Kompensationsprüfung Mathematik – September/Oktober 2021 · AHS · Kompi 3

Exemplar für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Oktober 2021
Mathematik
Kompensationsprüfung 3
Angabe für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 3 / Oktober 2021 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur standardisierten Durchführung
der Kompensationsprüfung
Die vorliegende Angabe zur Kompensationsprüfung umfasst fünf Aufgaben, die unabhängig von
einander bearbeitbar sind. Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: „Aufgabenstellung“
und „Leitfrage“.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungsmitglied für die Klausurarbeit freigegebenen For
melsammlung für die SRP in Mathematik ist erlaubt. Weiters ist die Verwendung von elektronischen
Hilfsmitteln (z. B. grafikfähiger Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) erlaubt,
sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetz
werke etc.) gegeben ist und der Zugriff auf Eigendateien im elektronischen Hilfsmittel nicht möglich
ist.
Nach der Prüfung sind alle Unterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter etc.) der Kandidatinnen
und Kandidaten einzusammeln. Die Prüfungsunterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter, produ
zierte digitale Arbeitsdaten etc.) dürfen erst nach dem für die Kompensationsprüfung vorgesehe
nen Zeitfenster öffentlich werden.
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Der nachstehende Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfe stellung
bei der Beurteilung.
Kandidat/in 1 Kandidat/in 2 Kandidat/in 3 Kandidat/in 4 Kandidat/in 5
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5
gesamt

Kompensationsprüfung 3 / Oktober 2021 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Erläuterungen zur Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist bei jeder Aufgabenstel
lung ein Grundkompetenzpunkt und bei jeder Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt
können maximal zehn Punkte erreicht werden.
Beurteilungsschlüssel für die Kompensationsprüfung
Note
erreichte Punkte
(Grundkompetenzpunkte + Leitfragenpunkte)
Sehr gut 7 – 10
Gut 6
Befriedigend 5
Genügend 4

Kompensationsprüfung 3 / Oktober 2021 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Badezimmer
Aufgabenstellung:
In der nachstehenden Abbildung ist schematisch eine quadratische Motivfliese dargestellt.
40 cm
M
– Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt der grauen Fläche rund 21 % des Flächeninhalts der quadra
tischen Motivfliese beträgt.
Leitfrage:
Im Badezimmer ist ein Spiegel an der Wand angebracht. Eine Person steht vor dem Spiegel
und sieht den oberen Rand des Spiegels unter dem Höhenwinkel α (siehe nach stehende nicht
maßstabgetreue Abbildung).
1,5 m
3 m
x
Boden
Spiegel
1,7 m
α = 3,85°
– Berechnen Sie die Höhe x .

Kompensationsprüfung 3 / Oktober 2021 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Badezimmer
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
40
2
– 20
2
∙ π
40
2
= 0,214...
Der Flächeninhalt der grauen Fläche beträgt also rund 21 % des Flächeninhalts der quadratischen
Motivfliese.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn richtig gezeigt wird, dass der Flächen
inhalt der grauen Fläche rund 21 % des Flächeninhalts der quadratischen Motivfliese beträgt.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
1,5 m
x
y
Boden
Spiegel
1,7 m
3 m
α = 3,85°
tan( α ) =
y
3
⇒ y = 0,20...
y + 1,7 = x + 1,5
x = y + 0,2 = 0,40...
Die Höhe x beträgt rund 0,4 m.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Höhe x richtig berechnet wird.

Kompensationsprüfung 3 / Oktober 2021 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Logo
Die unten stehende Abbildung zeigt den Entwurf für das Logo eines Fischzüchters.
Die Abbildung des Logos ist symmetrisch bezüglich der x Achse. Die obere Begrenzungslinie
des Logos wird durch die Graphen der linearen Funktion g und der Polynomfunktion 3. Grades f
beschrieben.
y in cm
x in cm
f
x
3
x
1
x
2
O
g
x , f ( x ), g ( x ) ... Koordinaten in cm
Aufgabenstellung:
– Stellen Sie eine Formel zur Berechnung des Inhalts A der grau markierten Fläche dieses Logos
auf.
A =
Leitfrage:
Gegeben sind 3 Aussagen.
Aussage 1: g ( x
2
) = f ( x
3
)
Aussage 2: g ′ ( x
1
) = g ′ ( x
2
)
Aussage 3: g ′ ( x
1
) = f ′ ( x
1
)
– Geben Sie für jede der 3 Aussagen an, ob sie wahr oder falsch ist, und begründen Sie jeweils
Ihre Entscheidung.

Kompensationsprüfung 3 / Oktober 2021 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Logo
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
A = 2 ∙ ( ∫
x 3
x 1
f ( x ) d x –
∫
x 2
x 1
g ( x ) d x ) oder A = 2 ∙ ( ∫
x 3
x 1
f ( x ) d x –
1
2
∙ f ( x
1
) ∙ ( x
2
– x
1
) )
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Formel richtig aufgestellt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Aussage 1: wahr, g ( x
2
) = 0 und f ( x
3
) = 0 ⇒ g ( x
2
) = f ( x
3
)
Aussage 2: wahr, g ist eine lineare Funktion, deshalb ist g ′ konstant
Aussage 3: falsch, weil der Graph von g nicht die Tangente an den Graphen von f an der Stelle x
1
ist
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn bei jeder der angeführten Aussagen die
richtige Entscheidung getroffen und diese richtig begründet wird.

