Kompensationsprüfung Mathematik – September/Oktober 2022 · AHS · Kompi 2

Exemplar für Prüfer/innen
AHS
Oktober 2022
Mathematik
Kompensationsprüfung 2
Angabe für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2022 / MAT / Prüfer/in S. 2/12
Hinweise zur standardisierten Durchführung
der Kompensationsprüfung
Die vorliegende Angabe zur Kompensationsprüfung umfasst vier Aufgaben, die unabhängig von
einander bearbeitbar sind, und die dazugehörigen Lösungen.
Jede Aufgabe umfasst drei nachzuweisende Handlungskompetenzen.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungsmitglied für die Klausurarbeit freigegebenen For
melsammlung für die SRP in Mathematik ist erlaubt. Weiters ist die Verwendung von elektronischen
Hilfsmitteln (z. B. grafikfähiger Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) erlaubt,
sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetzwer
ke etc.) gegeben ist und der Zugriff auf Eigendateien im elektronischen Hilfsmittel nicht möglich ist.
Nach der Prüfung sind alle Unterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter etc.) der Kandidatinnen
und Kandidaten einzusammeln. Die Prüfungsunterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter, produ
zierte digitale Arbeitsdaten etc.) dürfen erst nach dem für die Kompensationsprüfung vorgesehe
nen Zeitfenster öffentlich werden.
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Der nachstehende Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestel
lung bei der Beurteilung.
Kandidat/in 1 Kandidat/in 2 Kandidat/in 3 Kandidat/in 4 Kandidat/in 5
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
gesamt

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2022 / MAT / Prüfer/in S. 3/12
Erläuterungen zur Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem, zwei oder drei Punkten bewertet. Insgesamt können maximal
zwölf Punkte erreicht werden.
Beurteilungsschlüssel für die Kompensationsprüfung
Gesamtanzahl der nachgewiesenen
Handlungskompetenzen
Beurteilung der
mündlichen Kompensationsprüfung
12 Sehr gut
10 – 11 Gut
8 – 9 Befriedigend
6 – 7 Genügend
0 – 5 Nicht genügend

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2022 / MAT / Prüfer/in S. 4/12
Aufgabe 1
Dominosteine
Im Rahmen einer Fernsehshow werden Dominosteine so hintereinander aufgestellt, dass nach
dem Anstoßen des ersten Dominosteines alle anderen nacheinander umfallen.
a) Ein aufgestellter Dominostein fällt nach dem Anstoßen um, wenn der Schwerpunkt S über den
Auflagepunkt A kippt (siehe nachstehende nicht maßstabgetreue Abbildung in der Ansicht von
der Seite).
7 mm
48 mm
S
A
α
1) Berechnen Sie den in der obigen Abbildung eingezeichneten Winkel α .
b) In einer bestimmten Fernsehshow wurden 2 500 000 Dominosteine aufgestellt.
In der darauffolgenden Fernsehshow wurden 3 112 000 Dominosteine aufgestellt.
1) Interpretieren Sie das Ergebnis der nachstehenden Berechnung im gegebenen Sachzu
sammenhang.
3 112 000 – 2 500 000
2 500 000
= 0,2448
c) In einer Box sind r Stück rote und g Stück grüne Dominosteine enthalten.
Folgendes ist bekannt:
Insgesamt sind 940 Stück Dominosteine in der Box.
Es sind um 12 % weniger rote Dominosteine als grüne Dominosteine in der Box.
1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung von r und g .

