Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2023 · AHS · Kompi 2

Exemplar für Prüfer/innen
AHS
Mai /Juni 2023
Mathematik
Kompensationsprüfung 2
Angabe für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung

Kompensationsprüfung 2 / Mai /Juni 2023 / MAT / Prüfer/in S. 2/11
Hinweise zur standardisierten Durchführung
der Kompensationsprüfung
Die vorliegende Angabe zur Kompensationsprüfung umfasst vier Aufgaben, die unabhängig von
einander bearbeitbar sind, und die dazugehörigen Lösungen.
Jede Aufgabe umfasst drei nachzuweisende Handlungskompetenzen.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungsmitglied für die Klausurarbeit freigegebenen For
melsammlung für die SRP in Mathematik ist erlaubt. Weiters ist die Verwendung von elektronischen
Hilfsmitteln (z. B. grafikfähiger Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) erlaubt,
sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetzwer
ke etc.) gegeben ist und der Zugriff auf Eigendateien im elektronischen Hilfsmittel nicht möglich ist.
Nach der Prüfung sind alle Unterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter etc.) der Kandidatinnen
und Kandidaten einzusammeln. Die Prüfungsunterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter, produ
zierte digitale Arbeitsdaten etc.) dürfen erst nach dem für die Kompensationsprüfung vorgesehe
nen Zeitfenster öffentlich werden.
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Der nachstehende Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestel
lung bei der Beurteilung.
Kandidat/in 1 Kandidat/in 2 Kandidat/in 3 Kandidat/in 4 Kandidat/in 5
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
gesamt

Kompensationsprüfung 2 / Mai /Juni 2023 / MAT / Prüfer/in S. 3/11
Erläuterungen zur Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem, zwei oder drei Punkten bewertet. Insgesamt können maximal
zwölf Punkte erreicht werden.
Beurteilungsschlüssel für die Kompensationsprüfung
Gesamtanzahl der nachgewiesenen
Handlungskompetenzen
Beurteilung der
mündlichen Kompensationsprüfung
12 Sehr gut
10 – 11 Gut
8 – 9 Befriedigend
6 – 7 Genügend
0 – 5 Nicht genügend

Kompensationsprüfung 2 / Mai /Juni 2023 / MAT / Prüfer/in S. 4/11
Aufgabe 1
Segel
In der nebenstehenden Abbildung ist ein
Surfbrett mit Segel modellhaft dargestellt.
Die weißen Flächen mit den Inhalten A 1 , A 2 und A 3
werden bedruckt.
y
x
A
1
A
2
A
3
α
a) 1) Stellen Sie eine Formel zur Berechnung des Inhalts der Fläche A 1 auf. Verwenden Sie dabei
x , y und α .
A 1 =
b) Beim Bedrucken des Segels wird die Fläche A 2 durch eine Diagonale unterteilt (siehe nachste
hende Abbildung).
1,02 dm
β
0,48 dm 0,90 dm
1) Zeigen Sie rechnerisch, dass der Winkel β ein rechter Winkel ist.
c) Der Inhalt der bedruckten Flächen A 1 , A 2 und A 3 beträgt insgesamt 86 dm
2
. Das entspricht
63 % des Inhalts der gesamten Segelfläche.
1) Berechnen Sie den Inhalt der nicht bedruckten Fläche.

Kompensationsprüfung 2 / Mai /Juni 2023 / MAT / Prüfer/in S. 5/11
Lösung zur Aufgabe 1
Segel
a1) A 1 = x ∙ y +
y ∙
y
tan( α )
2
oder:
A 1 =
x +
(
x +
y
tan( α )
)
2
∙ y
b1) Der Winkel β ist ein rechter Winkel, da gilt:
0,48
2
+ 0,9
2
= 1,0404 = 1,02
2
Auch ein rechnerischer Nachweis mithilfe von Winkelfunktionen ist als richtig zu werten.
c1)
86
0,63
∙ 0,37 = 50,50...
Der Inhalt der nicht bedruckten Fläche beträgt rund 50,5 dm
2
.

Kompensationsprüfung 2 / Mai /Juni 2023 / MAT / Prüfer/in S. 6/11
Aufgabe 2
Smartphones
Die (weltweit durchschnittlichen) Anschaffungskosten in US Dollar ($) für ein bestimmtes Smart
phone sind für verschiedene Jahre in der nachstehenden Tabelle angegeben.
Jahr 2010 2013 2015 2018
Anschaffungskosten in $ 363 284 252 345
a) 1) Berechnen Sie die durchschnittliche Änderung der Anschaffungskosten in $ pro Jahr im
Zeitraum von 2013 bis 2018.
b) Die Anschaffungskosten in Abhängigkeit von der Zeit t können in einem einfachen Modell
durch die Polynomfunktion 3. Grades K beschrieben werden.
K ( t ) = a ∙ t
3
+ b ∙ t
2
+ c ∙ t + d
t … Zeit in Jahren mit t = 0 für das Jahr 2010
K ( t ) … Anschaffungskosten zur Zeit t in $
1) Begründen Sie mithilfe der 2. Ableitung der Funktion K , warum die Funktion K genau
1 Wendestelle hat.
2) Erstellen Sie mithilfe der obigen Tabelle ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizi
enten der Funktion K .

