der nachstehende Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestel
lung bei der Beurteilung.
Kandidat/in 1 Kandidat/in 2 Kandidat/in 3 Kandidat/in 4 Kandidat/in 5
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
gesamt

Kompensationsprüfung 5 / Mai /Juni 2023 / MAT / Prüfer/in S. 3/11
Erläuterungen zur Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem, zwei oder drei Punkten bewertet. Insgesamt können maximal
zwölf Punkte erreicht werden.
Beurteilungsschlüssel für die Kompensationsprüfung
Gesamtanzahl der nachgewiesenen
Handlungskompetenzen
Beurteilung der
mündlichen Kompensationsprüfung
12 Sehr gut
10 – 11 Gut
8 – 9 Befriedigend
6 – 7 Genügend
0 – 5 Nicht genügend

Kompensationsprüfung 5 / Mai /Juni 2023 / MAT / Prüfer/in S. 4/11
Aufgabe 1
Vektoren
a) Eine Parameterdarstellung der Geraden g und der Punkt P ∈ g sind gegeben.
P = (–3,2 | 1,4)
g : X = (
4
c
) + t ∙ (
2
1
) mit c , t ∈ ℝ
1) Ermitteln Sie c .
b) In der nachstehenden Abbildung sind der Punkt A und der Vektor m dargestellt.
y
x
O
A
m
1) Zeichnen Sie den Punkt B so ein, dass gilt: B = A – 0,5 ∙ m
c) Gegeben sind die Vektoren a = (
w
8
) und b = (
4
v
) mit v , w ∈ ℝ .
1) Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutref
fenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Für alle v , w ∈ ℝ sind die Vektoren a und b jedenfalls
1
, wenn gilt:
2
.
1
parallel
normal aufeinander
gleich lang
2
w = –2 ∙ v
w = v
2 ∙ w = v

Kompensationsprüfung 5 / Mai /Juni 2023 / MAT / Prüfer/in S. 5/11
Lösung zur Aufgabe 1
Vektoren
a1) –3,2 = 4 + 2 ∙ t
t = –3,6
1,4 = c + t ∙ 1
c = 5
b1) y
x
O
A
m
B
c1) 1
normal aufeinander
2
w = –2 ∙ v

Kompensationsprüfung 5 / Mai /Juni 2023 / MAT / Prüfer/in S. 6/11
Aufgabe 2
Beschattung
a) Für die Beschattung einer Terrasse wird ein symmetrisches Sonnensegel aus Stoff angefertigt.
Die Begrenzungslinien können mithilfe der Graphen der Funktionen f , g und h beschrieben
werden (siehe nachstehende Abbildung).
x in m
g h
f
Symmetrieachse
f ( x ), g ( x ), h ( x ) in m
5 4 3 2 1 0 6
0
Der Flächeninhalt A der grau markierten Fläche soll berechnet werden.
1) Tragen Sie in die nachstehende Formel die fehlenden Ausdrücke in die dafür vorgesehenen
Kästchen ein.
A = 2 ∙
0
∫
g ( x ) d x –
0
∫
d x
Für die Funktion f gilt: f ( x ) = –
1
50
∙ x
2
+ u ∙ x
2) Ermitteln Sie mithilfe der obigen Abbildung den Koeffizienten u .
Eine der Begrenzungslinien kann durch den Graphen der Funktion h mit
h ( x ) = a ∙ x
2
+ b ∙ x + c beschrieben werden.
3) Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutref
fenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Der Koeffizient a muss
1
sein; der Graph der Funktion h
2
.
1
positiv
negativ
gleich null
2
ist positiv gekrümmt
ist negativ gekrümmt
hat keine Krümmung

Kompensationsprüfung 5 / Mai /Juni 2023 / MAT / Prüfer/in S. 7/11
Lösung zur Aufgabe 2
Beschattung
a1) A = 2 ∙
0
3
∫
g ( x ) d x –
0
6
∫
f ( x ) d x
a2) f (6) = 0 oder: –
1
50
∙ 6
2
+ u ∙ 6 = 0
oder:
f ′ (3) = 0 oder: –
1
25
∙ 3 + u = 0
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
u = 0,12
a3)
1
positiv
2
ist positiv gekrümmt

