Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2022 · AHS · Kompi 4

Exemplar für Prüfer/innen
AHS
Juni 2022
Mathematik
Kompensationsprüfung 4
Angabe für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung

Kompensationsprüfung 4 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 2/11
Hinweise zur standardisierten Durchführung
der Kompensationsprüfung
Die vorliegende Angabe zur Kompensationsprüfung umfasst vier Aufgaben, die unabhängig von
einander bearbeitbar sind, und die dazugehörigen Lösungen.
Jede Aufgabe umfasst drei nachzuweisende Handlungskompetenzen.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungsmitglied für die Klausurarbeit freigegebenen For
melsammlung für die SRP in Mathematik ist erlaubt. Weiters ist die Verwendung von elektronischen
Hilfsmitteln (z. B. grafikfähiger Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) erlaubt,
sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetzwer
ke etc.) gegeben ist und der Zugriff auf Eigendateien im elektronischen Hilfsmittel nicht möglich ist.
Nach der Prüfung sind alle Unterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter etc.) der Kandidatinnen
und Kandidaten einzusammeln. Die Prüfungsunterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter, produ
zierte digitale Arbeitsdaten etc.) dürfen erst nach dem für die Kompensationsprüfung vorgesehe
nen Zeitfenster öffentlich werden.
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Der nachstehende Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestel
lung bei der Beurteilung.
Kandidat/in 1 Kandidat/in 2 Kandidat/in 3 Kandidat/in 4 Kandidat/in 5
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
gesamt

Kompensationsprüfung 4 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 3/11
Erläuterungen zur Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem, zwei oder drei Punkten bewertet. Insgesamt können maximal
zwölf Punkte erreicht werden.
Beurteilungsschlüssel für die Kompensationsprüfung
Gesamtanzahl der nachgewiesenen
Handlungskompetenzen
Beurteilung der
mündlichen Kompensationsprüfung
12 Sehr gut
10 – 11 Gut
8 – 9 Befriedigend
6 – 7 Genügend
0 – 5 Nicht genügend

Kompensationsprüfung 4 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 4/11
Aufgabe 1
Spitzbögen
Typische gotische Fenster haben die Form eines Spitzbogens
(siehe nebenstehende Abbildung).
Bildquelle: https://pixabay.com/de/photos/fenster spitzbogen kirchenfenster 408315/ [03.08.2020].
a) In der unten stehenden Abbildung ist ein bestimmter Spitzbogen modellhaft dargestellt.
Die Form dieses Spitzbogens erhält man, indem, ausgehend von den beiden Mittelpunkten A
und B , jeweils ein Kreisbogen mit dem Radius a gezeichnet wird. Dadurch ergibt sich das
gleichseitige Dreieck ABC .
C
b
a
h
a
b
B
a
A
60°
1) Stellen Sie mithilfe von a eine Formel zur Berechnung der Bogenlänge b auf.
b =
2) Berechnen Sie a für einen Spitzbogen mit der Höhe h = 5,2 m.
b) Helmut behauptet:
„Verlängert man alle Seiten eines gleichseitigen Dreiecks um 25 %, so vergrößert sich sein
Flächeninhalt um mehr als die Hälfte.“
1) Überprüfen Sie nachweislich, ob Helmuts Behauptung richtig ist.

Kompensationsprüfung 4 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 5/11
Lösung zur Aufgabe 1
Spitzbögen
a1) b =
a · π · 60°
180°
=
a · π
3
a2) h =
a
2
·

3 ⇒ a =
2 · h

3
= 6,00...
Der Radius a beträgt rund 6,0 m.
b1) A
alt
=
a
2
4
·

3
A
neu
=
(1,25 · a )
2
4
·

3 = 1,5625 ·
a
2
4
·

3 > 1,5 · A
alt
Helmuts Behauptung ist also richtig.

Kompensationsprüfung 4 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 6/11
Aufgabe 2
Raumfahrt
a) Die Umlaufzeit eines oberflächennahen Satelliten, der sich um einen Planeten mit der mittleren
Dichte ϱ bewegt, lässt sich mit der nachstehenden Formel berechnen.
t =
3,7578 · 10
5

ϱ
ϱ ... mittlere Dichte des Planeten in kg/m
3
t ... Umlaufzeit des Satelliten in s
Die Erde hat eine mittlere Dichte von 5 515 kg/m³.
1) Berechnen Sie die Umlaufzeit, die ein solcher Satellit bei seiner Bewegung um die Erde
hat, in Minuten.
b) Um Güter oder Menschen ins All zu bringen, benötigt man Transportkapseln. In der nach
stehenden nicht maßstabgetreuen Abbildung ist der Querschnitt einer solchen Transport
kapsel in einem Koordinatensystem modellhaft dargestellt.
y in m
x in m
f
–1,8 1,8
1,6
Trennwand
5,1
0
0
Die obere Begrenzungslinie kann durch den Graphen der quadratischen Funktion f modelliert
werden. Die untere Begrenzungslinie liegt auf der x Achse.
1) Stellen Sie eine Gleichung der quadratischen Funktion f auf.
Eine waagrechte Trennwand grenzt den Ladebereich vom darüberliegenden Bereich ab (siehe
obige Abbildung).
2) Vervollständigen Sie den nachstehenden Ausdruck zur Berechnung des Inhalts A der in
der obigen Abbildung grau markierten Fläche.
A =
∫
( f ( x ) – f (0,8)) d x

