Kompensationsprüfung Mathematik – September/Oktober 2021 · AHS · Kompi 1

Exemplar für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Oktober 2021
Mathematik
Kompensationsprüfung 1
Angabe für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2021 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur standardisierten Durchführung
der Kompensationsprüfung
Die vorliegende Angabe zur Kompensationsprüfung umfasst fünf Aufgaben, die unabhängig von
einander bearbeitbar sind. Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: „Aufgabenstellung“
und „Leitfrage“.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungsmitglied für die Klausurarbeit freigegebenen For
melsammlung für die SRP in Mathematik ist erlaubt. Weiters ist die Verwendung von elektronischen
Hilfsmitteln (z. B. grafikfähiger Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) erlaubt,
sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetz
werke etc.) gegeben ist und der Zugriff auf Eigendateien im elektronischen Hilfsmittel nicht möglich
ist.
Nach der Prüfung sind alle Unterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter etc.) der Kandidatinnen
und Kandidaten einzusammeln. Die Prüfungsunterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter, produ
zierte digitale Arbeitsdaten etc.) dürfen erst nach dem für die Kompensationsprüfung vorgesehe
nen Zeitfenster öffentlich werden.
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Der nachstehende Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfe stellung
bei der Beurteilung.
Kandidat/in 1 Kandidat/in 2 Kandidat/in 3 Kandidat/in 4 Kandidat/in 5
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5
gesamt

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2021 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Erläuterungen zur Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist bei jeder Aufgabenstel
lung ein Grundkompetenzpunkt und bei jeder Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt
können maximal zehn Punkte erreicht werden.
Beurteilungsschlüssel für die Kompensationsprüfung
Note
erreichte Punkte
(Grundkompetenzpunkte + Leitfragenpunkte)
Sehr gut 7 – 10
Gut 6
Befriedigend 5
Genügend 4

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2021 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Wasserbehälter
Der Grand Central Water Tower (Südafrika) ist ein Behälter für die Wasserversorgung.
Er hat annähernd die Form eines auf der Spitze stehenden Kegels mit dem Radius r , der Höhe h
und dem Winkel α an der Spitze (siehe nachstehende Abbildung).
r
h
α
Bildquelle: NJR ZA – eigenes Werk, CC BYSA 3.0, https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bb/
Johhanesburg_WaterMidrand_Tower001.jpg [11.01.2021] (adaptiert).
Aufgabenstellung:
– Stellen Sie mithilfe von r und h eine Formel zur Berechnung des Winkels α auf.
α =
Leitfrage:
Der Grand Central Water Tower soll durch einen neuen kegelförmigen Wasserbehälter ersetzt
werden.
Der Radius dieses neuen Wasserbehälters soll doppelt so groß wie der Radius des Grand Central
Water Tower sein, die Höhe soll gleich groß sein.
– Weisen Sie nach, dass das Volumen des neuen Wasserbehälters nicht doppelt so groß wie das
Volumen des Grand Central Water Tower ist.

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2021 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Wasserbehälter
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
tan
(
α
2
)
=
r
h
⇒ α = 2 ∙ arctan
(
r
h
)
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Formel richtig aufgestellt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
V =
r
2
∙ π ∙ h
3
neuer Wasserbehälter:
V
1
=
(2 ∙ r )
2
∙ π ∙ h
3
=
4 ∙ r
2
∙ π ∙ h
3
= 4 ∙ V
Das Volumen des neuen Wasserbehälters ist also nicht doppelt so groß.
Auch ein Nachweis mit konkreten Zahlen ist als richtig zu werten.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn nachgewiesen wird, dass das Volumen nicht
doppelt so groß ist.

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2021 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Kinderhocker
Die nachstehende modellhafte Abbildung zeigt die zur y Achse symmetrische Sitzfläche eines
Kinderhockers in der Ansicht von oben.
y in cm
x in cm
P
g
f
x
1
x
2
0
0
S
Aufgabenstellung:
Die obere Begrenzungslinie der Sitzfläche wird durch den Graphen der quadratischen Funktion g
beschrieben. Der Graph von g verläuft durch den Scheitelpunkt S = (0 | 20) und den Punkt
P = (–10 | 18).
– Stellen Sie eine Gleichung der Funktion g auf.
Leitfrage:
– Stellen Sie einen Ausdruck zur Berechnung des Flächeninhalts der Sitzfläche auf.

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2021 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Kinderhocker
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
g ( x ) = a ∙ x
2
+ b
g (0) = 20
g (–10) = 18
oder:
b = 20
a ∙ (–10)
2
+ b = 18
a = –
1
50
g ( x ) = –
1
50
∙ x
2
+ 20
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Gleichung der Funktion g richtig
aufgestellt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
2 ∙
( ∫
x 2
0
g ( x ) d x –
∫
x 1
0
f ( x ) d x –
g ( x
2
) ∙ ( x
2
– x
1
)
2
)
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Ausdruck richtig aufgestellt wird.

