Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2022 · AHS · Kompi 5

Exemplar für Prüfer/innen
AHS
Juni 2022
Mathematik
Kompensationsprüfung 5
Angabe für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung

Kompensationsprüfung 5 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 2/12
Hinweise zur standardisierten Durchführung
der Kompensationsprüfung
Die vorliegende Angabe zur Kompensationsprüfung umfasst vier Aufgaben, die unabhängig von
einander bearbeitbar sind, und die dazugehörigen Lösungen.
Jede Aufgabe umfasst drei nachzuweisende Handlungskompetenzen.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungsmitglied für die Klausurarbeit freigegebenen For
melsammlung für die SRP in Mathematik ist erlaubt. Weiters ist die Verwendung von elektronischen
Hilfsmitteln (z. B. grafikfähiger Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) erlaubt,
sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetzwer
ke etc.) gegeben ist und der Zugriff auf Eigendateien im elektronischen Hilfsmittel nicht möglich ist.
Nach der Prüfung sind alle Unterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter etc.) der Kandidatinnen
und Kandidaten einzusammeln. Die Prüfungsunterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter, produ
zierte digitale Arbeitsdaten etc.) dürfen erst nach dem für die Kompensationsprüfung vorgesehe
nen Zeitfenster öffentlich werden.
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Der nachstehende Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestel
lung bei der Beurteilung.
Kandidat/in 1 Kandidat/in 2 Kandidat/in 3 Kandidat/in 4 Kandidat/in 5
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
gesamt

Kompensationsprüfung 5 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 3/12
Erläuterungen zur Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem, zwei oder drei Punkten bewertet. Insgesamt können maximal
zwölf Punkte erreicht werden.
Beurteilungsschlüssel für die Kompensationsprüfung
Gesamtanzahl der nachgewiesenen
Handlungskompetenzen
Beurteilung der
mündlichen Kompensationsprüfung
12 Sehr gut
10 – 11 Gut
8 – 9 Befriedigend
6 – 7 Genügend
0 – 5 Nicht genügend

Kompensationsprüfung 5 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 4/12
Aufgabe 1
Spielplatz
Auf einem Spielplatz stehen verschiedene Spielgeräte zur Verfügung.
a) In Abbildung 1 ist eine Wippe abgebildet. In Abbildung 2 ist diese Wippe in einer Ansicht von
der Seite modellhaft dargestellt.
x in m
y in m
h
ℓ
α
Abbildung 1 Abbildung 2
Bildquelle: Chabe01 – own work, CC BYSA 4.0, https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Aire_Jeux_Rives_Menthon_St_Cyr_
Menthon_16.jpg [23.12.2021] (adaptiert).
Der Balken hat die Länge ℓ und sein Mittelpunkt befindet sich in der Höhe h .
1) Stellen Sie mithilfe von h und ℓ eine Formel zur Berechnung des Winkels α auf.
α =
b) Die kreisförmige Sprungfläche eines Trampolins hat einen Flächeninhalt von 5 m
2
.
1) Berechnen Sie den Durchmesser der Sprungfläche dieses Trampolins.
c) Eine alte Sandkiste mit quadratischer Grundfläche mit der Seitenlänge a und der Höhe h wird
durch eine neue Sandkiste ersetzt.
Diese neue Sandkiste mit quadratischer Grundfläche soll die gleiche Höhe, aber um 50 %
größere Seitenlängen als die alte Sandkiste haben.
1) Zeigen Sie, dass das Volumen der neuen Sandkiste nicht doppelt so groß wie jenes der
alten Sandkiste ist.

Kompensationsprüfung 5 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 5/12
Lösung zur Aufgabe 1
Spielplatz
a1) α = arcsin
(
ℓ
2
h
)
oder:
α = arcsin (
2 ∙ h
ℓ
)
b1) d = 2 ·

5
π
= 2,52...
Die Sprungfläche hat einen Durchmesser von rund 2,5 m.
c1) V
alt
= a
2
· h
V
neu
= (1,5 · a )
2
· h = 2,25 · a
2
· h = 2,25 · V
alt
Das Volumen der neuen Sandkiste ist also nicht doppelt so groß wie jenes der alten Sand
kiste.
Auch ein Nachweis mit konkreten Zahlen ist als richtig zu werten.

Kompensationsprüfung 5 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 6/12
Aufgabe 2
Bierschaum
Nach dem Einschenken von Bier in ein Glas fällt der entstandene Bierschaum langsam wieder in
sich zu sammen.
a) Thomas misst die Höhe des Bierschaums nach dem Einschenken in ein bestimmtes Glas.
In der nachstehenden Tabelle sind seine Messergebnisse angegeben.
Zeit nach dem Einschenken in s 0 20 60
Höhe des Bierschaums in cm 4 2,5 2
1) Ermitteln Sie die mittlere Änderungsrate der Höhe des Bierschaums für die ersten
60 Sekunden nach dem Einschenken. Geben Sie das Ergebnis mit der dazugehörigen
Einheit an.
Die Höhe des Bierschaums soll durch eine Exponentialfunktion h der Form h ( t ) = a · b
t
be
schrieben werden.
t ... Zeit nach dem Einschenken in s
h ( t ) ... Höhe des Bierschaums zum Zeitpunkt t in cm
2) Zeigen Sie, dass es keine Exponentialfunktion h dieser Form gibt, auf deren Graphen alle
3 Messergebnisse liegen.