Kompensationsprüfung 3 / Oktober 2021 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Ammonium
Der Giftstoff Ammonium ist im Abwasser enthalten und wird in Klärbecken abgebaut.
Aufgabenstellung:
Der Ammoniumgehalt in einem bestimmten Klärbecken kann in Abhängigkeit von der Zeit t nähe
rungsweise durch die lineare Funktion f beschrieben werden.
Zu Beobachtungsbeginn ( t = 0) wurde im Klärbecken ein Ammoniumgehalt von 28 mg/L ge
messen. Im Klärbecken wurde 6 Stunden nach Beobachtungsbeginn ein Ammoniumgehalt von
6,17 mg/L gemessen.
– Stellen Sie eine Gleichung der linearen Funktion f auf.
Leitfrage:
Der Ammoniumgehalt in einem anderen Klärbecken kann näherungsweise durch die Funktion c
beschrieben werden.
c ( t ) = 24 ∙ ℯ
–0,4 ∙ t
+ 4 mit t ≥ 0
t ... Zeit seit Beobachtungsbeginn in Stunden
c ( t ) ... Ammoniumgehalt zur Zeit t in mg/L
– Begründen Sie mathematisch, warum alle Funktionswerte der Funktion c größer als 4 sind.

Kompensationsprüfung 3 / Oktober 2021 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Ammonium
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
f ( t ) = k ∙ t + d
t ... Zeit in Stunden
f ( t ) ... Ammoniumgehalt zur Zeit t in mg/L
d = 28
k =
6,17 – 28
6
= –3,63...
f ( t ) = –3,63... ∙ t + 28
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Gleichung von f richtig aufgestellt
wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
ℯ
–0,4 ∙ t
ist für alle t positiv, und damit sind alle Funktionswerte 24 ∙ ℯ
–0,4 ∙ t
+ 4 größer als 4.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn richtig mathematisch begründet wird, warum
alle Funktionswerte größer als 4 sind.

Kompensationsprüfung 3 / Oktober 2021 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Bewegungsenergie
Die Bewegungsenergie E eines Körpers kann mit der nachstehenden Formel berechnet werden.
E =
m ∙ v
2
2
m ... Masse des Körpers in kg
v ... Geschwindigkeit des Körpers in m/s
E ... Bewegungsenergie des Körpers in Joule (J)
Aufgabenstellung:
Die Bewegungsenergie E eines Körpers ist eine Funktion in Abhängigkeit von der Masse m , wenn
die Geschwindigkeit v als konstant angenommen wird.
– Skizzieren Sie im nachstehenden Koordinatensystem einen möglichen Graphen von E .
E ( m ) in J
m in kg
O
Leitfrage:
Die Bewegungsenergie E eines Körpers ist eine Funktion in Abhängigkeit von der Geschwindig
keit v , wenn die Masse m als konstant angenommen wird.
Für einen bestimmten Körper mit der konstanten
Masse m ist der Graph der Funktion E in der
nebenstehenden Abbildung dargestellt.
40
30
20
10
0
50
E ( v ) in J
v in m/s
E
4 3 2 1 0 5
– Ermitteln Sie mithilfe der Abbildung die Masse m .

Kompensationsprüfung 3 / Oktober 2021 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Bewegungsenergie
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
E ( m ) in J
m in kg
E
O
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Graph richtig skizziert wird. Dabei
muss erkennbar sein, dass es sich um eine steigende Gerade handelt, die durch den Ursprung
verläuft.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
zum Beispiel mithilfe des Punktes (5 | 50):
E (5) = 50 ⇒ 50 =
m ∙ 25
2
⇒ m = 4 kg
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn m richtig ermittelt wird.

Kompensationsprüfung 3 / Oktober 2021 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
PKWs mit Dieselantrieb
Aufgabenstellung:
Die nachstehende Abbildung zeigt die Anzahl an Neuzulassungen von PKWs mit Dieselantrieb in
Österreich für die Jahre 2014, 2015, 2016 und 2018.
Anzahl
Neuzulassungen von PKWs mit Dieselantrieb
Jahr
2017 2016 2015 2014 2018
0
100 000
200 000
172 381
179 822
188 820
140 111
Das arithmetische Mittel der Neuzulassungen von PKWs mit Dieselantrieb in Österreich für den
Zeitraum von 2014 bis 2018 beträgt 171 318,4.
– Ermitteln Sie die Anzahl an Neuzulassungen von PKWs mit Dieselantrieb in Österreich für das
Jahr 2017.
Leitfrage:
55,1 % der PKWs in Österreich haben einen Dieselantrieb.
Eine Zufallsstichprobe von n PKWs in Österreich wird betrachtet.
– Beschreiben Sie ein Ereignis E im gegebenen Sachzusammenhang, dessen Wahrscheinlichkeit
mit dem nachstehenden Ausdruck berechnet werden kann.
P ( E ) = 1 – 0,449
n

Kompensationsprüfung 3 / Oktober 2021 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
PKWs mit Dieselantrieb
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
171 318,4 =
172 381 + 179 822 + 188 820 + x 2017 + 140 111
5
x
2017
= 175 458
Die Anzahl an Neuzulassungen von PKWs mit Dieselantrieb in Österreich für das Jahr 2017 be
trägt 175 458.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Anzahl an Neuzulassungen von
PKWs mit Dieselantrieb in Österreich für das Jahr 2017 richtig berechnet wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
E ... „in der Zufallsstichprobe befindet sich mindestens 1 PKW mit Dieselantrieb“
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn das Ereignis im gegebenen Sachzusammen
hang richtig beschrieben wird.