Kompensationsprüfung Mathematik – Jänner/Februar 2023 · AHS · Kompi 2

Exemplar für Prüfer/innen
AHS
Jänner 2024
Mathematik
Kompensationsprüfung 2
Angabe für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung

Kompensationsprüfung 2 / Jänner 2024 / MAT / Prüfer/in S. 2/11
Hinweise zur standardisierten Durchführung
der Kompensationsprüfung
Die vorliegende Angabe zur Kompensationsprüfung umfasst vier Aufgaben, die unabhängig von
einander bearbeitbar sind, und die dazugehörigen Lösungen.
Jede Aufgabe umfasst drei nachzuweisende Handlungskompetenzen.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungsmitglied für die Klausurarbeit freigegebenen For
melsammlung für die SRP in Mathematik ist erlaubt. Weiters ist die Verwendung von elektronischen
Hilfsmitteln (z. B. grafikfähiger Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) erlaubt,
sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetzwer
ke etc.) gegeben ist und der Zugriff auf Eigendateien im elektronischen Hilfsmittel nicht möglich ist.
Nach der Prüfung sind alle Unterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter etc.) der Kandidatinnen
und Kandidaten einzusammeln. Die Prüfungsunterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter, produ
zierte digitale Arbeitsdaten etc.) dürfen erst nach dem für die Kompensationsprüfung vorgesehe
nen Zeitfenster öffentlich werden.
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Der nachstehende Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestel
lung bei der Beurteilung.
Kandidat/in 1 Kandidat/in 2 Kandidat/in 3 Kandidat/in 4 Kandidat/in 5
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
gesamt

Kompensationsprüfung 2 / Jänner 2024 / MAT / Prüfer/in S. 3/11
Erläuterungen zur Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem, zwei oder drei Punkten bewertet. Insgesamt können maximal
zwölf Punkte erreicht werden.
Beurteilungsschlüssel für die Kompensationsprüfung
Gesamtanzahl der nachgewiesenen
Handlungskompetenzen
Beurteilung der
mündlichen Kompensationsprüfung
12 Sehr gut
10 – 11 Gut
8 – 9 Befriedigend
6 – 7 Genügend
0 – 5 Nicht genügend

Kompensationsprüfung 2 / Jänner 2024 / MAT / Prüfer/in S. 4/11
Aufgabe 1
Vase
In den nachstehenden Abbildungen ist eine Vase modellhaft dargestellt.
H
h
r
R
α oberer Teil
unterer Teil
a) 1) Stellen Sie eine Formel zur Berechnung des Winkels α auf. Verwenden Sie dabei R , r und H .
b) Das gesamte Volumen der Vase setzt sich aus dem Volumen des oberen Teiles und dem
Volumen des unteren Teiles zusammen.
Das Volumen des oberen Teiles der Vase kann mit der nachstehenden Formel berechnet
werden.
V oberer Teil =
π · H
3
· ( R
2
+ R · r + r
2
)
Der untere Teil der Vase hat die Form eines Zylinders.
Eine bestimmte Vase hat die folgenden Abmessungen:
R = 5,5 cm, r = 2 cm, H = 8 cm, h = 1,8 cm
1) Berechnen Sie das gesamte Volumen der Vase.
2) Begründen Sie, warum sich das Volumen des unteren Teiles der Vase vervierfacht, wenn r
verdoppelt wird.

Kompensationsprüfung 2 / Jänner 2024 / MAT / Prüfer/in S. 5/11
Lösung zur Aufgabe 1
Vase
a1) tan( α ) =
R – r
H
oder α = arctan
(
R – r
H
)
b1) Volumen des unteren Teiles der Vase: V unterer Teil = r
2
· π · h
V oberer Teil = 379,08...
V unterer Teil = 22,61...
V oberer Teil + V unterer Teil = 401,70...
Das gesamte Volumen der Vase beträgt rund 401,7 cm
3
.
b2) Da in der Volumsformel für den Zylinder mit r
2
multipliziert wird, wird bei einer Verdoppelung
von r mit 4 · r
2
multipliziert, was zu einer Vervierfachung des Zylindervolumens führt.

Kompensationsprüfung 2 / Jänner 2024 / MAT / Prüfer/in S. 6/11
Aufgabe 2
Park
a) In einem Park wird ein Schwimmteich angelegt. In der nachstehenden Abbildung ist dieser
Schwimmteich in der Ansicht von oben modellhaft dargestellt.
f ( x ) in m
x in m
f
Schwimmerbereich
Nichtschwimmerbereich
55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 60
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
65
Eine Begrenzungslinie des Schwimmteichs kann näherungsweise durch den Graphen der
Funktion f beschrieben werden.
f ( x ) = 0,0006 ∙ x
3
– 0,15 ∙ x
2
+ 6 ∙ x mit 0 ≤ x ≤ 50
x , f ( x ) ... Koordinaten in m
1) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Nichtschwimmerbereichs.
b) In diesem Park gibt es Wanderwege. Das Höhenprofil eines Wanderwegs wird durch die
quadratische Funktion h modelliert.
h ( x ) = a ∙ x
2
+ b ∙ x + c
x ... waagrechte Entfernung vom Startpunkt in m
h ( x ) ... Höhe über dem Meeresspiegel bei der Entfernung x in m
Der Startpunkt des Wanderwegs hat eine Höhe über dem Meeresspiegel von 200 m.
An der Stelle x = 100 m hat das Höhenprofil eine Steigung von 5 %.
An der Stelle x = 500 m hat das Höhenprofil ein Maximum.
1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten a , b und c .
2) Beschreiben Sie, was mit dem nachstehenden Ausdruck im gegebenen Sachzusammen
hang berechnet werden kann.
h (600) – h (0)
600 – 0

