Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2022 · AHS · Kompi 1

Exemplar für Prüfer/innen
AHS
Juni 2022
Mathematik
Kompensationsprüfung 1
Angabe für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung

Kompensationsprüfung 1 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 2/11
Hinweise zur standardisierten Durchführung
der Kompensationsprüfung
Die vorliegende Angabe zur Kompensationsprüfung umfasst vier Aufgaben, die unabhängig von
einander bearbeitbar sind, und die dazugehörigen Lösungen.
Jede Aufgabe umfasst drei nachzuweisende Handlungskompetenzen.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungsmitglied für die Klausurarbeit freigegebenen For
melsammlung für die SRP in Mathematik ist erlaubt. Weiters ist die Verwendung von elektronischen
Hilfsmitteln (z. B. grafikfähiger Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) erlaubt,
sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetzwer
ke etc.) gegeben ist und der Zugriff auf Eigendateien im elektronischen Hilfsmittel nicht möglich ist.
Nach der Prüfung sind alle Unterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter etc.) der Kandidatinnen
und Kandidaten einzusammeln. Die Prüfungsunterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter, produ
zierte digitale Arbeitsdaten etc.) dürfen erst nach dem für die Kompensationsprüfung vorgesehe
nen Zeitfenster öffentlich werden.
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Der nachstehende Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestel
lung bei der Beurteilung.
Kandidat/in 1 Kandidat/in 2 Kandidat/in 3 Kandidat/in 4 Kandidat/in 5
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
gesamt

Kompensationsprüfung 1 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 3/11
Erläuterungen zur Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem, zwei oder drei Punkten bewertet. Insgesamt können maximal
zwölf Punkte erreicht werden.
Beurteilungsschlüssel für die Kompensationsprüfung
Gesamtanzahl der nachgewiesenen
Handlungskompetenzen
Beurteilung der
mündlichen Kompensationsprüfung
12 Sehr gut
10 – 11 Gut
8 – 9 Befriedigend
6 – 7 Genügend
0 – 5 Nicht genügend

Kompensationsprüfung 1 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 4/11
Aufgabe 1
Wohnstraße
Eine Wohnstraße wird zur Verkehrsberuhigung umgebaut.
a) Auf beiden Seiten der Wohnstraße werden Hindernisse mit dreieckiger Grundfläche aufge
stellt. In der nachstehenden Abbildung ist ein Abschnitt der Wohnstraße in der Ansicht von
oben modellhaft dargestellt.
Hindernis 2
Hindernis 1
φ
3 m
1,5 m
Wohnstraße
b
a
1) Berechnen Sie den in der obigen Abbildung eingezeichneten Winkel φ .
Das Hindernis 2 hat die Form eines geraden Prismas mit dreieckiger Grundfläche (siehe obige
Abbildung mit a , b in m).
Die Höhe des Prismas beträgt 30 cm.
2) Stellen Sie mithilfe von a und b eine Formel zur Berechnung des Volumens dieses
Prismas V (in m
3
) auf.
V =
b) Durch den Umbau der Wohnstraße sinkt die durchschnittliche Geschwindigkeit eines Fahr
zeugs um 20 %.
Der auf dieser Wohnstraße zurückgelegte Weg eines Fahrzeugs wird um 30 % länger.
Jemand behauptet: „Bei der Fahrt durch diese Wohnstraße wird die benötigte Zeit durch
diesen Umbau um 62,5 % länger.“
1) Zeigen Sie, dass diese Behauptung richtig ist.

Kompensationsprüfung 1 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 5/11
Lösung zur Aufgabe 1
Wohnstraße
a1) φ = arctan
(
1,5
3
)
= 26,565...°
a2) V =
a ∙ b
2
· 0,3
b1) t
neu
=
s ∙ 1,3
v ∙ 0,8
=
s
v
∙ 1,625
Die für die Durchfahrt benötigte Zeit wird um 62,5 % länger.
Daher ist die Behauptung richtig.

Kompensationsprüfung 1 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 6/11
Aufgabe 2
Küste
Auf einer Insel liegt ein Naturschutzgebiet.
a) In der nachstehenden Abbildung sind ein Teil der Küstenlinie dieser Insel und das Natur
schutzgebiet (grau markiert) modellhaft dargestellt.
y in km
x in km
H
f
T
O
Meer
Naturschutzgebiet
Diese Küstenlinie wird durch den Graphen der Polynomfunktion 3. Grades f beschrieben.
H = (30 | 10) und T = (70 | 0) sind die Extrempunkte der Funktion f .
1) Erstellen Sie mithilfe von H und T ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten
von f .
2) Interpretieren Sie das Ergebnis des nachstehenden Ausdrucks im gegebenen Sachzusam
menhang unter der Bedingung, dass F eine Stammfunktion von f ist. Geben Sie dabei die
zugehörige Einheit an.
F (70) – F (30) = 200
b) Ein Fischerboot bewegt sich entlang des Graphen der linearen Funktion g von der Küste zum
Punkt P = ( x
P
| 52).
Es gilt: g ( x ) = –2 · x + 120
x , g ( x ) ... Koordinaten in km
1) Berechnen Sie x
P
.