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2022 / MAT / Prüfer/in S. 5/12
Lösung zur Aufgabe 1
Dominosteine
a1) tan( α ) =
7
48
α = 8,29...°
b1) In der darauffolgenden Fernsehshow wurden um 24,48 % mehr Dominosteine aufgestellt als
in der vorhergehenden Fernsehshow.
c1) r + g = 940
r = g ∙ 0,88

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2022 / MAT / Prüfer/in S. 6/12
Aufgabe 2
Datenspeicherung
a) Für die Speicherung von Daten werden immer öfter sogenannte SSDs verwendet.
Im Jahr 2015 wurden von diesen SSDs 103 Millionen Stück verkauft, im Jahr 2020 waren es
223 Millionen Stück.
1) Interpretieren Sie das Ergebnis der nachstehenden Berechnung im gegebenen Sachzu
sammenhang. Geben Sie dabei die zugehörige Einheit an.
223 – 103
2020 – 2015
= 24
Die zeitliche Entwicklung der insgesamt bis zum Zeitpunkt t verkauften SSDs soll durch die
Polynomfunktion 3. Grades f modelliert werden.
f ( t ) = a ∙ t
3
+ b ∙ t
2
+ c ∙ t + d
t … Zeit in Jahren mit t = 0 für das Ende des Jahres 2013
f ( t ) … Anzahl der insgesamt bis zum Zeitpunkt t verkauften SSDs in Millionen Stück
In der nachstehenden Tabelle ist die Anzahl der insgesamt verkauften SSDs für drei Jahre
angegeben.
Ende des Jahres 2013 2015 2020
Anzahl der insgesamt verkauften SSDs in Millionen Stück 57 160 383
Am Ende des Jahres 2020 betrug die momentane Änderungsrate für die Anzahl der insge
samt verkauften SSDs 14,2 Millionen Stück pro Jahr.
2) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Ermittlung der Koeffizienten a , b , c und d .
b) Das weltweit vorhandene Datenvolumen in Milliarden Terabyte in Abhängigkeit von der Zeit t in
Jahren wird in einem einfachen Modell durch die Funktion D beschrieben.
D ( t ) = 40 ∙ 1,41
t
t … Zeit in Jahren mit t = 0 für das Jahr 2020
D ( t ) … Datenvolumen zum Zeitpunkt t in Milliarden Terabyte
1) Berechnen Sie die Verdoppelungszeit des Datenvolumens gemäß diesem Modell.

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2022 / MAT / Prüfer/in S. 7/12
Lösung zur Aufgabe 2
Datenspeicherung
a1) Die Anzahl der verkauften SSDs stieg im Zeitraum von 2015 bis 2020 um durchschnittlich
24 Millionen Stück pro Jahr.
a2) f ( t ) = a ∙ t
3
+ b ∙ t
2
+ c ∙ t + d
f ′ ( t ) = 3 ∙ a ∙ t
2
+ 2 ∙ b ∙ t + c
f (0) = 57
f (2) = 160
f (7) = 383
f ′ (7) = 14,2
oder:
d = 57
8 ∙ a + 4 ∙ b + 2 ∙ c + d = 160
343 ∙ a + 49 ∙ b + 7 ∙ c + d = 383
147 ∙ a + 14 ∙ b + c = 14,2
b1) 80 = 40 ∙ 1,41
t
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
t = 2,0…
Die Verdoppelungszeit beträgt rund 2 Jahre.

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2022 / MAT / Prüfer/in S. 8/12
Aufgabe 3
Bachufer
a) In der nachstehenden Abbildung ist ein Grundstück in einem Koordinatensystem modellhaft
dargestellt.
Bachufer
f ( x ) in m
x in m
f
B = (40 | 100)
A = (0 | 60)
a
O
Das Grundstück wird auf einer Seite durch ein Bachufer begrenzt. Der Verlauf dieses Bach
ufers kann im Intervall [0; 40] näherungsweise durch den Graphen der Funktion f beschrieben
werden.
f ( x ) = –0,025 ∙ x
2
+ 2 ∙ x + 60
Die Hälfte des gesamten Grundstücks soll begrünt werden. Daher wird ein rechteckiger Teil
des Grundstücks eingezäunt (siehe obige Abbildung).
1) Berechnen Sie die Seitenlänge a des Rechtecks.
Von A bis B wird ein anderer geradlinig verlaufender Zaun errichtet.
2) Stellen Sie eine Gleichung der Geraden durch die Punkte A und B auf.
Der Verlauf des Bachufers kann ab dem Punkt B näherungsweise durch die Tangente an die
Funktion f beschrieben werden (siehe obige Abbildung).
3) Zeigen Sie, dass die Tangente an die Funktion f im Punkt B parallel zur x Achse verläuft.