Kompensationsprüfung 2 / Jänner 2024 / MAT / Prüfer/in S. 7/11
Lösung zur Aufgabe 2
Park
a1) A =
∫
25
0
f ( x ) d x = 1 152,3...
Der Flächeninhalt beträgt rund 1 152 m
2
.
b1) h ( x ) = a ∙ x
2
+ b ∙ x + c
h ′ ( x ) = 2 ∙ a ∙ x + b
I : h (0) = 200
II : h ′ (100) = 0,05
III : h ′ (500) = 0
oder:
I : a ∙ 0
2
+ b ∙ 0 + c = 200
II : 2 ∙ a ∙ 100 + b = 0,05
III : 2 ∙ a ∙ 500 + b = 0
b2) Mit diesem Ausdruck kann die mittlere Steigung von h auf den ersten 600 m waagrechter
Ent fernung berechnet werden.

Kompensationsprüfung 2 / Jänner 2024 / MAT / Prüfer/in S. 8/11
Aufgabe 3
Messengerdienste
a) Die Anzahl der Personen, die einen neuen Messengerdienst nutzen, kann für einen bestimm
ten Zeitraum näherungsweise durch die Funktion N beschrieben werden.
N ( t ) = 500 · ℯ
0,0007 · t
t ... Zeit nach dem Start des Messengerdiensts in Tagen
N ( t ) ... Anzahl der Personen, die den Messengerdienst zum Zeitpunkt t nutzen, in Millionen
1) Berechnen Sie, wie viele Tage nach dem Start sich die Anzahl der Personen, die den
Messengerdienst nutzen, um 2 % erhöht hat.
Jemand stellt die nachstehende Gleichung auf und löst sie.
1 000 = 500 · ℯ
0,0007 · t
⇒ t ≈ 990
2) Interpretieren Sie die Lösung dieser Gleichung im gegebenen Sachzusammenhang.
b) Für einen anderen Messengerdienst gilt:
Der Messengerdienst startet zum Zeitpunkt t = 0 mit 1 000 Personen. Jeden Tag wächst die
Anzahl der Personen, die diesen Messengerdienst nutzen, um 5 % bezogen auf die jeweilige
Anzahl des Vortags.
Die Anzahl der Personen, die diesen Messengerdienst nutzen, soll in Abhängigkeit von der
Zeit t durch die Exponentialfunktion A beschrieben werden.
t ... Zeit nach dem Start des Messengerdiensts in Tagen
A ( t ) ... Anzahl der Personen, die den Messengerdienst zum Zeitpunkt t nutzen
1) Stellen Sie eine Gleichung der Funktion A auf.

Kompensationsprüfung 2 / Jänner 2024 / MAT / Prüfer/in S. 9/11
Lösung zur Aufgabe 3
Messengerdienste
a1) 1,02 · 500 = 500 · ℯ
0,0007 · t
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
t = 28,2...
Rund 28 Tage nach dem Start hat sich die Anzahl der Personen, die den Messengerdienst
nutzen, um 2 % erhöht.
a2) Nach rund 990 Tagen nutzen 1 000 Personen den Messengerdienst.
oder:
Die Verdoppelungszeit für die Anzahl der Personen, die den Messengerdienst nutzen, beträgt
rund 990 Tage.
b1) A ( t ) = 1 000 · 1,05
t
oder:
A ( t ) = 1 000 · ℯ
0,0488 · t
(Koeffizient gerundet)

Kompensationsprüfung 2 / Jänner 2024 / MAT / Prüfer/in S. 10/11
Aufgabe 4
Bierflaschen
Bierflaschen werden vor einer erneuten Befüllung zunächst auf Beschädigungen und danach auf
Verschmutzungen hin untersucht.
a) Beschädigte Flaschen oder Flaschen mit zu starker Verschmutzung werden nicht wieder
befüllt. Alle anderen Flaschen werden wiederbefüllt.
Eine zufällig ausgewählte Flasche ist mit der Wahrscheinlichkeit p beschädigt.
Eine Flasche, die nicht beschädigt ist, ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 98 % auch nicht zu
stark verschmutzt.
1) Stellen Sie mithilfe von p eine Formel zur Berechnung der nachstehenden Wahrscheinlich
keit auf.
P („eine zufällig ausgewählte Flasche wird wiederbefüllt“) =
b) In einer bestimmten Brauerei weiß man aus Erfahrung, dass 85 % aller Flaschen wiederbefüllt
werden.
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von 48 zufällig ausgewählten Flaschen min
destens die Hälfte und höchstens
3
4
wiederbefüllt werden.
2) Beschreiben Sie ein Ereignis E im gegebenen Sachzusammenhang, dessen Wahrschein
lichkeit mit dem nachstehenden Ausdruck berechnet wird.
P ( E ) = 1 – 0,85
5
≈ 0,56

Kompensationsprüfung 2 / Jänner 2024 / MAT / Prüfer/in S. 11/11
Lösung zur Aufgabe 4
Bierflaschen
a1) P („eine zufällig ausgewählte Flasche wird wiederbefüllt“) = (1 – p ) ∙ 0,98
b1) X ... Anzahl der wiederbefüllten Flaschen
Binomialverteilung mit p = 0,85 und n = 48
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
P (24 ≤ X ≤ 36) = 0,0477...
Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 4,8 %.
b2) Mindestens 1 von 5 zufällig ausgewählten Flaschen wird nicht wiederbefüllt.
oder:
Höchstens 4 von 5 zufällig ausgewählten Flaschen werden wiederbefüllt.