Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2022 · AHS · Kompi 2

Exemplar für Prüfer/innen
AHS
Juni 2022
Mathematik
Kompensationsprüfung 2
Angabe für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung

Kompensationsprüfung 2 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 2/11
Hinweise zur standardisierten Durchführung
der Kompensationsprüfung
Die vorliegende Angabe zur Kompensationsprüfung umfasst vier Aufgaben, die unabhängig von
einander bearbeitbar sind, und die dazugehörigen Lösungen.
Jede Aufgabe umfasst drei nachzuweisende Handlungskompetenzen.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungsmitglied für die Klausurarbeit freigegebenen For
melsammlung für die SRP in Mathematik ist erlaubt. Weiters ist die Verwendung von elektronischen
Hilfsmitteln (z. B. grafikfähiger Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) erlaubt,
sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetzwer
ke etc.) gegeben ist und der Zugriff auf Eigendateien im elektronischen Hilfsmittel nicht möglich ist.
Nach der Prüfung sind alle Unterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter etc.) der Kandidatinnen
und Kandidaten einzusammeln. Die Prüfungsunterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter, produ
zierte digitale Arbeitsdaten etc.) dürfen erst nach dem für die Kompensationsprüfung vorgesehe
nen Zeitfenster öffentlich werden.
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Der nachstehende Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestel
lung bei der Beurteilung.
Kandidat/in 1 Kandidat/in 2 Kandidat/in 3 Kandidat/in 4 Kandidat/in 5
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
gesamt

Kompensationsprüfung 2 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 3/11
Erläuterungen zur Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem, zwei oder drei Punkten bewertet. Insgesamt können maximal
zwölf Punkte erreicht werden.
Beurteilungsschlüssel für die Kompensationsprüfung
Gesamtanzahl der nachgewiesenen
Handlungskompetenzen
Beurteilung der
mündlichen Kompensationsprüfung
12 Sehr gut
10 – 11 Gut
8 – 9 Befriedigend
6 – 7 Genügend
0 – 5 Nicht genügend

Kompensationsprüfung 2 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 4/11
Aufgabe 1
Grundstücke
a) In einer bestimmten Region stieg der Quadratmeterpreis von Grundstücken innerhalb eines
Jahres um 8 %.
A ... Quadratmeterpreis am Anfang des Jahres
N ... Quadratmeterpreis am Ende des Jahres
1) Stellen Sie mithilfe von N eine Formel zur Berechnung von A auf.
A =
b) In der nebenstehenden Abbildung ist ein bestimmtes
Grundstück mit seinen Abmessungen (in m) dargestellt.
Die Fläche dieses Grundstücks setzt sich aus einer
Rechtecksfläche und einer Halbkreisfläche zusammen.
x
2
x
25 25
Der Flächeninhalt dieses Grundstücks beträgt 800 m
2
.
1) Berechnen Sie x .
c) In der nachstehenden Abbildung ist ein anderes Grundstück mit seinen Abmessungen darge
stellt.
a
c
α
Die Länge b kann folgendermaßen berechnet werden:
b = cos( α ) ·

c
2
– a
2
1) Kennzeichnen Sie b in der obigen Abbildung.

Kompensationsprüfung 2 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 5/11
Lösung zur Aufgabe 1
Grundstücke
a1) A =
N
1,08
b1)
1
2
·
(
x
2
)
2
· π + 25 · x = 800
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
x
1
= 23,399... ( x
2
= –87,061...)
c1)
a
c
α
b

Kompensationsprüfung 2 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 6/11
Aufgabe 2
Brunnen
a) Die Anzahl der Brunnen in einem bestimmten Land stieg von knapp 4 000 im Jahr 1968 auf
etwa 32 000 im Jahr 2012.
1) Interpretieren Sie das Ergebnis der nachstehenden Berechnung im gegebenen Sachzu
sammenhang.
32 000 – 4 000
2012 – 1968
≈ 636
b) In der nachstehenden Abbildung ist ein Wasserstrahl, der waagrecht aus einem Wasserspeier
austritt, modellhaft dargestellt.
h ( x ) in m
A
h
N 0
0
x in m
α
Bildquelle: Reinhold Möller – own work, CC BYSA 4.0, https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Paris_Montmartre_SacréCœur_
Gargoyle20140603RM160933.jpg [26.01.2021] (adaptiert).
Der Verlauf des Wasserstrahls kann näherungsweise durch die quadratische Funktion h be
schrieben werden.
A ist der Hochpunkt der Funktion h .
Im Punkt N = (0,4 | 0) trifft der Wasserstrahl unter einem Winkel von α = 101,31° auf dem
Boden auf.
1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten der Funktion h .
c) Fällt ein Stein senkrecht in einen leeren Brunnenschacht, so lässt sich sein zurückgelegter
Weg näherungsweise durch die Funktion s beschreiben.
s ( t ) = 5 · t
2
t ... Zeit in s
s ( t ) ... zurückgelegter Weg zum Zeitpunkt t in m
Nach 5 Sekunden trifft der Stein auf dem Boden des Brunnenschachts auf.
1) Berechnen Sie die Geschwindigkeit, mit der der Stein auf dem Boden auftrifft.