Kompensationsprüfung 5 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 7/12
b) Martin beschreibt die Höhe des Bierschaums nach dem Einschenken in ein anderes Glas
durch die Funktion f (siehe unten stehende Abbildungen).
1) Skizzieren Sie in der nachstehenden Abbildung 2 den Graphen von f ′ .
Abbildung 1
O
f
f ( t ) in cm
t in s
Abbildung 2
O
f ʹ ( t ) in cm/s
t in s

Kompensationsprüfung 5 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 8/12
Lösung zur Aufgabe 2
Bierschaum
a1)
2 – 4
60 – 0
= –0,03
·
Die mittlere Änderungsrate beträgt rund –0,03 cm/s.
a2) 4 · b
20
= 2,5 ⇒ b =
2,5
4

20
= 0,976...
4 · b
60
= 2 ⇒ b =

60 2
4
= 0,988...
Da die Änderungsfaktoren nicht gleich sind, gibt es keine Exponentialfunktion dieser Form,
auf deren Graphen alle 3 Messergebnisse liegen.
b1)
O
f ʹ ( t ) in cm/s
t in s
f ʹ
Der Graph muss monoton steigend und negativ gekrümmt sein und sich asymptotisch der
horizontalen Achse nähern.

Kompensationsprüfung 5 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 9/12
Aufgabe 3
Rohrabdeckung
a) In der nebenstehenden Abbildung ist das Bild einer Rohrabdeckung für
zwei Heizungsrohre dargestellt.
Bildquelle: BMBWF
In der nachstehenden Abbildung ist die Querschnittsfläche dieser Rohrabdeckung in der An
sicht von der Seite modellhaft dargestellt.
y in cm
x in cm
w
f
v
u
O
Ein Teil der Begrenzungslinie des Querschnitts kann durch den Graphen der quadratischen
Funktion f mit f ( x ) = a · x
2
+ b · x + c modelliert werden.
Der Scheitelpunkt der Funktion f hat die Koordinaten ( u | v ).
Der Steigungswinkel an der Stelle w beträgt –45°.
1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten a , b und c .
Verwenden Sie dabei u , v und w .
2) Kennzeichnen Sie in der obigen Abbildung diejenige Fläche, deren Inhalt mit dem nach
stehenden Ausdruck berechnet werden kann.
∫
u
w
f ( x ) d x
Für eine bestimmte Rohrabdeckung mit u = 5 gilt:
f ( x ) = 0,25 · x
2
– 2,5 · x + 8,75 mit w ≤ x ≤ u
3) Berechnen Sie für diese Rohrabdeckung die Länge v .

Kompensationsprüfung 5 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 10/12
Lösung zur Aufgabe 3
Rohrabdeckung
a1) f ( x ) = a · x
2
+ b · x + c
f ′ ( x ) = 2 · a · x + b
I : f ( u ) = v
II : f ′ ( u ) = 0
III : f ′ ( w ) = –1
oder:
I : a · u
2
+ b · u + c = v
II : 2 · a · u + b = 0
III : 2 · a · w + b = –1
a2) y in cm
x in cm
w
f
v
u
O
a3) f (5) = 2,5
Die Länge v beträgt 2,5 cm.

Kompensationsprüfung 5 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 11/12
Aufgabe 4
Paketdienste
Aufgrund des stark zunehmenden OnlineHandels nutzen immer mehr Menschen Paketdienste.
a) Zur Meldung von Problemen mit Paketdiensten gibt es eigene Beschwerdestellen.
Aufgrund langfristiger Beobachtungen ist bekannt, dass bei einer solchen Beschwerdestelle
11 % aller Beschwerden wegen zu langer Lieferzeiten erfolgen.
An einem bestimmten Tag gehen insgesamt 42 Beschwerden unabhängig voneinander ein.
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau 8 dieser 42 Beschwerden wegen zu
langer Lieferzeiten erfolgen.
b) Für jeden Paketdienst ist die Erstzustellquote eine wichtige Größe.
Die Erstzustellquote entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Paket
beim ersten Versuch zugestellt werden kann. Bei einem bestimmten Paketdienst beträgt die
Erstzustellquote 90 %.
Eine Paketfahrerin soll n Pakete zustellen.
1) Beschreiben Sie ein Ereignis E im gegebenen Sachzusammenhang, dessen Wahrschein
lichkeit mit dem nachstehenden Ausdruck berechnet wird.
P ( E ) = 1 – 0,9
n
c) Mit einem bestimmten Paketdienst konnten im Jahr 2020 von insgesamt 31 200 Ab gabe
stellen Pakete versendet werden.
Diese 31 200 Abgabestellen setzten sich aus 13 104 Postfilialen, 11 232 Paketshops,
624 Paketboxen und einer bestimmten Anzahl an Packstationen zusammen.
1) Ergänzen Sie die zwei fehlenden Säulen im nachstehenden Säulendiagramm.
Postfilialen
Paketshops Paketboxen
Packstationen
relativer Anteil in % 40
30
20
10
0
50

Kompensationsprüfung 5 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 12/12
Lösung zur Aufgabe 4
Paketdienste
a1) X ... Anzahl der Beschwerden wegen zu langer Lieferzeiten
Binomialverteilung mit n = 42, p = 0,11
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
P ( X = 8) = 0,0481...
Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 4,8 %.
b1) E ... „die Paketfahrerin kann von diesen n Paketen mindestens 1 Paket nicht beim ersten
Versuch zustellen“
c1)
624
31 200
= 0,02
31 200 – 13 104 – 11 232 – 624
31 200
= 0,2
Postfilialen
Paketshops Paketboxen
Packstationen
relativer Anteil in % 40
30
20
10
0
50