Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2023 · AHS · Kompi 4

Exemplar für Prüfer/innen
AHS
Mai /Juni 2023
Mathematik
Kompensationsprüfung 4
Angabe für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung

Kompensationsprüfung 4 / Mai /Juni 2023 / MAT / Prüfer/in S. 2/11
Hinweise zur standardisierten Durchführung
der Kompensationsprüfung
Die vorliegende Angabe zur Kompensationsprüfung umfasst vier Aufgaben, die unabhängig von
einander bearbeitbar sind, und die dazugehörigen Lösungen.
Jede Aufgabe umfasst drei nachzuweisende Handlungskompetenzen.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungsmitglied für die Klausurarbeit freigegebenen For
melsammlung für die SRP in Mathematik ist erlaubt. Weiters ist die Verwendung von elektronischen
Hilfsmitteln (z. B. grafikfähiger Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) erlaubt,
sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetzwer
ke etc.) gegeben ist und der Zugriff auf Eigendateien im elektronischen Hilfsmittel nicht möglich ist.
Nach der Prüfung sind alle Unterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter etc.) der Kandidatinnen
und Kandidaten einzusammeln. Die Prüfungsunterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter, produ
zierte digitale Arbeitsdaten etc.) dürfen erst nach dem für die Kompensationsprüfung vorgesehe
nen Zeitfenster öffentlich werden.
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Der nachstehende Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestel
lung bei der Beurteilung.
Kandidat/in 1 Kandidat/in 2 Kandidat/in 3 Kandidat/in 4 Kandidat/in 5
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
gesamt

Kompensationsprüfung 4 / Mai /Juni 2023 / MAT / Prüfer/in S. 3/11
Erläuterungen zur Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem, zwei oder drei Punkten bewertet. Insgesamt können maximal
zwölf Punkte erreicht werden.
Beurteilungsschlüssel für die Kompensationsprüfung
Gesamtanzahl der nachgewiesenen
Handlungskompetenzen
Beurteilung der
mündlichen Kompensationsprüfung
12 Sehr gut
10 – 11 Gut
8 – 9 Befriedigend
6 – 7 Genügend
0 – 5 Nicht genügend

Kompensationsprüfung 4 / Mai /Juni 2023 / MAT / Prüfer/in S. 4/11
Aufgabe 1
Bewegung und Sport
Im Unterrichtsfach Bewegung und Sport werden Bälle und Sportgeräte verwendet.
a) Ein Tennisball hat eine Masse von m = 58 g und ein Volumen von V = 144 cm
3
.
Die Masse m ist das Produkt aus Dichte ϱ und Volumen V , also m = ϱ · V .
1) Interpretieren Sie das Ergebnis der nachstehenden Berechnung. Geben Sie die zugehörige
Einheit an.
58
144
= 0,402...
b) Ein Fußball hat einen um 17 % größeren Durchmesser als ein Handball. Beide Bälle werden
als annähernd kugelförmig angenommen.
1) Berechnen Sie, um wie viel Prozent das Volumen eines Fußballs größer ist als jenes eines
Handballs.
c) Im Unterrichtsfach Bewegung und Sport wird unter anderem eine Rampe verwendet (siehe
nachstehende modellhafte Abbildung).
H
L
α
1) Stellen Sie mithilfe von α und H eine Formel zur Berechnung von L auf.
L =

Kompensationsprüfung 4 / Mai /Juni 2023 / MAT / Prüfer/in S. 5/11
Lösung zur Aufgabe 1
Bewegung und Sport
a1) Es wird die Dichte dieses Tennisballs in g/cm
3
berechnet.
b1) Volumen des Handballs:
V H =
4 · r
3
· π
3
=
d
3
· π
6
Volumen des Fußballs:
V F =
(1,17 · d )
3
· π
6
=
1,601... · d
3
· π
6
= 1,601... · V H
Das Volumen eines Fußballs ist um rund 60 % größer als das Volumen eines Handballs.
c1) L =
H
tan( α )

Kompensationsprüfung 4 / Mai /Juni 2023 / MAT / Prüfer/in S. 6/11
Aufgabe 2
Wasserstand eines Flusses
Die Funktion h beschreibt näherungsweise den zeitlichen Verlauf des Wasserstands eines
bestimmten Flusses an einer Messstelle.
t ... Zeit in h
h ( t ) ... Wasserstand zum Zeitpunkt t in m
a) 1) Stellen Sie einen Ausdruck zur Berechnung der mittleren Änderungsrate des Wasserstands
im Zeitintervall [0; a ] auf.
b) Nach einem starken Regen beginnt der Wasserstand dieses Flusses zu steigen. Zum Zeit
punkt t = 0 hat der Wasserstand die Hochwasser Vorwarnstufe erreicht.
Für die Funktion h gilt:
h ( t ) =
3
1 000
· ( t
3
– 40 · t
2
+ 370 · t + 700) mit 0 ≤ t ≤ 20
1) Ermitteln Sie den Zeitpunkt, zu dem der Wasserstand erstmals wieder die Höhe der Hoch
wasser Vorwarnstufe erreicht.
Für einen bestimmten Zeitpunkt t 0 mit 0 ≤ t 0 ≤ 20 gilt:
h ′ ( t 0 ) = 0
h ״ ( t 0 ) < 0
h ( t 0 ) ≈ 5
2) Interpretieren Sie den Wert 5 im gegebenen Sachzusammenhang.