Kompensationsprüfung 4 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 7/11
Lösung zur Aufgabe 2
Raumfahrt
a1) t =
3,7578 · 10
5

5 515
= 5 060,12...
5 060,12... s = 84,33... min
Die Umlaufzeit beträgt rund 84,3 Minuten.
b1) f ( x ) = a · x
2
+ b
x , f ( x ) ... Koordinaten in m
b = 5,1
f (1,8) = 0 oder 0 = a · 1,8
2
+ 5,1
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
a = –1,5740...
f ( x ) = –1,574 · x
2
+ 5,1 (Koeffizient gerundet)
b2) A =
0,8
∫
–0,8
( f ( x ) – f (0,8)) d x

Kompensationsprüfung 4 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 8/11
Aufgabe 3
Straßenkreuzung
In der nachstehenden Abbildung ist eine Straßenkreuzung mit Abbiegespur in der Ansicht von
oben modellhaft dargestellt.
y in m
76°
O P
f
x in m
g
O P x in m x in m x
a) Ein Teil einer Straßenbegrenzung wird durch den Graphen der linearen Funktion g beschrieben.
Der Graph von g verläuft durch den Koordinatenursprung O und hat den Steigungs winkel 76°.
1) Stellen Sie eine Gleichung der linearen Funktion g auf.
Die linke Begrenzungslinie der Abbiegespur lässt sich näherungsweise mithilfe des Graphen
der Funktion f beschreiben (siehe obige Abbildung).
f ( x ) = –0,039 · x
2
+ 1,24 · x – 9,75
x , f ( x ) ... Koordinaten in m
Der Graph der Funktion f schneidet die x Achse im Punkt P .
2) Berechnen Sie die Steigung der Tangente von f im Punkt P .
3) Kennzeichnen Sie in der obigen Abbildung diejenige Fläche, deren Inhalt A mit dem nach
stehenden Ausdruck berechnet werden kann.
A = |
∫
xP
0
f ( x ) d x |

Kompensationsprüfung 4 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 9/11
Lösung zur Aufgabe 3
Straßenkreuzung
a1) g ( x ) = k · x + d
k = tan(76°) = 4,01...
g ( x ) = 4,0 · x (Koeffizient gerundet)
a2) f ( x ) = 0 oder –0,039 · x
2
+ 1,24 · x – 9,75 = 0
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
x
1
= 14,24... ( x
2
= 17,54...)
f ′ ( x ) = –0,078 · x + 1,24
f ′ (14,24...) = 0,128...
Die Steigung der Tangente von f im Punkt P beträgt rund 0,13.
a3)
y in m
76°
O P
f
x in m
g
O P x in m x in m x

Kompensationsprüfung 4 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 10/11
Aufgabe 4
Brenner
Der Brenner ist eine der wichtigsten Transitrouten der Alpen.
a) Ein Teil des Frachtguts wird per Bahn über den Brenner transportiert.
Im nachstehenden Säulendiagramm ist das Frachtgut (in Millionen Tonnen) für 8 aufeinander
folgende Jahre dargestellt.
15,3
13,1
12,6
11,8 12
12,7
13,3
14,6
0
2
4
6
8
10
12
14
16
2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016
Frachtgut in Millionen Tonnen
Jahr
1) Ermitteln Sie den Median des Frachtguts für diese 8 Jahre.
b) Ein Teil des Frachtguts wird auf der sogenannten rollenden Landstraße in LKWs transportiert, wobei diese LKWs dafür auf spezielle
Züge verladen werden.
Das nebenstehende Diagramm zeigt die Auslastung der
rollenden Landstraße über den Brenner für das Jahr 2017.
Dabei entspricht die weiße Fläche den 28 340 freien Plätzen
auf der rollenden Landstraße.
15 %
freie
Plätze
belegte Plätze
1) Interpretieren Sie das Ergebnis der nachstehenden Berechnung im gegebenen Sachzu
sammenhang.
28 340
0,15
≈ 188 933
c) Ein großer Teil des Frachtguts wird per LKW über den Brenner transportiert.
Am Brennersee gibt es einen Parkplatz für LKWs. Hans wird im nächsten halben Jahr 20mal
freitags zur gleichen Tageszeit mit seinem LKW zu diesem Parkplatz kommen. Er weiß aus
Erfahrung, dass er dort mit einer Wahrscheinlichkeit p einen freien Parkplatz findet.
1) Stellen Sie mithilfe von p eine Formel zur Berechnung der nachstehenden Wahrscheinlich
keit auf.
E ... „Hans wird im nächsten halben Jahr höchstens 1mal keinen freien Parkplatz finden“
P ( E ) =

Kompensationsprüfung 4 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 11/11
Lösung zur Aufgabe 4
Brenner
a1) geordnete Liste:
11,8; 12; 12,6; 12,7; 13,1; 13,3; 14,6; 15,3
12,7 + 13,1
2
= 12,9
Der Median beträgt 12,9 Millionen Tonnen.
b1) Im Jahr 2017 wurden insgesamt rund 188 933 Plätze auf der rollenden Landstraße über den
Brenner angeboten.
c1) P ( E ) = p
20
+ 20 · (1 – p ) · p
19