Kompensationsprüfung 1 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 7/11
Lösung zur Aufgabe 2
Küste
a1) f ( x ) = a · x
3
+ b · x
2
+ c · x + d
f ′ ( x ) = 3 · a · x
2
+ 2 · b · x + c
I : f (30) = 10
II : f (70) = 0
III : f ′ (30) = 0
IV : f ′ (70) = 0
oder:
I : a · 30
3
+ b · 30
2
+ c · 30 + d = 10
II : a · 70
3
+ b · 70
2
+ c · 70 + d = 0
III : 3 · a · 30
2
+ 2 · b · 30 + c = 0
IV : 3 · a · 70
2
+ 2 · b · 70 + c = 0
a2) Der Flächeninhalt des Naturschutzgebiets beträgt 200 km
2
.
b1) 52 = –2 · x
P
+ 120
x
P
= 34

Kompensationsprüfung 1 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 8/11
Aufgabe 3
Bevölkerungszahl Österreichs
Die Entwicklung der Bevölkerungszahl Österreichs ab dem Jahr 2010 wird untersucht.
a) In einem einfachen Modell wird die Entwicklung der Bevölkerungszahl Österreichs durch die
Exponentialfunktion N beschrieben.
N ( t ) = 8,35 · 1,0064
t
t ... Zeit ab dem Jahresbeginn 2010 in Jahren
N ( t ) ... Bevölkerungszahl zum Zeitpunkt t in Millionen
1) Geben Sie das jährliche prozentuelle Wachstum der Bevölkerungszahl gemäß diesem
Modell an.
2) Berechnen Sie die Zeit t
1
, nach der die Bevölkerung Österreichs gemäß diesem Modell
gegenüber dem Jahresbeginn 2010 um ein Viertel zugenommen hat.
b) In einem anderen Modell wird die Entwicklung der Bevölkerungszahl Österreichs durch eine
lineare Funktion beschrieben.
Die nachstehende Tabelle zeigt die Bevölkerungszahl Österreichs zu Jahresbeginn 2010 bzw.
2020.
Jahresbeginn 2010 2020
Bevölkerungszahl in Millionen 8,35 8,9
1) Stellen Sie eine Gleichung der zugehörigen linearen Funktion auf. Wählen Sie t = 0 für den
Jahresbeginn 2010.

Kompensationsprüfung 1 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 9/11
Lösung zur Aufgabe 3
Bevölkerungszahl Österreichs
a1) 0,64 %
a2) 1,25 · 8,35 = 8,35 · 1,0064
t 1
⇒ t
1
= 34,97...
Nach rund 35 Jahren hat die Bevölkerung Österreichs um ein Viertel zugenommen.
b1) f ( t ) = 8,35 +
8,9 – 8,35
2020 – 2010
· t = 8,35 + 0,055 · t
t ... Zeit ab dem Jahresbeginn 2010 in Jahren
f ( t ) ... Bevölkerungszahl zum Zeitpunkt t in Millionen

Kompensationsprüfung 1 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 10/11
Aufgabe 4
Gewinnspiele
Im Rahmen der Eröffnung eines Einkaufszentrums werden Gewinnspiele durchgeführt. Dabei
können Gutscheine gewonnen werden.
a) * In einer Urne befinden sich bis auf die Beschriftung nicht unterscheidbare Kugeln. Diese
Kugeln sind mit „0“, „10“, „50“ oder „100“ beschriftet.
Die Beschriftung der jeweiligen Kugel gibt den Wert des gewonnenen Gutscheins in Euro an.
Nach dem Ziehen wird die gezogene Kugel wieder in die Urne zurückgelegt. Die Wahrschein
lichkeit, dass eine Kugel gezogen wird, die mit „10“ beschriftet ist, beträgt p .
Max zieht nacheinander und mit Zurücklegen 2 Kugeln aus der Urne.
1) Stellen Sie mithilfe von p eine Formel zur Berechnung der nachstehenden Wahrscheinlich
keit auf.
P („genau 1 der gezogenen Kugeln ist mit „10“ beschriftet“) =
b) Ein Glücksrad besteht aus 20 gleich großen Sektoren, die mit „0“, „10“, „50“ oder „100“ be
schriftet sind (siehe unten stehende Abbildung).
Die Beschriftung des jeweiligen Sektors gibt den Wert des gewonnenen Gutscheins in Euro an.
In der Mitte des Glücksrads ist ein Zeiger montiert.
Der Zeiger bleibt in einem dieser Sektoren mit der
gleichen Wahrscheinlichkeit stehen wie in jedem
anderen Sektor. Die Ergebnisse der Drehungen sind
voneinander unabhängig.
0 10
10
0
10
50
0
10
0
10
0 10
10
100
10
0
50
10
0
10
Der Zeiger des Glücksrads wird 2mal gedreht.
1) Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dabei mindestens 1 Gutschein im Wert von
100 Euro zu gewinnen, kleiner ist als jene, nichts zu gewinnen.
Der Zeiger des Glücksrads wird 8mal gedreht.
2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau 3mal ein Gutschein im Wert von
50 Euro gewonnen wird.
* adaptiert

Kompensationsprüfung 1 / Juni 2022 / MAT / Prüfer/in S. 11/11
Lösung zur Aufgabe 4
Gewinnspiele
a1) * P („genau 1 der gezogenen Kugeln ist mit „10“ beschriftet“) = 2 · p · (1 – p )
b1) P („Gewinn von mindestens 1 Gutschein im Wert von 100 Euro“) = 1 –
(
19
20
)
2
= 0,0975
P („kein Gewinn“) =
(
7
20
)
2
= 0,1225
0,0975 < 0,1225
Die Wahrscheinlichkeit, mindestens 1 Gutschein im Wert von 100 Euro zu gewinnen, ist also
kleiner als jene, nichts zu gewinnen.
b2) X ... Anzahl der Drehungen, bei denen ein Gutschein im Wert von 50 Euro gewonnen wird
Binomialverteilung mit n = 8 und p = 0,1
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
P ( X = 3) = 0,0330...
Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 3,3 %.
* adaptiert