Kompensationsprüfung Mathematik – Jänner/Februar 2022 · AHS · Kompi 1

Exemplar für Prüfer/innen
AHS
Februar 2023
Mathematik
Kompensationsprüfung 1
Angabe für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung

Kompensationsprüfung 1 / Februar 2023 / MAT / Prüfer/in S. 2/11
Hinweise zur standardisierten Durchführung
der Kompensationsprüfung
Die vorliegende Angabe zur Kompensationsprüfung umfasst vier Aufgaben, die unabhängig von
einander bearbeitbar sind, und die dazugehörigen Lösungen.
Jede Aufgabe umfasst drei nachzuweisende Handlungskompetenzen.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungsmitglied für die Klausurarbeit freigegebenen For
melsammlung für die SRP in Mathematik ist erlaubt. Weiters ist die Verwendung von elektronischen
Hilfsmitteln (z. B. grafikfähiger Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) erlaubt,
sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetzwer
ke etc.) gegeben ist und der Zugriff auf Eigendateien im elektronischen Hilfsmittel nicht möglich ist.
Nach der Prüfung sind alle Unterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter etc.) der Kandidatinnen
und Kandidaten einzusammeln. Die Prüfungsunterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter, produ
zierte digitale Arbeitsdaten etc.) dürfen erst nach dem für die Kompensationsprüfung vorgesehe
nen Zeitfenster öffentlich werden.
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Der nachstehende Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestel
lung bei der Beurteilung.
Kandidat/in 1 Kandidat/in 2 Kandidat/in 3 Kandidat/in 4 Kandidat/in 5
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
gesamt

Kompensationsprüfung 1 / Februar 2023 / MAT / Prüfer/in S. 3/11
Erläuterungen zur Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem, zwei oder drei Punkten bewertet. Insgesamt können maximal
zwölf Punkte erreicht werden.
Beurteilungsschlüssel für die Kompensationsprüfung
Gesamtanzahl der nachgewiesenen
Handlungskompetenzen
Beurteilung der
mündlichen Kompensationsprüfung
12 Sehr gut
10 – 11 Gut
8 – 9 Befriedigend
6 – 7 Genügend
0 – 5 Nicht genügend

Kompensationsprüfung 1 / Februar 2023 / MAT / Prüfer/in S. 4/11
Aufgabe 1
Die Kreiszahl π
Im Laufe der Geschichte wurden verschiedene Methoden eingesetzt, um die Kreiszahl π = 3,141...
möglichst genau zu bestimmen.
a) Im ältesten bekannten Rechenbuch der Welt (Papyrus Rhind) ist für die Kreiszahl der folgende
Näherungswert π
N
angegeben:
π
N
=
(
16
9
)
2
1) Berechnen Sie die prozentuelle Abweichung des Näherungswerts π
N
von der Kreiszahl π.
b) Bei einer anderen Methode wird der Umfang eines
Kreises mit dem Radius r durch den Umfang eines
umgeschriebenen Sechsecks angenähert
(siehe nebenstehende Abbildung).
s
s
r
1) Stellen Sie mithilfe von r eine Formel zur Berechnung des Umfangs u des umgeschriebenen
Sechsecks auf.
u =
c) 1) Veranschaulichen Sie im nachstehenden Einheitskreis den Winkel α mit α ≠
3 ∙ π
4
, für den
gilt:
sin
(
3 ∙ π
4
)
= sin( α ) y
x
1 –1
1
–1
3 ∙ π
4

Kompensationsprüfung 1 / Februar 2023 / MAT / Prüfer/in S. 5/11
Lösung zur Aufgabe 1
Die Kreiszahl π
a1)
πN – π
π
=
0,0189...
3,1415...
= 0,0060...
Die prozentuelle Abweichung des Näherungswerts von der Kreiszahl π beträgt rund 0,6 %.
b1) s
2
=
(
s
2
)
2
+ r
2
s = 
3
2 ∙ r
u = 6 ∙ s = 
3
12 ∙ r
c1)
y
x
1 –1
1
–1
3 ∙ π
4
α

Kompensationsprüfung 1 / Februar 2023 / MAT / Prüfer/in S. 6/11
Aufgabe 2
Autofahrt
a) In der nachstehenden Abbildung ist die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit für eine
bestimmte Autofahrt in einem Zeitraum von 15 s dargestellt.
v ( t ) in m/s
t in s
0 5 15
v
0
v
1
0
Der zurückgelegte Weg in den ersten 5 s ist gleich lang wie der zurückgelegte Weg in den
darauffolgenden 10 s.
1) Stellen Sie mithilfe von v
0
und v
1
eine Gleichung auf, die diesen Sachverhalt richtig be
schreibt.
b) Für eine andere Autofahrt kann die Geschwindigkeit näherungsweise durch die Funktion v
A
beschrieben werden.
v
A
( t ) = 70 ∙ t
3
– 260 ∙ t
2
+ 230 ∙ t + 80 mit 0 ≤ t ≤ 1,5
t ... Zeit in h
v
A
( t ) ... Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t in km/h
1) Berechnen Sie die maximale Geschwindigkeit bei dieser Autofahrt.
2) Interpretieren Sie das Ergebnis der nachstehenden Berechnung im gegebenen Sachzu
sammenhang.
v
A
′ (0) = 230

Kompensationsprüfung 1 / Februar 2023 / MAT / Prüfer/in S. 7/11
Lösung zur Aufgabe 2
Autofahrt
a1)
( v 0 + v 1 ) ∙ 5
2
= 10 · v
1
b1) v
A
′ ( t ) = 210 ∙ t
2
– 520 ∙ t + 230
v
A
′ ( t ) = 0 oder 210 · t
2
– 520 · t + 230 = 0
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
t
1
= 0,57... ( t
2
= 1,89...)
v
A
( t
1
) = 139,59...
Die maximale Geschwindigkeit beträgt rund 140 km/h.
b2) Die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit (Beschleunigung) zum Zeitpunkt t = 0
beträgt 230 km/h
2
.