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2021 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Pflanzenwachstum
Aufgabenstellung:
Für eine bestimmte Pflanze gilt:
Zu Beginn der Beobachtung ( t = 0) beträgt das Höhenwachstum 0,03 Meter pro Tag.
Das Höhenwachstum nimmt pro Tag um 4 % ab.
Das Höhenwachstum soll in Abhängigkeit von der Zeit t in Tagen durch die Exponentialfunktion v
beschrieben werden.
– Stellen Sie eine Gleichung der Exponentialfunktion v auf. Wählen Sie t = 0 für den Beginn der
Beobachtung.
Leitfrage:
In der nachstehenden Abbildung ist die Höhe einer anderen Pflanze in Abhängigkeit von der Zeit t
durch den Graphen der Funktion h modellhaft dargestellt.
h ( t ) in m
70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 75
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1,8
t in Tagen
Q
h
– Ermitteln Sie mithilfe der obigen Abbildung näherungsweise die Steigung der Tangente an den
Graphen von h im Punkt Q .

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2021 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Pflanzenwachstum
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
v ( t ) = 0,03 ∙ 0,96
t
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Gleichung richtig aufgestellt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
h ( t ) in m
70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 75
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1,8
t in Tagen
0,2
10
Q
h
Steigung:
0,2
10
= 0,02
Toleranzintervall: [0,017; 0,023]
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Steigung richtig ermittelt wird.

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2021 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Polynomfunktion 3. Grades
Gegeben ist die Polynomfunktion 3. Grades f mit f ( x ) = a ∙ x
3
+ b ∙ x mit a , b ∈ ℝ , a > 0.
Der Differenzenquotient von f hat im Intervall [1; 4] den Wert 14.
Aufgabenstellung:
– Stellen Sie eine Gleichung zur Berechnung von b in Abhängigkeit von a auf.
Leitfrage:
– Ermitteln Sie diejenigen Werte von a , für die die Funktion nur eine reelle Nullstelle hat.

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2021 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Polynomfunktion 3. Grades
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
f (4) – f (1)
4 – 1
= 14 ⇒ 64 ∙ a + 4 ∙ b – ( a + b ) = 42 ( ⇒ b = 14 – 21 ∙ a )
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Gleichung richtig aufgestellt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
f ( x ) = a ∙ x
3
+ b ∙ x
f ( x ) = 0 ⇔ x ∙ ( a ∙ x
2
+ b ) = 0
x
1
= 0; x
2, 3
= ±

–
b
a
–
b
a
= –
14 – 21 ∙ a
a
≤ 0 ⇒ a ≤
2
3
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Werte von a richtig ermittelt werden.

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2021 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Glücksrad
Aufgabenstellung:
Die 5 Sektoren eines bestimmten Glücksrads sind mit den Buchstaben A , B , C , D bzw. E be
schriftet.
Für jeden der 4 Sektoren A , B , C , D des Glücksrads ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Zeiger
nach einer Drehung auf ihn zeigt, gleich groß.
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Zeiger nach dem Drehen auf den Sektor mit dem Buchstaben E
zeigt, beträgt bei jeder Drehung p .
Das Glücksrad wird 1 mal gedreht.
– Stellen Sie mithilfe von p einen Term zur Berechnung der nachstehenden Wahrscheinlichkeit auf.
P („der Zeiger zeigt auf den Sektor mit dem Buchstaben A “) =
Leitfrage:
Ein anderes Glücksrad ist in 5 gleich große Sektoren unterteilt.
Für jeden der 5 Sektoren des Glücksrads ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Zeiger nach einer
Drehung auf ihn zeigt, gleich groß.
Eine Person tippt vor der Drehung des Glücksrads auf 1 der 5 Sektoren.
Für einen Tipp beim 1 maligen Drehen dieses Glücksrads muss ein Einsatz von € 2 gezahlt wer
den. Bei einem richtigen Tipp werden € 9 ausbezahlt.
– Berechnen Sie den Erwartungswert des Gewinns für diese Person.

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2021 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Glücksrad
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
P („der Zeiger zeigt auf den Sektor mit dem Buchstaben A “) =
1 – p
4
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Term richtig aufgestellt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
4
5
∙ (–2) +
1
5
∙ (9 – 2) = – 0,2
Der Erwartungswert des Gewinns beträgt € – 0,2.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Erwartungswert des Gewinns richtig
berechnet wird.