Kompensationsprüfung 2 / Mai /Juni 2023 / MAT / Prüfer/in S. 7/11
Lösung zur Aufgabe 2
Smartphones
a1)
345 – 284
2018 – 2013
= 12,2
Die durchschnittliche Änderung der Anschaffungskosten im Zeitraum von 2013 bis 2018
beträgt 12,2 $ pro Jahr.
b1) K ″ ( t ) = 6 ∙ a ∙ t + 2 ∙ b
Zur Berechnung von Wendestellen werden die Nullstellen von K ″ berechnet.
Da K ″ eine lineare Funktion ist, gibt es genau 1 Nullstelle (mit Vorzeichenwechsel) von K ″
und somit hat K genau 1 Wendestelle.
b2) I : K (0) = 363
II : K (3) = 284
III : K (5) = 252
IV : K (8) = 345
oder:
I : d = 363
II : 27 ∙ a + 9 ∙ b + 3 ∙ c + d = 284
III : 125 ∙ a + 25 ∙ b + 5 ∙ c + d = 252
IV : 512 ∙ a + 64 ∙ b + 8 ∙ c + d = 345

Kompensationsprüfung 2 / Mai /Juni 2023 / MAT / Prüfer/in S. 8/11
Aufgabe 3
Pendelbewegung
Eine rote und eine blaue Kugel, die an unterschiedlich langen Schnüren befestigt sind, pendeln
von links nach rechts und wieder zurück. Dieser Vorgang wiederholt sich mehrmals.
Die Geschwindigkeit der roten Kugel in den ersten 10 Sekunden ihrer Pendelbewegung wird
näherungsweise durch die Funktion v R : [0; 10] → ℝ mit v R ( t ) = 30 ∙ sin(π ∙ t ) modelliert ( t in s,
v R ( t ) in cm/s).
Für die Bewegung vom Ausgangspunkt nach rechts gilt: v R ( t ) > 0
Für die Bewegung zum Ausgangspunkt nach links gilt: v R ( t ) < 0
a) 1) Interpretieren Sie das Ergebnis der nachstehenden Berechnung im gegebenen Sachzu
sammenhang. Geben Sie dabei die zugehörige Einheit an.
v R ′ (0,4) ≈ 29
Es wird eine Hin und Herschwingung betrachtet. Die rote Kugel bewegt sich dabei ausge
hend vom Ausgangspunkt also einmal nach rechts und anschließend wieder nach links zum
Ausgangspunkt. Die Schwingungsdauer beträgt dabei 2 Sekunden.
2) Berechnen Sie den dabei zurückgelegten Weg der roten Kugel.
b) Es gilt:
Die Maximalgeschwindigkeit der blauen Kugel ist doppelt so groß wie die der roten Kugel.
Die Schwingungsdauer der blauen Kugel ist doppelt so groß wie die der roten Kugel.
1) Stellen Sie die Funktionsgleichung für die Geschwindigkeit v B der blauen Kugel auf
( t in s, v B ( t ) in cm/s).
v B ( t ) =

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Lösung zur Aufgabe 3
Pendelbewegung
a1) Die rote Kugel hat zum Zeitpunkt t = 0,4 s eine Beschleunigung von rund 29 cm/s
2
.
a2) 2 ∙
∫
1
0
v R ( t ) d t = 38,1...
Der von der roten Kugel zurückgelegte Weg beträgt rund 38 cm.
b1) v B ( t ) = 60 ∙ sin (
π
2
∙ t )

Kompensationsprüfung 2 / Mai /Juni 2023 / MAT / Prüfer/in S. 10/11
Aufgabe 4
Elektromobilität
a) Ende des Jahres 2021 gab es in Österreich insgesamt 76 539 Elektro PKW. Davon entfiel der
größte Anteil auf die Automarke T mit einer Anzahl von 13 494 Elektro PKW.
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Elektro PKW in Ös
terreich Ende des Jahres 2021 von der Automarke T ist.
b) In der nachstehenden Tabelle sind die unterschiedlichen Kraftstoffarten und die jeweilige An
zahl an PKW, die mit diesen Kraftstoffen betrieben werden, angegeben. (Alle Angaben gelten
für Österreich am 31.12.2021.)
Kraftstoffart Anzahl an PKW nach Kraftstoffart
Klassische Kraftstoffart
Benzin 2 197 006
Diesel 2 717 475
Alternative Kraftstoffart
Elektro 76 539
Flüssiggas 1
Erdgas 2 654
Hybrid 140 106
Wasserstoff 55
Quelle: Statistik Austria
Von den am 31.12.2021 in Österreich zugelassenen 7 214 970 Kraftfahrzeugen waren
71,2 % PKW.
Karoline führt mithilfe der obigen Werte die nachstehende Berechnung durch.
76 539 + 1 + 2 654 + 140 106 + 55
7 214 970 ∙ 0,712
≈ 0,043
1) Interpretieren Sie das Ergebnis dieser Berechnung im gegebenen Sachzusammenhang.
c) Ein bestimmtes Unternehmen hat 10 Elektro PKW, die jeweils einen durchschnittlichen Strom
verbrauch von x Kilowattstunden (kWh) pro 100 km haben.
Das Unternehmen kauft nun 1 weiteren Elektro PKW mit einem Stromverbrauch von 15 kWh
pro 100 km.
1) Stellen Sie mithilfe von x eine Formel zur Berechnung des durchschnittlichen Stromver
brauchs x aller 11 Elektro PKW des Unternehmens auf.
x = kWh pro 100 km

Kompensationsprüfung 2 / Mai /Juni 2023 / MAT / Prüfer/in S. 11/11
Lösung zur Aufgabe 4
Elektromobilität
a1)
13 494
76 539
= 0,1763...
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Elektro PKW in Österreich Ende des
Jahres 2021 von der Automarke T ist, beträgt rund 17,6 %.
b1) Rund 4,3 % aller PKW in Österreich werden mit alternativen Kraftstoffen angetrieben.
c1) x =
x ∙ 10 + 15
11
kWh pro 100 km