Kompensationsprüfung 5 / Mai /Juni 2023 / MAT / Prüfer/in S. 8/11
Aufgabe 3
Erwerbstätigkeit
a) In einer bestimmten Stadt gab es zu Beobachtungsbeginn 20 000 Erwerbstätige. Innerhalb
von 4 Jahren erhöhte sich diese Anzahl um 6 000. In einem einfachen Modell geht man davon
aus, dass die Anzahl der Erwerbstätigen jedes Jahr um denselben Wert zunimmt.
t ... Zeit in Jahren seit Beobachtungsbeginn
f ( t ) ... Anzahl der Erwerbstätigen in dieser Stadt zum Zeitpunkt t
1) Stellen Sie eine Gleichung der Funktion f auf.
b) Die Anzahl der Erwerbstätigen in einer anderen Stadt kann in Abhängigkeit von der Zeit t mit
hilfe der Funktion g beschrieben werden.
g ( t ) = 24 000 ∙ 1,02
t
t ... Zeit in Jahren seit Beobachtungsbeginn
g ( t ) ... Anzahl der Erwerbstätigen in dieser Stadt zum Zeitpunkt t
Die Lösung der nachstehenden Gleichung wurde berechnet:
48 000 = 24 000 ∙ 1,02
t 1
t 1 ≈ 35 Jahre
1) Interpretieren Sie den Wert 35 im gegebenen Sachzusammenhang.
c) In einer weiteren Stadt kann die Anzahl der Erwerbstätigen näherungsweise mithilfe der Funk
tion h beschrieben werden.
h ( t ) = 6 000 – 2 312 ∙ ℯ
– λ ∙ t
t ... Zeit in Jahren seit Beobachtungsbeginn
h ( t ) ... Anzahl der Erwerbstätigen in dieser Stadt zum Zeitpunkt t
20 Jahre nach Beobachtungsbeginn gab es in dieser Stadt 5 400 Erwerbstätige.
1) Berechnen Sie den Parameter λ .

Kompensationsprüfung 5 / Mai /Juni 2023 / MAT / Prüfer/in S. 9/11
Lösung zur Aufgabe 3
Erwerbstätigkeit
a1) f ( t ) =
6 000
4
∙ t + 20 000
oder:
f ( t ) = 1 500 ∙ t + 20 000
b1) Nach rund 35 Jahren hat sich die Anzahl der Erwerbstätigen in dieser Stadt verdoppelt.
oder:
Die Verdoppelungszeit für die Anzahl der Erwerbstätigen in dieser Stadt beträgt rund 35 Jah
re.
oder:
Nach rund 35 Jahren ist die Anzahl der Erwerbstätigen in dieser Stadt auf 48 000 gestiegen.
c1) 5 400 = 6 000 – 2 312 ∙ ℯ
–20 ∙ λ
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
λ = 0,0674...

Kompensationsprüfung 5 / Mai /Juni 2023 / MAT / Prüfer/in S. 10/11
Aufgabe 4
Basketball
Eine bestimmte Basketballmannschaft hat 20 Spieler, davon sind 16 Spieler größer als 1,90 m.
a) Die 16 größten Spieler haben eine durchschnittliche Körpergröße von 2,00 m.
Die übrigen Spieler haben eine durchschnittliche Körpergröße von 1,80 m.
1) Berechnen Sie die durchschnittliche Körpergröße aller 20 Spieler.
Es werden 3 Spieler zufällig ausgewählt.
2) Beschreiben Sie ein Ereignis E im gegebenen Sachzusammenhang, dessen Wahrschein
lichkeit durch den nachstehenden Ausdruck berechnet wird.
P ( E ) =
16
20
∙
15
19
∙
14
18
+ 3 ∙
16
20
∙
15
19
∙
4
18
≈ 0,91
b) Für die Anwesenheiten bei den regelmäßigen Trainings wird Folgendes angenommen:
Bei jedem Training nimmt jeder der 20 Spieler unabhängig von den anderen Spielern mit der
Wahrscheinlichkeit p am Training teil. Die zu erwartende Anzahl der Spieler, die nicht an einem
Training teilnehmen, wird mit A bezeichnet.
1) Stellen Sie mithilfe von p eine Formel zur Berechnung von A auf.
A =

Kompensationsprüfung 5 / Mai /Juni 2023 / MAT / Prüfer/in S. 11/11
Lösung zur Aufgabe 4
Basketball
a1)
16 ∙ 2,00 + 4 ∙ 1,80
20
= 1,96
Die durchschnittliche Körpergröße aller Spieler ist 1,96 m.
a2) Von den 3 ausgewählten Spielern sind mindestens 2 Spieler größer als 1,90 m.
oder:
Von den 3 ausgewählten Spielern ist höchstens 1 Spieler kleiner als 1,90 m.
b1) A = 20 ∙ (1 – p )