Kompensationsprüfung 2 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 7/11
Lösung zur Aufgabe 2
Brunnen
a1) Die Anzahl der Brunnen ist im Zeitraum von 1968 bis 2012 durchschnittlich um 636 Brunnen
pro Jahr gestiegen.
b1) h ( x ) = a · x
2
+ c
h ′ ( x ) = 2 · a · x
I : h (0,4) = 0
II : h ′ (0,4) = tan(101,31°)
oder:
I : a · 0,4
2
+ c = 0
II : 0,8 · a = tan(101,31°)
c1) v ( t ) = s ′ ( t )
v ( t ) = 10 · t
v (5) = 50
Der Stein trifft mit einer Geschwindigkeit von 50 m/s auf dem Boden auf.

Kompensationsprüfung 2 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 8/11
Aufgabe 3
Apps
Für eine bestimmte App soll die zeitliche Entwicklung der Downloads durch drei ver schiedene
Modelle beschrieben werden.
Zu Beginn des Beobachtungszeitraums ( t = 0) betrug die Anzahl der bis dahin erfolgten Down
loads 0,35 Millionen (Mio.). 365 Tage später betrug die Anzahl der bis dahin erfolgten Downloads
1,81 Mio.
a) Im Modell A soll die zeitliche Entwicklung der Downloads mithilfe der linearen Funktion f be
schrieben werden.
t ... Zeit ab Beginn des Beobachtungszeitraums in Tagen
f ( t ) ... Anzahl der bis zum Zeitpunkt t erfolgten Downloads in Mio.
1) Stellen Sie eine Gleichung der linearen Funktion f auf.
b) Im Modell B soll die zeitliche Entwicklung der Downloads mithilfe der Exponentialfunktion g
mit g ( t ) = a ∙ b
t
beschrieben werden.
t ... Zeit ab Beginn des Beobachtungszeitraums in Tagen
g ( t ) ... Anzahl der bis zum Zeitpunkt t erfolgten Downloads in Mio.
1) Berechnen Sie die Verdoppelungszeit für die Anzahl der Downloads gemäß dem Modell B .
c) Im Modell C soll die zeitliche Entwicklung der Downloads durch die Funktion h beschrieben
werden (siehe nachstehende Abbildung).
O
h ( t ) in Mio.
t in Tagen
h
t
1
t ... Zeit ab Beginn des Beobachtungszeitraums in Tagen
h ( t ) ... Anzahl der bis zum Zeitpunkt t erfolgten Downloads in Mio.
Es gilt: h ״ ( t
1
) = 0
1) Interpretieren Sie den Wert von h ′ ( t
1
) im gegebenen Sachzusammenhang.

Kompensationsprüfung 2 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 9/11
Lösung zur Aufgabe 3
Apps
a1) f ( t ) = k ∙ t + d
1,81 = k ∙ 365 + 0,35
k = 0,004
f ( t ) = 0,004 ∙ t + 0,35
b1) g ( t ) = 0,35 ∙ b
t
1,81 = 0,35 ∙ b
365
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
b = 1,0045...
Verdoppelungszeit:
ln(2)
ln( b )
= 153,9...
Die Verdoppelungszeit beträgt rund 154 Tage.
c1) h ′ ( t
1
) entspricht der maximalen momentanen Änderungsrate der Anzahl der Downloads.

Kompensationsprüfung 2 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 10/11
Aufgabe 4
Straßenlaternen
Eine Straße wird zu Testzwecken mit neuen Straßenlaternen ausgestattet.
a) Bei diesen Straßenlaternen können die Fehler F
1
, F
2
und F
3
auftreten. Diese 3 Fehler treten
unabhängig voneinander mit den Wahrscheinlichkeiten p
1
, p
2
und p
3
auf.
1) Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der nachstehenden Wahrscheinlichkeit für das
Ereignis E auf.
E ... „eine zufällig ausgewählte Straßenlaterne weist keinen einzigen dieser 3 Fehler auf“
P ( E ) =
b) Der Fehler F
1
tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 % auf.
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei höchstens 2 von 100 Straßen laternen der
Fehler F
1
auftritt.
c) Im Testzeitraum wurde gemessen, nach wie vielen Betriebs stunden der Fehler F
2
auftritt
(siehe nachstehende Abbildung).
Betriebsstunden bis zum Auftreten des Fehlers F
2
15 000 14 500 14 000 13 500 13 000 12 500 12 000 11 500 11 000 10 500 10 000 9 500 15 500
Der Interquartilsabstand ist die Differenz von 3. Quartil und 1. Quartil.
1) Lesen Sie aus der obigen Abbildung den Interquartilsabstand ab.

Kompensationsprüfung 2 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 11/11
Lösung zur Aufgabe 4
Straßenlaternen
a1) P ( E ) = (1 – p
1
) ∙ (1 – p
2
) ∙ (1 – p
3
)
b1) Binomialverteilung mit n = 100 und p = 0,01
X ... Anzahl der Straßenlaternen, bei denen der Fehler F
1
auftritt
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
P ( X ≤ 2) = 0,920...
Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 92 %.
c1) Interquartilsabstand: 13 500 – 11 000 = 2 500