Kompensationsprüfung Mathematik – September/Oktober 2021 · AHS · Kompi 2

Exemplar für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Oktober 2021
Mathematik
Kompensationsprüfung 2
Angabe für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2021 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur standardisierten Durchführung
der Kompensationsprüfung
Die vorliegende Angabe zur Kompensationsprüfung umfasst fünf Aufgaben, die unabhängig von
einander bearbeitbar sind. Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: „Aufgabenstellung“
und „Leitfrage“.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungsmitglied für die Klausurarbeit freigegebenen For
melsammlung für die SRP in Mathematik ist erlaubt. Weiters ist die Verwendung von elektronischen
Hilfsmitteln (z. B. grafikfähiger Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) erlaubt,
sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetz
werke etc.) gegeben ist und der Zugriff auf Eigendateien im elektronischen Hilfsmittel nicht möglich
ist.
Nach der Prüfung sind alle Unterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter etc.) der Kandidatinnen
und Kandidaten einzusammeln. Die Prüfungsunterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter, produ
zierte digitale Arbeitsdaten etc.) dürfen erst nach dem für die Kompensationsprüfung vorgesehe
nen Zeitfenster öffentlich werden.
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Der nachstehende Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfe stellung
bei der Beurteilung.
Kandidat/in 1 Kandidat/in 2 Kandidat/in 3 Kandidat/in 4 Kandidat/in 5
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5
gesamt

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2021 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Erläuterungen zur Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist bei jeder Aufgabenstel
lung ein Grundkompetenzpunkt und bei jeder Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt
können maximal zehn Punkte erreicht werden.
Beurteilungsschlüssel für die Kompensationsprüfung
Note
erreichte Punkte
(Grundkompetenzpunkte + Leitfragenpunkte)
Sehr gut 7 – 10
Gut 6
Befriedigend 5
Genügend 4

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2021 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Raute
In der nachstehenden Abbildung ist eine Raute mit der Seitenlänge a , der Höhe h und dem
Winkel α ( α < 90°) dargestellt.
α
Aufgabenstellung:
– Stellen Sie mithilfe von a und α eine Formel zur Berechnung von h auf.
h =
Leitfrage:
– Ermitteln Sie α so, dass der Flächeninhalt A der Raute halb so groß wie der Flächeninhalt eines
Quadrats mit der gleichen Seitenlänge a ist.

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2021 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Raute
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
sin( α ) =
h
a
h = sin( α ) ∙ a
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Formel richtig aufgestellt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
A = a
2
∙ sin( α )
a
2
∙ sin( α ) = a
2
∙ 0,5 ⇒ sin( α ) = 0,5 ⇒ α = 30°
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn α richtig ermittelt wird.

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2021 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Zaunlatten
Eine Tischlerei schneidet rechteckige Zaunlatten kreativ zu.
Die ursprünglichen Zaunlatten sind rechteckig mit einer Höhe von 200 cm und einer Breite von
10 cm. Nach der Bearbeitung ergeben sich die in der nachstehenden Abbildung dargestellten
Modelle von Zaunlatten.
y in cm
x in cm
45 40 35 30 25 20 15 10 5 0
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
200
ursprüngliche Höhe der Zaunlatten
Zaunlatte 2
Zaunlatte 1
f
Aufgabenstellung:
Zaunlatte 1: Die gesamte obere Begrenzungslinie im Bereich 5 ≤ x ≤ 15 soll durch den Graphen
einer Funktion in Abhängigkeit von x beschrieben werden.
– Begründen Sie, warum dies nicht möglich ist.
Leitfrage:
Zaunlatte 2: Die obere Begrenzungslinie wird im Intervall [20; 30] durch den Graphen der Funk
tion f beschrieben.
x , f ( x ) ... Koordinaten in cm
Die grau markierte Fläche in der obigen Abbildung zeigt den Verschnitt (d. h. die beim Zuschneiden
anfallenden Holzreste).
– Stellen Sie mithilfe von f eine Formel zur Berechnung des Inhalts A der grau markierten Fläche
(in cm
2
) auf.
A =

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2021 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Zaunlatten
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Es handelt sich nicht um den Graphen einer Funktion, weil nicht jedem x Wert (im Bereich
5 ≤ x ≤ 15) genau ein y Wert zugeordnet werden kann.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn richtig begründet wird, warum die
Begrenzungslinie nicht durch den Graphen einer Funktion beschrieben werden kann.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
A = 200 ∙ 10 –
∫
30
20
f ( x ) d x
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Formel richtig aufgestellt wird.