Kompensationsprüfung 4 / Mai /Juni 2023 / MAT / Prüfer/in S. 7/11
Lösung zur Aufgabe 2
Wasserstand eines Flusses
a1)
h ( a ) – h (0)
a – 0
b1) Hochwasser Vorwarnstufe: h (0) = 2,1 m
h ( t ) = 2,1 oder
3
1 000
· ( t
3
– 40 · t
2
+ 370 · t + 700) = 2,1
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
t = 14,52...
Nach rund 14,5 Stunden wird die Hochwasser Vorwarnstufe wieder erreicht.
c1) Zum Zeitpunkt t 0 hat der Wasserstand die größte Höhe (5 m) erreicht.

Kompensationsprüfung 4 / Mai /Juni 2023 / MAT / Prüfer/in S. 8/11
Aufgabe 3
Partyballons
Hängt man an einen mit Helium befüllten Luftballon eine bestimmte Masse, so steigt dieser nicht
mehr in die Höhe. Diese Masse wird als Tragfähigkeit bezeichnet.
Mit der Zeit entweicht das Helium aus dem Luftballon. Dadurch sinkt die Tragfähigkeit des
Luftballons.
a) Bei einer bestimmten Luftballonart lässt sich die Tragfähigkeit in Gramm in Abhängigkeit von
der Zeit t in Stunden näherungsweise durch die Exponentialfunktion f beschreiben.
Nach 10 Stunden beträgt die Tragfähigkeit 5 g. Das ist die Hälfte der Tragfähigkeit, die der
Luftballon zum Zeitpunkt der Befüllung ( t = 0) hatte.
1) Zeichnen Sie in der nachstehenden Abbildung den Graphen der Funktion f im Inter
vall [0; 20] ein.
f ( t ) in g
t in h
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
11
0 10 20
Es gilt: f ′ (15) ≈ – 0,27
2) Interpretieren Sie den Wert – 0,27 im gegebenen Sachzusammenhang. Geben Sie dabei
die zugehörige Einheit an.
b) Bei einer anderen Luftballonart wird angenommen, dass die Tragfähigkeit pro Stunde um
einen konstanten Wert abnimmt.
Zum Zeitpunkt der Befüllung ( t = 0) beträgt die Tragfähigkeit 17 g. Nach 300 Stunden beträgt
die Tragfähigkeit 12 g.
Dieser Zusammenhang soll durch die Funktion m beschrieben werden.
t ... Zeit nach der Befüllung in h
m ( t ) ... Tragfähigkeit zur Zeit t in g
1) Stellen Sie eine Gleichung der Funktion m auf.

Kompensationsprüfung 4 / Mai /Juni 2023 / MAT / Prüfer/in S. 9/11
Lösung zur Aufgabe 3
Partyballons
a1)
f ( t ) in g
t in h
f
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
11
0 10 20
Der Graph von f muss linksgekrümmt (positiv gekrümmt) sein und durch die Punkte (0 | 10) ,
(10 | 5) und (20 | 2,5) verlaufen.
a2) Die momentane Änderungsrate der Tragfähigkeit zum Zeitpunkt t = 15 h beträgt –0,27 g/h.
oder:
Die Tragfähigkeit des Ballons nimmt zum Zeitpunkt t = 15 h um 0,27 g/h ab.
b1) m ( t ) = k · t + d
k =
12 – 17
300
= –
1
60
= – 0,0166...
d = 17
m ( t ) = –
1
60
· t + 17

Kompensationsprüfung 4 / Mai /Juni 2023 / MAT / Prüfer/in S. 10/11
Aufgabe 4
Gruppenauswahl
In einer bestimmten Schulklasse gibt es k Kinder, davon sind m Mädchen ( k > m , m ≥ 2).
a) Aus allen Kindern der Schulklasse wird für eine bestimmte Aktivität genau 1 Kind zufällig aus
gewählt.
1) Beschreiben Sie ein Ereignis E im gegebenen Sachzusammenhang, dessen Wahrschein
lichkeit mit dem nachstehenden Ausdruck berechnet werden kann.
P ( E ) = 1 –
m
k
b) Aus der Schulklasse soll für eine andere Aktivität eine Gruppe von 3 Kindern zufällig ausge
wählt werden.
Die Auswahl der 3 Kinder erfolgt unabhängig voneinander.
1) Stellen Sie mithilfe von m und k eine Formel zur Berechnung der nachstehenden Wahr
scheinlichkeit auf.
P („genau 2 der 3 Kinder sind Mädchen“) =
c) Es gilt: k = 20 und m = 12
1) Ermitteln Sie die Anzahl der möglichen Gruppen von jeweils 5 Kindern, in denen kein Mäd
chen dabei ist.

Kompensationsprüfung 4 / Mai /Juni 2023 / MAT / Prüfer/in S. 11/11
Lösung zur Aufgabe 4
Gruppenauswahl
a1) E ... das ausgewählte Kind ist kein Mädchen
b1) P („genau 2 der 3 Kinder sind Mädchen“) = 3 ∙
m
k
∙
m – 1
k – 1
∙
k – m
k – 2
c1) (
8
5
) = 56