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2022 / MAT / Prüfer/in S. 9/12
Lösung zur Aufgabe 3
Bachufer
a1) gesamter Flächeninhalt:
∫
40
0
f ( x ) d x = 3 466,6...
a =
3 466,6...
2 · 40
= 43,3...
Die Seitenlänge a beträgt rund 43 m.
a2) g ( x ) = k ∙ x + d
A = (0 | 60), B = (40 | 100)
k =
40
40
= 1
g ( x ) = x + 60
a3) f ′ ( x ) = –0,05 ∙ x + 2
f ′ (40) = –0,05 ∙ 40 + 2 = 0
Da die 1. Ableitung an der Stelle 40 null ist, verläuft die Tangente parallel zur x Achse.

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2022 / MAT / Prüfer/in S. 10/12
Aufgabe 4
Stundenverkürzung
Die wöchentliche Unterrichtszeit in Österreichs Schulen ist üblicherweise in Unterrichtseinheiten (UE)
zu je 50 min aufgeteilt. Eine bestimmte Schule verkürzt ihre UE auf je 40 min. Da jedoch die ge
samte wöchentliche Unterrichtszeit gleich bleiben muss, steigt dadurch die Anzahl der UE.
a) In der nachstehenden Tabelle ist für eine bestimmte Klasse die tägliche Anzahl der UE zu je
50 min dargestellt.
Unterrichtstag
Anzahl der UE
zu je 50 min
Montag 8
Dienstag 6
Mittwoch 5
Donnerstag 8
Freitag 5
Der Unterricht dieser Klasse soll nun in UE zu je 40 min aufgeteilt werden.
1) Berechnen Sie die durchschnittliche tägliche Anzahl an UE zu je 40 min.
b) Eine schulinterne Umfrage hat ergeben: 98% aller Schüler/innen möchten die verkürzten UE
beibehalten.
Es werden 4 Schüler/innen zufällig ausgewählt.
1) Beschreiben Sie ein Ereignis E im gegebenen Sachzusammenhang, dessen Wahrschein
lichkeit mit dem nachstehenden Ausdruck berechnet wird.
P ( E ) = 0,98
4
+ 0,98
3
∙ 0,02 ∙ 4 = 0,997...

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2022 / MAT / Prüfer/in S. 11/12
c) Durch die Verkürzung der UE ergeben sich für 80 % der Lehrpersonen längere Unterrichts
tage.
Die Ergebnisse einer schulinternen Umfrage über die Zufriedenheit mit den verkürzten UE sind
im nachstehenden Baumdiagramm dargestellt.
Lehrperson hat
längere Unterrichtstage
Lehrperson hat
keine längeren Unterrichtstage
0,8 0,2
Lehrperson ist
zufrieden mit
den verkürzten UE
Lehrperson ist
nicht zufrieden mit
den verkürzten UE
Lehrperson ist
zufrieden mit
den verkürzten UE
Lehrperson ist
nicht zufrieden mit
den verkürzten UE
p 0,5
1) Stellen Sie mithilfe von p eine Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Ereig
nis E auf.
E ... „eine zufällig ausgewählte Lehrperson ist zufrieden mit den verkürzten UE“
P ( E ) =

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2022 / MAT / Prüfer/in S. 12/12
Lösung zur Aufgabe 4
Stundenverkürzung
a1)
1
5
∙
32 ∙ 50
40
= 8
Pro Unterrichtstag finden durchschnittlich 8 UE zu je 40 min statt.
b1) E ... „von diesen 4 Schülerinnen und Schülern möchten mindestens 3 die ver kürzten UE bei
behalten“
c1) P ( E ) = 0,8 ∙ (1 – p ) + 0,2 ∙ 0,5