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2021 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Lärm
Lärm kann die Gesundheit des Menschen beeinträchtigen.
Aufgabenstellung:
Die Zeit, die ein Mensch einem bestimmten Schallpegel täglich ausgesetzt werden darf, wird
Einwirkungsdauer genannt. Sie kann durch die Funktion f modelliert werden.
f ( x ) = a ∙ 0,8
x
x ... Schallpegel in Dezibel (dB)
f ( x ) ... Einwirkungsdauer beim Schallpegel x in min
Bei einem Schallpegel von 100 dB beträgt die Einwirkungsdauer 12 min.
– Ermitteln Sie den Parameter a .
Leitfrage:
Auf einem bestimmten Straßenstück wurden Lärmmessungen in Abhängigkeit von der Anzahl
der Fahrzeuge pro Stunde durchgeführt. Aus diesen Lärmmessungen wird der sogenannte
Mittelungspegel errechnet (siehe nachstehende Tabelle).
Anzahl der Fahrzeuge pro Stunde Mittelungspegel in dB
10 52
60 58
80 61
– Weisen Sie rechnerisch nach, dass zwischen der Anzahl der Fahrzeuge pro Stunde und dem
Mittelungspegel in dB kein linearer Zusammenhang besteht.

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2021 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Lärm
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
f (100) = 12 oder 12 = a ∙ 0,8
100
a = 5,89... ∙ 10
10
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Parameter a richtig ermittelt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
k
1
=
58 – 52
60 – 10
= 0,12
k
2
=
61 – 58
80 – 60
= 0,15
k
3
=
61 – 52
80 – 10
= 0,128...
Da die Quotienten nicht gleich sind, handelt es sich nicht um einen linearen Zusammenhang.
Für die Punktevergabe ist der Vergleich zweier Differenzenquotienten ausreichend.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn rechnerisch nachgewiesen wird, dass kein
linearer Zusammenhang besteht.

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2021 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Änderungsmaße
Die quadratische Funktion f ist durch die Gleichung f ( x ) = – x
2
+ 2 ∙ x + 3 gegeben.
Aufgabenstellung:
Die mittlere Änderungsrate von f im Intervall [1; a ] ( a ∈ ℝ , a > 1) beträgt –3.
– Ermitteln Sie a .
Leitfrage:
– Ermitteln Sie eine Stelle x
0
so, dass die momentane Änderungsrate von f an der Stelle x
0
gleich – 3 ist.

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2021 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Änderungsmaße
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
f ( a ) – f (1)
a – 1
= –3 oder
– a
2
+ 2 ∙ a + 3 – 4
a – 1
= –3
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
a = 4
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn a richtig ermittelt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
f ′ ( x ) = –2 ∙ x + 2
f ′ ( x
0
) = –3 ⇒ x
0
= 2,5
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn x
0
richtig ermittelt wird.

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2021 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Glücksrad
Ein Glücksrad ist in mehrere Sektoren unterteilt. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Zeiger im Sek
tor G stehen bleibt, beträgt bei jeder Drehung p . Die Ergebnisse der einzelnen Drehungen sind
voneinander unabhängig.
Aufgabenstellung:
Marco dreht das Glücksrad n mal.
– Stellen Sie mithilfe von p eine Formel zur Berechnung der nachstehenden Wahrscheinlichkeit
auf.
P („der Zeiger bleibt mindestens 1 mal im Sektor G stehen“) =
Leitfrage:
Nina dreht das Glücksrad mehrere Male.
– Beschreiben Sie ein Ereignis E im gegebenen Sachzusammenhang, dessen Wahrscheinlichkeit
mit dem nachstehenden Ausdruck berechnet werden kann.
P ( E ) = (
10
8
) ∙ p
8
∙ (1 – p )
2
+ (
10
9
) ∙ p
9
∙ (1 – p ) + p
10

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2021 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Glücksrad
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
P („der Zeiger bleibt mindestens 1 mal im Sektor G stehen“) = 1 – (1 – p )
n
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Formel richtig aufgestellt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
E ... „bei 10 maligem Drehen bleibt der Zeiger mindestens 8 mal im Sektor G stehen“
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn das Ereignis richtig beschrieben wird.