Kompensationsprüfung 1 / Februar 2023 / MAT / Prüfer/in S. 8/11
Aufgabe 3
Bakterien
In einem Labor wird eine Probe mit Bakterien untersucht.
Die Anzahl der Bakterien beträgt zu Beobachtungsbeginn 1 200.
Nach 6 Tagen beträgt die Anzahl der Bakterien 1 800.
a) Die zeitliche Entwicklung der Anzahl der Bakterien wird modellhaft durch die lineare Funktion f
beschrieben.
t ... Zeit in Tagen mit t = 0 für den Beobachtungsbeginn
f ( t ) ... Anzahl der Bakterien zum Zeitpunkt t
1) Stellen Sie eine Gleichung der linearen Funktion f auf.
b) Die zeitliche Entwicklung der Anzahl dieser Bakterien wird in einem anderen Modell durch die
Exponentialfunktion g beschrieben.
t ... Zeit in Tagen mit t = 0 für den Beobachtungsbeginn
g ( t ) ... Anzahl der Bakterien zum Zeitpunkt t
1) Tragen Sie jeweils das fehlende Zeichen (<, > oder =) in das dafür vorgesehene Kästchen
ein.
g ′ ( t ) g ′ ( t + 1)
g ″ ( t ) 0
2) Ermitteln Sie denjenigen Zeitpunkt, zu dem gemäß diesem Modell die Anzahl der Bakterien
6 000 beträgt.

Kompensationsprüfung 1 / Februar 2023 / MAT / Prüfer/in S. 9/11
Lösung zur Aufgabe 3
Bakterien
a1) f ( t ) = 100 ∙ t + 1 200
oder:
f ( t ) =
600
6
∙ t + 1 200
b1) g ′ ( t ) < g ′ ( t + 1)
g ″ ( t ) > 0
b2) g ( t ) = a ∙ b
t
g (0) = 1 200
g (6) = 1 800
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
g ( t ) = 1 200 ∙ 1,0699
t
(Koeffizient gerundet)
g ( t ) = 6 000
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
t = 23,8...
Die Anzahl der Bakterien wird rund 24 Tage nach Beobachtungsbeginn 6 000 betragen.

Kompensationsprüfung 1 / Februar 2023 / MAT / Prüfer/in S. 10/11
Aufgabe 4
Würfel
a) Zwei faire sechsflächige Würfel mit den Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 werden gleichzeitig
geworfen und die Augensumme wird ermittelt.
Die Zufallsvariable X beschreibt die Augensumme der beiden Würfel.
1) Begründen Sie, warum gilt: P ( X = 11) = 2 ∙ P ( X = 12) .
b) Alex nimmt an einem Gewinnspiel teil. Bei diesem Gewinnspiel wird ein fairer sechsflächiger
Würfel mit den Augenzahlen 1, 2, 2, 3, 3 und 3 einmal geworfen.
Der Spielleiter nimmt vor dem Würfelwurf von Alex einen Einsatz von e Euro ein.
Zeigt der Würfel die Augenzahl 1, so zahlt der Spielleiter an Alex x Euro.
Zeigt der Würfel die Augenzahl 2, so zahlt der Spielleiter an Alex 2 Euro.
Zeigt der Würfel die Augenzahl 3, so zahlt der Spielleiter an Alex nichts.
Der Spielleiter weiß aus Erfahrung, dass er pro Würfelwurf einen Gewinn in Höhe von
0,50 Euro erwarten kann.
1) Stellen Sie mithilfe von e eine Gleichung zur Berechnung von x auf.
c) Bei der Produktion eines bestimmten sechsflächigen Würfels mit den Augenzahlen 1, 2, 3,
4, 5 und 6 ist es zu Ungenauigkeiten gekommen. Dies hat zur Folge, dass eine bestimmte
Seiten fläche nicht mehr mit der gleichen Wahrscheinlichkeit wie die anderen Seitenflächen
nach einem Wurf nach oben zeigt.
Der Würfel wird 500 mal geworfen, die Ergebnisse sind in der nachstehenden Tabelle zusam
mengefasst.
Augenzahl 1 2 3 4 5 6
absolute Häufigkeit der Augenzahl 75 98 65 110 80 72
1) Berechnen Sie auf Basis dieser Ergebnisse einen Schätzwert für die nachstehende Wahr
scheinlichkeit.
P („bei einmaligem Werfen ist die Augenzahl größer als 3“) =

Kompensationsprüfung 1 / Februar 2023 / MAT / Prüfer/in S. 11/11
Lösung zur Aufgabe 4
Würfel
a1) Augensumme 12 ist bei einem Versuchsausgang möglich: {(6, 6)}
Augensumme 11 ist hingegen bei zwei Versuchsausgängen möglich: {(5, 6), (6, 5)}
Alle möglichen Versuchsausgänge haben die gleiche Wahrscheinlichkeit, daher gilt:
P ( X = 11) = 2 ∙ P ( X = 12)
b1) e –
(
x ∙
1
6
+ 2 ∙
1
3
+ 0 ∙
1
2
)
= 0,5
c1) P („bei einmaligem Werfen ist die Augenzahl größer als 3“) =
110 + 80 + 72
500
= 0,524